高数辅导之专题二十:交错级数、任意项级数的敛散性判别法.doc
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1、专题二十基础知识定理1(交错级数的莱布尼兹定理)若交错级数()满足:(1)()(2)则收敛,且。注:交错级数收敛要求数列单调递减且趋向于零。对于任意项级数,引入绝对值级数的概念:级数称为的绝对值级数。定理2若级数收敛,则亦收敛。由定理2知收敛级数分为两种:(1)条件收敛:要求收敛,发散。(2)绝对收敛:要求。总结:判定级数的敛散性,可按如下步骤进行:(1)首先讨论。若不存在或,级数发散;若,转入第二步。(2)其次讨论的敛散性,可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若收敛,则绝对收敛;若发散,转入第三步。(3)最后讨论的敛散性,可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若收敛,则条件收敛;若发散,当然发散。
2、例题1. 设为常数,判定级数的敛散性。解:由于,收敛,由比较判别法知级数收敛(绝对收敛),而为一发散的级数,故发散。2. 若级数收敛,求。解: 收敛(),故收敛,而发散,从而。(倘若,则收敛,矛盾)3. 判定级数的敛散性。解:令,则,且,而(),发散,故发散,由比较判别法的极限形式知发散,级数不绝对收敛。级数为交错级数,单调递减且,由交错级数的莱布尼兹定理知收敛。故级数条件收敛。4. 判定级数的敛散性。解:令,由于 由比值判别法知收敛,故原级数绝对收敛。5. 对常数,讨论级数何时绝对收敛?何时条件收敛?何时发散?解:令,则 下面分三种情形说明:(1)当()时收敛,由比较判别法的极限形式知收敛,
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