一种转化思想----算两次.doc

(完整版)一种转化思想-算两次一种转化思想 算两次湖北省武汉市蔡甸区第二中学 朱本韬算两次是一种常用的数学方法，也称作富比尼原理。它体现了数学的转化思想，方程思想。波利亚在数学的发现一文中就曾经说过：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。新编人教版高中教材例题习题中多次使用“算两次”的方法解决问题，同时，在每年全国各省市的高考压轴题或摸拟题中也是常见的方法.一 “算两次”在教材中例 必修（人教版）第二章“两角和与差的余弦公式”的证明证明：如图1,在直角坐标系xOy中,以Ox为始边分别作角、 ，其终边分别与单位圆交于P1(cos ，sin ),P2(cos ，sin ），则P1OP2,由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以只需证明0的情况,设向量（cos ，sin ），b=（cos ，sin ），则一方面有ab| cos （)cos (）,另一方面,用向量数量积的坐标表示，又有abcos cos sin sin .综上可得cos （)cos cos sin sin ，证毕在该公式的证明过程中，用平面向量数量积的两种运算方法,把分别表示为| cos 与x1x2y1y2，建立方程关系，从而证明了该公式,这里用到的数学方法就是算两次原理.例 必修(人教版）第二章“等差数列前n项和的公式的推导。解:一方面,n1+2+3+n（d)（d）（n）d 另一方面，nnn-1n-2n(nd）( n2d）n(n1)d得：n（n）(n）(n）n(n)由此得到等差数列n的前n项和公式：n在该公式推导中,结合等差数列的通项公式及其推论性质，将Sn进行两种不同的表示,然后倒序相加.人教版高中数学新教材中多次出现用算两次的方法解决问题，如必修2中用等积法证明了点到直线的距离公式等。二 “算两次”在高考压轴题中1 “算两次”与函数例3 （2008年高考江苏卷第14题）设函数f（x)xx+1（xR)，若对于任意x1，,都有f(x)成立，求实数的值。解：若x，则不论为何值,f(x）显然成立一方面，当x（，时，f(x)x33x，可化为，设g(x)，则g （x），所以g（x）在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，因此，g（x)g（)，从而；另一方面，当x-，)时，f（x）xx+1可化为，f（x）在区间，）上单调递增，因此g(x）g（1）,从而综上，.该题针对x，x（，与x，）三种情况，后两种情况是“算两次”,分别求得，及,结合两边夹求得结果。 算两次与数列例（2008年重庆高考文科卷第22题）设各项均为正数的数列满足,（nN）（1) 略(2） 若对于n，求的值解：令logn,则，故需求的值。设表示的前n项和，则。由得:（n)因为上式对n成立，可得一方面,由，得,故（）另一方面,由，（nN）得：（nN）即：（）（）故数列是首项为，公比为的等比数列即：（)（）(nN）将上式对n求和得：()（）（)(）（n2）因此，2-1（n2）下证若不然，假设，则由上式得,不等式时n2成立。但这是不可能的，因此 由得，该题同样用“算两次”并结合“两边夹”求得结果，尤其是第二种算法中，充分运用构造新数列思想，求得的取值范围。3 “算两次与解析几何”例5（2009年高考数学江苏卷文科第22题)如下图示，已知圆G:(-2）y=r 是椭圆y的内接的内切圆,其中A为椭圆的左顶点，求圆的半径。解：由题意可设（r,y),过圆心G作GDAB,垂足为D，BC交长轴于。一方面，由得，即：y。另一方面，由点（r,y）在椭圆上，得y。综合式，得15r+8r-12=0解得 r=或r（舍去）。题中分别利用三角形相似和点在椭圆上得到点的纵坐标y的两种算法，建立方程使问题得以解决。 结语： “算两次的基本模式是“一方面,另一方面,结合起来可得”，一个数学研究对象若既满足条件又满足条件时，我们就可以考虑使用这种方法。日常课堂教学中，教师应不断挖掘教材潜能,积极提炼各类思想方法，从更高层次培养学生“算两次”的解题意识，也是对一题多解发散思维的有力补充。