圆中常见的辅助线的作法分类大全.doc
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1、1 遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用:1、利用垂径定理; 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形; 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例:如图,是O的直径,POAB交O于P点,弦PN与AB相交于点M,求证:PMPN=2PO2.分析:要证明PMPN=2PO2,即证明PMPC =PO2,过O点作OCPN于C,根据垂经定理 NC=PC,只需证明PMP
2、C=PO2,要证明PMPC=PO2只需证明RtPOCRtPMO.证明: 过圆心O作OCPN于C,PC= PNPOAB, OCPN,MOP=OCP=90.又OPC=MPO,RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN,PMPN=2PO2.【例1】如图,已知ABC内接于O,A=45,BC=2,求O的面积。 【例2】如图,O的直径为10,弦AB8,P是弦AB上一个动点,那么OP的长的取值范围是_【例3】如图,弦AB的长等于O的半径,点C在弧AMB上,则C的度数是_.2 遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形。例 如图,在ABC中
3、,C=90,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N(1) 求证:BABM=BCBN;(2) 如果CM是O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值分析:要证BABM=BCBN,需证ACBNMB,而C=90,所以需要NMB中有个直角,而BN是圆O的直径,所以连结MN可得BMN=90。MNOCA(1) 证明:连结MN,则BMN=90=ACBACBNMBABBM=BCBN(2) 解:连结OM,则OMC=90N为OC中点BMN=ON=OM,MON=60OM=OB,B=MON=30ACB=90,AB=2AC=23=6【例4】如图,AB是O的直径,AB=4,弦BC=2, B
4、= 3 遇到90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用:利用圆周角的性质,可得到直径。【例5】如图,AB、AC是O的的两条弦,BAC=90,AB=6,AC=8,O的半径是 5 遇到有切线时(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)(2)常常添加连结圆上一点和切点作用:1、可构成弦切角,从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OAAB,得到直角或直角三角形。【例6】如图,AB是O的直径,弦AC与AB成30角,CD与O切于C,交AB的延长线于D,求证:AC=CD6 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种:公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是:“经过半径的外端,
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