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第五章 投影与视图
知识结构

定义：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子

投影 中心投影：定义、性质、应用
类型
平行投影：定义、性质、应用

投影与视图
三视图：主视图、左视图、俯视图

简单几何体圆柱、圆锥、球、直棱柱的三视图
视图
简单组合体的三视图

根据三视图确定立体图形

第一节 投影
知识一：中心投影
物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象.
探照灯、手电筒、路灯、台灯等的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影，发出光线所形成的投影称为中心，发出光线的这一点就是中心,地位相当于物理中的“点光源”
中心投影的性质与规律：
1、 在点光源的照射下,物体和影子上的对应点连线相交于一点
2、 物体影子的长度不仅和物体自身的高度有关，还和它离点光源的距离有关

结论:1、等高的物体垂直于地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体，它的影子短；离
点光源远的物体，它的影子长.
2、等长的物体平行于地面位置时,在灯光下，离点光源越近,影子越长；离点光源
越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短
3、在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条
直线上。根据其中的两个点,可确定第三个点的位置

题型一、中心投影的判断
例1、下列光线形成的投影不是中心投影的是( ）
A、 探照灯 B、太阳 C、手电筒 D、路灯

例2、如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个园,当把白炽灯向上移动时，图形阴影的大小的变化情况是（ )

题型二：求长度
例3、小华自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示,幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1。5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（　　）
A．50cm B．500cm C．60cm D．600cm

例4、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，，测得影子EF的长为2米，已知小李的身高CM为1.5米，求路灯A的高度AB．

题型三：中心投影的综合应用
例5、晚上,小亮走在大街上。他发现：当他站在大街两边的两盏路灯直角,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时,自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1。5米。又知自己身高1。80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．则路灯的高为______米

变式：学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为1。6m的小明（AB）的影子BC长是3m,而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6m．
（1）请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2)求路灯灯泡的垂直高度GH．
（3）如果小明沿线段BH向小颖(点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处,…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为______m．（直接用n的代数式表示)

2、如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子
知识二：平行投影
太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。平行投影有如下特点和规律：
1、 在不同时刻，同一物体的影子的方向和长短可能不同。不同时刻，物体在太阳光下的影子的长短在改变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西——西北——北——东北——东，影子也是由长变短再变长，
2、 在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比，即。
3、 判定平行投影的方法:过物体的顶端及其影子的顶端作一直线，若两直线平行，则为平行投影。
知识拓展:
投影类型
光线
影子
线型
位置关系
与实物的高(或长）
方向
平行投影
直线
平行
成比例
同一个方向
中心投影
直线
相交于一点(点光源）
不成比例
相同或不同方向
例1、上午九时，阳光灿烂，小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿，若它们的影子长度相等，则这两根竹竿的相对位置可能是（ )
A、都垂直于地面 B、都倒在地面上 C、不平行斜竖在地面上 D、平行斜竖在地面上
例2、如图，是一天下午不同时刻旗杆的影子,则它们按照时间的先后顺序为_______

例3、小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头颈随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为________

题型：实际应用
例4、张明同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为1。5米时，其影长为1。2米。当他测量教学楼旁的一棵树影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上，经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约多少米？

变式：赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度。

2、如图所示，小明想测量电线杆AB的高度,他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4　m,BC=10　m,CD与地面成30°角，且此时测得1　m杆的影子长为2　m，求电线杆AB的高度。

例5、在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度。在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12。1米。
（1） 请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF．
（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度．（精确到0.1米）

例6、雨过天晴的一个下午，小明和小亮发现路边从A处折断的一根电线杆，他们测量发现折断部分AC与地面的夹角α=30°，树身部分AB在某时刻阳光下的BD=6米，而在同一时刻,身高1.6米的小亮的影子是2.4米，求树原来的高度．。

知识三:正投影
定义：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影

第二章：视图
知识一：视图及常见及几何体的三视图
用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为为物体的视图,从正面得到的视图叫做主视图，反映它的长和高;从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的长和宽;从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的宽和高.三种视图将立体图形转化为平面图形，使我们更全面地认识立体图形

几种常见几何体的三视图
名称
几何体
主视图
左视图
俯视图
正方体

圆锥

球

圆柱

长方体

知识拓展：(1）三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投影的结果,能较完整地表达物体的结构.
（2） 三视图的特征：主、俯视图长对正，主、作视图高平齐,俯、左视图宽相等，即长对正，高平齐，宽相等。
（3） 三视图和物体之间有以下关系:
主视图反映了物体长和宽两个方向的形状特征；俯视图反映了物体长和宽两个方向的形状特征；左视图反映了物体宽和高两个方向的形状特征.
（4） 三视图的画法：
①为了便于准确视图，通常把俯视图画在主视图的正下方,把左视图画在主视图的正右方
②画一个几何体的三视图，要按照三视图的特征：长对正,高平齐，高相等规范地画出。
③画三视图时,可见轮廓线为实线,不可见轮廓线用虚线

知识二：组合体的三视图
将具体实物合理地抽象成简单几何体的组合体，再将简单几何体的组合体分解成单个几何体，然后画出三视图。
画一个非常规的组合体的三视图的方法：
首先要认真观察，判断其实我们所熟悉的几何体还是几种常见几何体的组合,然后按照画几何体的三视图的方法正确画出它的三视图
题型一:三视图中求面积
例1、 一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为________

练习：长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ）

A、3 B、4 C、12 D、16
变式：如图，是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是____

题型二、画出三视图
例2、 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所示，圆锥在圆柱上底面正中间放置)摆在讲桌上,请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看到的视图)

变式：如图是由几个小立方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图。

题型三、三视图的综合运用
例3、如图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断正确的是( ）

A．a2+b2=c2 B．a2+b2=4c2 C．a2+c2=b2 D．a2+4c2=b2
题型四：实际应用题
例4、长城大酒店经理准备在前门台阶铺上红色地毯,下面是当时修建台阶时的图纸,如图所示。
（1） 画出该台阶的食物模型；
（2） 若红色地毯每平方米50元，那么铺上地毯需要多少钱?
1m 6m
主视图 俯视图 左视图

题型五：开放探究题
例5、用小立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示。
这样的几何体使唯一的吗？它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块？用数字在俯视图中表示相应位置的小立方块个数。

变式:用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小正方体的个数，请回答下列问题：
（1)a，b,c各表示几？
(2）这个几何体最少由几个小正方体搭成？最多呢？
（3）当d=e=1，f=2时，画出这个几何体的左视图.