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第三章非稳态导热分析解法
本章主要要求：
１、重点内容: ① 非稳态导热的基本概念及特点；
               ② 集总参数法的基本原理及应用；
               ③ 一维及二维非稳态导热问题.
2 、掌握内容: ① 确定瞬时温度场的方法；
               ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
    许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场.钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素;金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
1 、定义:物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2 、分类:根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：
1 )物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：

2 ）物体的温度随时间而作周期性变化
如图 3—1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温
度突然升高到 并保持不变，而右侧仍与温度为 的空气接触，试分
析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍
保持原来的 t 0 。
如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范
围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、
HE 、 HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定,如图中曲线 HG
（若 λ=const ，则 HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中,存在着右侧面参与换热与不参
与换热的两个不同阶段.
（ 1 ）第一阶段（右侧面不参与换热）
    温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
（ 2 )第二阶段，（右侧面参与换热)
    当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性,此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。
2 ）二类非稳态导热的区别:前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。
3 、特点；
    非稳态导热过程中,在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点.
    原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以,在热流量传递的方向上 .

二、非稳态导热的数学模型
1 、数学模型

    非稳态导热问题的求解 规定的 { 初始条件，边界条件 ｝ 下，求解导热微分方程。
2 、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题
    在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。
    已知：平板厚 2 、初温 to 、表面传热系数 h 、平板导热系数 ，将其突然置于温度为 的流体中冷却。

试分析在以下三种情况： 〈〈1/h 、 〉>1/h 、 =1/h 时，平板中温度场的变化.
1 ) 1/h〈〈
因为 1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到 ,随着时间的延长,平板内各点
t → 如图 3—3 （ a ）。
2 ） 1/h>>
    因为 忽略不计,即平板内导热的流量接近于无穷大,所以任意时刻平板中各点温度接近均匀,随着时间的延长,平板内各点 t → ，而且整体温度下降如图 3—3 ( b ）。
3 ) 1/h=
    平板中的温度分布介于二者之间，如图 3-3 （ c ）.
    由此可见,表面对流换热热阻 1/h 与导热热阻 的相对大小对物体中非稳态导热的温度场的分布有重要影响，因此，引入表征二者比值的无量纲数，毕渥数.
3 、毕渥数
1 ）定义式： （ 3—1 ）
    毕渥数属特征数（准则数）.
2 ） Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。
3 ）特征数（准则数)：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。
4 ）特征长度:是指特征数定义式中的几何尺度。

§3 - 2 集总参数法的简化分析
一、集总参数法
1 、定义：当固体内的 <<时，固体内的温度趋于一致，此时可认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下，这时需求解的温度仅是时间的一元函数,而与坐标无关,好象该固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度值那样.这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法.
2 、集总参数法的计算
    已知：有一任意形状的物体，其体积为 V ，面积为 A ,初始温度为 t 0 ，在初始时刻，突然将其置于温度恒为 的流体中,且 t o > ， 固体与流体间的表面传热系数 h ,固体的物性参数均保持常数。
    试根据集总参数法确定物体温度随时间的依变关系.
解： ① 建立非稳态导热数学模型
    方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：

    ∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。
    ∴物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即 t 仅是 τ 的一元函数，二与坐标 x 、 y 、 z 无关，即
=0
    则： （ a )
    ∵ 可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）。
    ∴ 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即:（ b )
    ∵ t〉 ， 物体被冷却，∴ 应为负值
    由（ a ),（ b ）式得： （ 3-2 ）
    这就是瞬时时刻导热微分方程式。
方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程,即
物体与环境的对流散热量 = 物体内能的减少量
    则有：
    ② 物体温度随时间的依变关系
    引入过余温度:
    则上式表示成:
    其初始条件为：
    将 分离变量求解微分方程，
    对时间 从 0 积分，则：

In
即： ( ) ( 3—3 ）
    其中：
    其中： V/A 是具有长度的量纲，记为 ；
    毕渥数；
    傅立叶数；
    而 V 说明 Fov 、 Biv 中的特征长度为 V/A
    故得：（ 3—4 )
    由此可见，采用集总参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指数曲线关系变化。而且开始变化较快,随后逐渐变慢。
   指数函数中的 的量纲与 的量纲相同，如果时间 ，则

    则： 称时间常数，记为 .
    的物理意义:表示物体对外界温度变化的响应程度.
    当时间 时，物体的过余温度已是初始过余温度值的 36.8% 。
③ 确定从初始时刻到某一瞬间这段时间内，物体与流体所交换的热流量
    首先求得瞬时热流量：
    将 带入瞬时热流量的定义式得：
    = （ 3—5 )
         =
    式中负号是为了使 Φ 恒取正值而引入的。
    若 （物体被加热）,则用 代替 即可.
    然后求得从时间 0 到 时刻间的总热流量：

            = = ( 3 — 6 ）
3 、集总参数法的判别条件
    对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件：=h（V/A）/ 〈 0。1M （ 3—7 ）
    则物体中各点间过余温度的偏差小于 5% 。其中 M 是与物体几何形状有关的无量纲数.
    无限大平板: M=1
    无限长圆柱： M=1/2
    球 : M=1/3
    毕渥数的特征长度为 V/A ，不同几何形状，其值不同,对于：
    厚度为 2 的平板:
    半径为 R 的圆柱：
    半径为 R 的球：
    由此可见，对平板： =Bi
    圆柱: = Bi /2
    球体： = Bi/3

二、毕渥数 与傅立叶数 的物理意义
1 、
1 )定义：表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的换热热阻（即外部热阻）之比。

    越小,表示内热阻越小,外部热阻越大.此时采用集总参数法求解更为合适.
2 ）物理意义： 的大小反映了物体在非稳态导热条件下，物体内温度场的分布规律.
2 、
1 ）定义： 表征两个时间间隔相比所得的无量纲时间。

    分子 τ 是从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计时刻为止的时间间隔。分母可视为边界上发生的有限大小的热扰动穿过一定厚度的固体层扩散到 的面积上所需的时间。
2 ）物理意义：表示非稳态导热过程进行的程度, 越大，热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各点的温度越接近周围介质的温度.

§3 — 3 一维非稳态导热的分析解

本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应
用.如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度 >> 厚度时,平板
的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少,以至于可
以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大"
平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量
交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析,可简化成一维导热问题。
一、 无限大平板的分析解
已知：厚度 的无限大平板,初温 ,初始瞬间将其放于温度为 的
流体中，而且 〉 ，流体与板面间的表面传热系数为一常数。
    试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
 解：如图 3—5 所示,平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。

    对于 x 0 的半块平板,其导热微分方程：(0<x〈 , ） （ 3-8 ）
    定解条件：t(x，0）= (0 x )
（边界条件)
（边界条件)
    引入过余温度：
则 （ 0<x〈 ， ) （3-9）
(x,0)= (0 x ） （初始条件）
（边界条件）
（边界条件)
对偏微分方程 分离变量求解得：
（ 3—10 ）
    其中离散值 是下列超越方程的根，称为特征值。…… （ 3—11 )
    其中 Bi 是以特征长度为 的毕渥数。
    由此可见：平板中的无量纲过余温度 与三个无量纲数有关：以平板厚度一半 为特征长度的傅立叶数、毕渥数及 即： （ 3—12 ）

二、非稳态导热的正规状况阶段
1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系
前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大,但对比计算表明，当 Fo>0.2 时,采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于 1％ ,因此，当 Fo>0.2 时，采用以下简化结果:
（ 3—13 ）
    其中特征值 之值与 Bi 有关。
    由上式（ 3-13 )可知： Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度 （x , τ） 与平板中心的过余温度 （0 ， τ)= ( τ ）之比为: ( 3—14 )
    此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当 Fo>0.2 以后，虽然 （x ， τ) 与 （ τ ）各自均与 τ 有关，但其比值则与 τ 无关,而仅取决于几何位置（)及边界条件（ Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何,只要 Fo>0。2 ， 之值是一个常数，也就是无量纲的温度分布是一样的。
    由此可见，当 Fo〉0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。

2 、在一个时间间隔内非稳态导热过程中传递的热量
1 ） 从物体初始时刻平板与周围介质处于热平衡，这一过程中传递的热量：
( 3-15 ）
    此值为非稳态导热过程中传递的最大热量。
2 ) 从初始时刻到某一时间 τ ，这段时间内所传递的热量 ：
( 3-16 )
3 ） 之比：

（3—17）
其中： 是时刻 τ 物体的平均过余温度， 。
    对于无限大平板,当 Fo>0。2 ，将式( 3—13 )代入 的定义式，可得:
（ 3—18 )
    对圆柱体、球体 〉0。2 时,无穷级数的解也可用第一项近似代替，并且 及 可表示为：
（ 3-19 ）
（ 3—30 )
    其中： η 为无量纲几何位置，对平板 ，对柱体及球体 ， R 为外表面半径，系数 A 、 B 及函数 的表达式取决于几何形状，见教材表 3—2 所示。
三、正规阶段状况的实用计算方法
    当 Fo>0.2 时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。
1 、诺模图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。
2 、海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。
    首先根据（ 3—13 ）式给出 随 Fo 及 Bi 变化的曲线（此时 x/δ=0 ），然后根据（ 3 — 14 ）式确定 的值，于是平板中任意一点的 值便为：（ 3-21 ）
    同样,从初始时刻到时刻 τ 物体与环境间所交换的热量，可采用（ 3 - 15 ）、（ 3 — 17 ）作出 曲线.
3 、诺模图法评述
    优点：简洁方便.
    缺点：准确度有限,误差较大。
    目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视.

四、分析解应用范围的推广及讨论
1 、推广范围
1 )对物体被冷却的情况也适用;
2 ）也适于一侧绝热，另一侧为第三类边界条件的厚为 δ 的平板；
3 ）当固体表面与流体间的表面传热系数 h 时，即表面换热热阻 0 时,所以 时分析解就是固体表面温度发生一突然变化然后保持不变时的解,即第一类边界条件的解.
2 、讨论 Bi 与 Fo 对温度场的影响:
1 )傅立叶数 Fo :
    由 (3—10） 、 (3—13) 式及诺模图可知：物体中各点的过余温度随时间 τ 的增加而减小;而 Fo 与 成正比，所以物体中各点过余温度亦随 Fo 的增大而减小。
2 ）毕渥数 Bi
    Bi 对温度的影响从以下两方面分析：
    一方面，从教材图 3 — 6 可知, Fo 相同时， Bi 越大, 越小。因为， Bi 越大，意味着固体表面的换热条件越强，导致物体的中心温度越迅速地接近周围介质的温度;当 Bi 时,意味着在过程开始瞬间物体表面温度就达到介质温度，物体中心温度变化最快,所以在诺模图中 1/Bi=0 时的线就是壁面温度保持恒定的第一类边界条件的解.
    另一方面 Bi 的大小决定于物体内部温度的扯平程度。如：对于平板，从诺模图 3 — 7 中可知:
    当 〉10 （即 Bi<0。1 ）时，截面上的过余温度差小于 5 ％
    当 Bi 下限一直推到 0。01 时，其分析解与集总参数法的解相差极微。
    综上可得如下结论:介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解；当 Bi 时，转化为第一类边界条件下的解, Bi 0 时，则与集总参数法的解相同。

§3 — 4 二维及三维非稳态导热问题的求解
一、求解方法
    对于典型的几何形状的物体，可利用一维非稳态导热问题分析解的组合求得。
如图 3-9 所示:无限长方柱体的非稳态导热问题，属二维导热问题。截面
尺寸为： 的方柱体可视为两块厚度分别为 及 的无限大平板
垂直相交所截出的物体.
    讨论的目的：找出二维温度场与两块无限大平板的温度场之间的关系。
已知：方柱体初温为 to ,初始时放于 t 流体中，表面传热系数为 h。
试求：温度场分布。
解:如图 3—9 所示，建立坐标系，由于其对称性，只研究其 截面的温度分布，截面上的温度分布由下列导热微分方程和定解条件确定：（ 3—22 )

( I ）
( II ）
（ III ）
（ IV )
式中： 为无量纲过余温度。
如果无量纲过余温度 与 分别是处于与方柱体同样定解条件下的厚度分别为 及 的无限大平板的分析解，则它们必须满足各自的导热微分方程及定解条件，即：
（ 3-23 ）
（ V ）
（ VI )
（ VII )
及 （ 3-24 ）

只要证明：两块无限大平板分析解的乘积就是上述无限长方柱体的分析解，即：
( 3-25 ）
证明：
    首先证明式（ 3—25 ）满足导热微分方程（ 3—22 ），为此将式（ 3-25 ）代入式（ 3-22 ）的左右两端得：
    左端：
    右端：
    左端减去右端得：
－
= － + =0
∴证明 满足微分方程
其次证明： 满足初始条件
根据 及 的初始条件 和 得:

∴证明 满足初始条件
    最后证明： 满足边界条件
    将式（ 3-25 ）代入边界条件（ I ),并注意到式（ VII ）的关系得

= [ ］= ＊0=0
    同样可以证明它也满足式（ 3—34 ）.
    再将式（ 3-25 ）代入边界条件（ III ），并注意到式（ VI ）的关系得
=0* =0
    同理可证明它也满足式( IV ）.
∴证明 满足边界条件
    综上可知： 是上述无限长方柱体导热微分方程的解。
    结论：
    此方法是多维非稳态导热的求乘积解法，此法适用于第一类边界条件,且 时。
    同理，对长圆柱体，矩六柱体等二维，三维非稳态导热问题,可以用相应的二个或三个一维问题的解的乘积来表示其温度分布。
—-表示无限大平板的解
——表示无限长圆柱体的解
则：
( a ）：
（ b ）：
（ c ）：
二、乘积解法的适用条件
•  初始温度为常数, const ；
•  第一类边界条件， const ；
•  第三类边界条件， const 、 h=const ;
•  线性微分方程,且定解条件均为齐次，即乘积解中温度必须以过余温度或无量纲过余温度的形式表示.
    说明:对于形状复杂或边界条件复杂，分析解法无能为力，应借助其它的求解的方法，
    如 ① 数值解法； ② 实验模拟法.

§3 — 5 半无限大物体的非稳态导热

一、半无限大物体的概念
    几何上是指从 x=0 的界面开始可以向正的 x 方向及其他两个坐标（ x,y ）方向无限延伸的物体，称半无限大物体。
    实际中不存在该物体，但研究物体中非稳态导热的初始阶段，可把实物看为该物体处理.
如：有限厚度的平板，起初有均匀温度，后其侧表面突然受到热扰动,如
•  壁温突然升高到一定值并保持不变;
•  壁面突然受到恒定的热流量密度加热；
•  壁面受到温度恒定的流体的加热或冷却。
    当扰动的影响只局限在表面附近，而尚未进入平板内部时，就可视该平板为,“半无限大"物体。

二、第一类边界条件下半无限大物体非稳态导热温度场的分析解

如图 3-11 所示:已知半无限大物体初始温度均匀为（ to ），当 =0
时， x=0 侧表面温度突然升高到 ，并保持不变，试确定物体内温度随时间
的变化和在时间间隔 ［0 ， τ］ 内的热流量。
解： 1 、物体内的温度分布
根据半无限大物体的定义,得出其导热微分方程：
（ 3—26 )
    初始条件为： τ=0 时，
    边界条件为： x=0 时，
    x→ 时,
引入过余温度: 则有：
（ 3—27 ）
    τ=0 时，
    x=0 时,
    x→ 时，
    将微分方程 分离变量并求解得分析解为:

                =erf （ ） =erf η （ 3-28 )
    其中:无量纲变量 η= ； erf η 称为误差函数，它随 η 的变化而变化，由附录表可知：
    当 η=2 时， =0.9953 ，就是说当 η 2 即 2 时，该处 x 的温度仍认为等于 to (无量纲过余温度的变化小于 5％ )，由此得到以下两个重要参数：
① 从几何位置上说,若 ，则时刻 τ 时 x 处的温度可认为未发生变化。
    所以,对 且厚为 2δ 的平板,当其一侧温度突然变化到另一恒定温度时，若 δ ，则在 τ 时刻之前该平板中瞬时温度场的计算可采用半无限大物体模型处理.
② 从时间上看，如果 ,则此时 x 处的温度可认为完全不变，所以把 视为惰性时间，即当 时 x 处的温度可认为仍等于 .
2 、表面上的瞬时热流密度及在 ［0 ， τ］ 时间间隔内放出或吸收的热量:
    物体中任意一点的热流密度：
（ 3-29 ）
    则,表面上的热流密度为： ( 3-30 ）
    在时间 ［0 ， τ］ 内，流过面积 A 的总热流流量： （3-31 )
    由此可见：
① 半无限大物体在第一类边界条件影响下被加热或冷却时,界面上的瞬时热流量与时间的平方根成反比；
② 在时间 [0 ， ] 内交换的总热量则正比于 及时间的平方根。
    其中： 称为吸热系数，表示物体与其接触的高温物体吸热的能力.
三、半无限大物体概念的适用范围
    只适于物体非稳态导热的初始阶段,当物体表面上的热扰动已深入传递到物体内部时，就不再适用，则应采用前述分析方法。
补充：
一、非稳态导热问题求解思路
•  解一维非稳态导热问题的基本思路
1 ） 首先,用 Bi 检验是否满足集总参数法的条件，若性质属于 h 或 δ 未知,可先假设，然后校核；
2 ）若不能用集总参数法，可采用分析解法 ｛ 诺模图法和近似公式法 } ；
3 ）若 2 ）, 1 ）方法均不能求解，则采用数值解法.
•  多维非稳态导热问题的求解方法
1 ）是否满足乘积解法的条件;
2 )合理将一个多维问题分析成几个一维问题.
二、物体内速度变化的规律
•  温度变化最慢的点位于物体的体心或形心；
•  温度变化最快的点位于离物体的体心或形心最远处。