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求解数列通项公式的常用方法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一． 观察法(猜想法)
由数列的前几项的特点观察猜想出数列的通项公式，关键是找出各项与项数n的关系。
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）
（4）（5））
析:（1）（2） （3） （4）.
（5）

二、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例2．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
解：设数列公差为
∵成等比数列，∴，即
∵， ∴………………………………①
∵ ∴…………②
由①②得：， ∴
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

三、   累加法   （叠加法）
求形如（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加求得通项。

例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出所以数列的通项公式为。 即得数列的通项公式。

四、累积法（叠乘法）
对形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。

例4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。
解：由(n+1)·=n·得，即
=··…= 所以

五、公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式
求解。（注意：是否需要验证n=1时结论是否成立）
例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）。 （2）
解： （1）时
时，===3
此时，满足上式。∴=3为所求数列的通项公式。
（2））时，
当时
由于不适合于此等式 。 ∴
注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例 6 设数列满足
解析：
例7. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列是等比数列。
解析：因为
所以

所以，数列是等比数列。
例8、数列的前n项和为sn，且满足
（1） 求证：成等差数列；（2）求数列的通项公式
（1）证明：
（2）解：由（1）得

六、构造等差或等比数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
1、形如 其中p，q均为常数
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后转化为
例8：已知数列满足 ，求证：是等差数列，并求的通项公式。
解： ，，即
是首项为1，公差为3的等差数列。 .

3、形如 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例10:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.

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