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§3 条件分布
我们由条件概率很自然地引出条件概率分布的概念．
设(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律为

(X，Y)关于X和关于y的边缘分布律分别为

设>0，我们来考虑在事件{Y= }已发生的条件下事件{ X=，）发生的概率，也就是来求事件
，
的概率，由条件概率公式，可得

易知上述条件概率具有分布律的性质：
1、
2、
于是我们引入以下的定义．
定义 设(X．Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=y,}>0，
则称
(3.1)
·为在Y=y，条件下随机变量X的条件分布律．
同样，对于固定的i．若P{X= }>0．则称
(3.2)
为在X =x，条件下随机变量Y的条件分布律．
例l 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的．其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点，以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由机器人焯接的小良焊点的数目，据积累的资料知(X，Y)具有分布律：
X
Y
0 1 2 3
P{Y=j}
0
1
2
0.840 0.030 0.020 0.010
0.060 0.010 0.008 0.002
0.010 0.005 0.004 0.001
0.900
0.080
0.020
P{X=i}
0.910 0.045 0.032 0.013
1.000

(1)求在X=1的条件下．Y的条件分布律；(2)求在y=0的条件下，X的条件分布律．
解 边缘分布律已经求出列在上表中.在X=1的条件下，Y的条件分布律为

或写成
Y=k
0 1 2
P{Y=k︱X=1}

同样可得在Y=0的条件下X的条件分布律为
X=k
0 1 2 3
P{X=k︱Y=0}

例2 一射手进行射击，击中目标的概率为p(O<p<1)，射击直至击中目标两次为止．设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．
解 按题意Y=n就表示在第n次射击时击中目标，且在第1次，第2次，……，第n-l次射击中恰有一次击中目标．已知各次射击是相互独立的，于是不管m（m<n）是多少，概率P{X=m,Y=n）都应等于
p.p. =（这里q=1-p）．
即得X和y的联合分布律为
P{X=m,Y=n)}= ，n=2,3,…;m=1,2,...,n-l.
又 P{x=m}= {X=m，y=n）=
==
P{Y=n}= {X=m，y=n}
==(n-1) ,n=2,3,....
于是由(3.1)，(3.2)式得到所求的条件分布律为
当n-2，3，…时，
P{X=m,Y=n}==
当m=1,2，…时，
P{Y=n︱X=m}==p,n=m+1,m+2,…
例如．P{X=m︱Y=3}=， m=1,2；
P{Y=n︱X=3}=， n=4，5，．．
现设(X，Y)是二维连续型随机变量，这时由于对任意x，y有P{X=x}=0，P{Y=y}=0，因此就不能直接用条件概率公式引入¨条件分布函数”了．
设(X．Y)的概率密度为f (x，y)，(X．Y)关于Y的边缘概率密度为fy(y)．给定y，对于任意固定的>0，对于任意x，考虑条件概率
P{X≤x︱y<Y≤y+}，
设P{y<X≤y+}>0，则有
P{X≤x︱y<Y≤y+}=
=
在某些条件下，当很小时，上式右端分子、分母分别近似于，于是当很小时，有
P{X≤x︱y<Y≤y+）≈= (3.3)
与一维随机变量概率密度的定义式第二章(4.1)式比较．我们给出以下的定义．
定义 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，(X，Y)关于Y的边缘概率密度为．若对于固定的y, >0，则称 为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为①
(3.4)
———————————————————
① 条件概率密度满足条件： ≥0;
==

称=为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记为P {X≤x︱Y=y}或，即
= P {X≤x︱Y=y}= （3.5）
类似地，可以定义 和.
由(3.3)知道，当很小时，有
P{X≤x︱y<Y≤y+}≈=,
上式说明了条件密度和条件分布函数的含义．
例3 设G是平面上的有界区域，其面积为A．若二维随机变量(X，Y)具有概率密度

则称(X，Y)在G上服从均匀分布，现设二维随机变量(X，Y)在圆域≤1上服从均匀分布，求条件概率密度．
解 由假设随机变量(X．Y)具有概率密度

且有边缘概率密度

于是当- l<y<l时有
=
当y=0和y=时的图形分别如图3—6，图3-7所示．

图3-6 图3-7
例4 设数X在区间(0，1)上随机地取值，当观察到X=x (0<x<1)时，数Y在区间(x，1)上随机地取值．求Y的概率密度．
解 按题意X具有概率密度

对于任意给定的值x(0<x<1)，在X=x的条件下Y的条件概率密度为

由(3.4)式得X和Y的联合概率密度为

于是得关于Y的边缘概率密度为