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第一章、计数原理知识点小结
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有 种不同的方法.
2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，，那么，完成这件工作共有 种不同方法。
3.两种方法的区别与联系：

4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。
5.常用的方法有：填空法，使用时注意：
6.常见的题型：
（1）有关数字排列问题
例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）

变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

小结：
（2）形如的问题。
例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？

变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）

小结：
（3）涂色问题
例3:用五种不同的颜料给4块（ABCD）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？

变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？

小结：
二、排列
1.排列的定义：一般地，从n个 元素中取出m（ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.
2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？

3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
4.排列数公式：从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
5.全排列：从n个不同元素中 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
6.n的阶乘定义： 用 表示。 规定：0！=
注：1！= 2！= 3！= 4！= 5！= 6！=
例1计算：⑴; ⑵ ; ⑵

7.解决排列问题的基本方法
类型一：直接法和间接法
例1:用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（多种方法）

小结：排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作 ．当问题的正面的分类较多或计算较复杂，而反面分类较少，计算简单时，可通过求差采用 求解；
间接法的步骤：
类型二：排列问题(无限制条件的和有限制条件的)
例2：有4名男生，3名女生排成一排
（1） 有多少种排列方法？
（2） 若7和人排成两排，前排3人，后排4人有多少种排法？
（3） 若甲男生不站排头也不战排尾有多少种不同的排法？
（4） 若甲只能在中间或者两端？
（5） 甲乙必须在两端呢？
（6） 甲不站排头，乙不站排尾呢？
（7） 若3名女生必须排在一起
（8） 若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？
（9）男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲与女生乙不能相邻，有多少种不同的站法？？
（10）若甲乙相邻，丙丁不相邻呢？
（11）若甲乙间恰有两人？

小结：1：解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即优先考虑 ，然后在考虑 ；位置分析法——即优先考虑 ，再考虑
小结2：排列中有些元素“相邻”问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素进行排列，此法称为“ ”；而对于元素不相邻的排列问题，可先将允许相邻的元素进行排列，然后在它们的空档处插入不能相邻的元素，对于这种“分离”问题我们用“ ”等.
练习：用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数
三、组合
1组合的定义：一般地，从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
2.排列和组合的区别和联系？相同点： 不同点：
3. 组合数的概念：从个 元素中取出个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示
4.与的关系为：= =
5：组合数公式：＝ ＝ 这里的m、n满足的条件是
6：用阶乘表示= 我们规定：
7.组合数的性质一：
8.常见的题型：
类型一：计算
例1： ； ； ； ；

例2：解方程：已知=，求n=? 例3： 解不等式：>

类型二：没有限制条件的组合问题
例3：（1）. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．
（2）从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有个不同的积；任取两个不同的数相除，有个不同的商，则：= .
（3）一位教练的足球队共有17名初级学员，他们呢中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，
问：（1）这位教练从这17位学员中可以形成多少种学员上场的方案？
（2）如果在选出的11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？

类型三：有限制条件的组合问题
例4：在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
（1） 任意选5人
（2） 甲乙丙三人必须参加
（3） 甲乙丙三人不能参加
（4） 甲乙丙三人只能有1人参加
（5） 甲乙丙三人至少有1人参加
（6） 甲乙丙三人至多有1人参加
小结：有限制条件的组合应用题:解决“含与不含”，问题时，将限制条件视为 ，优先满足。
解决至少与至多问题时，常用的方法有 ，注意不重不漏。
类型四.：与平面几何有关的问题
在的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，可以得到多少个三角形？

四、二项式定理
1： （）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做的展开式，其中（r＝0，1，2，…，n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.即
注意：（1）展开，共有 项？每一项的次数 ；（
（2）每一项中，字母，的指数有什么特点？字母，的指数和怎样？（3）各项的系数是什么？

（4）是的展开式的第几项？

（5）的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？若不同，有什么区别？

2.常见的题型
题型一：求二项式展开式的特定项
例1 ⑴ 求展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
（2）求 展开式中的常数项和中间项.

3：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是 .
试试：
① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 . 所以的各二项式系数的最大值是
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即
若a=1,b=-1又可以得到什么呢？
试试：
4.常见的题型
类型一：求二项式系数和、系数的和
例1.求和：=
例2.若，则 ，
.

小结：特殊值法:
类型二：求系数最大（小）的项
例3：求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

求二项式展开式中系数最大（小）的步骤为：

类型三、求有理项：二项式的有理项的定义为

类型四、多项式中的指定项
例5在（x-1）(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含项的系数是多少？

例6. 展开式中的系数

类型五、整除问题求余数问题
例7. 求除以7的余数是 。例8证明：-1能被1000整除