1集合的概念及其关系-拔高难度-讲义.doc

集合的概念与关系知识讲解一、集合的概念1.集合某些指定的对象集在一起成为集合集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；2.集合的性质确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示1.集合的三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：，描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内例如：大于的所有整数表示为：方程的所有实数根表示为：|图示法具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法2.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作三、集合之间的关系1.子集关系定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；2.真子集关系对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）相等关系：对于两个集合与，如果，且 ，那么集合与相等，记作3.空集定义：不含任何元素的集合叫做空集性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；。注意事项：与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或显然，4.子集个数问题设集合A中元素个数为，则子集的个数为，真子集的个数为，非空真子集的个数为典型例题一选择题（共4小题）1（2017秋黄陵县校级期末）下列六个关系式：a，bb，aa，b=b，a0=0000其中正确的个数为（）A6个B5个C4个D少于4个【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知正确；根据集合无序性可知正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知不正确；根据元素与集合之间可知正确；根据空集是任何集合的子集可知正确故选：C2（2017秋安康期中）已知集合A=1，0，1，B=0，1，设集合C=z|z=x+y，xA，yB，则集合C的真子集的个数为（）A7B8C15D16【解答】解：根据题意，集合A=1，0，1，B=0，1，设集合C=z|z=x+y，xA，yB，则C=1，0，1，2，有4个元素，则C有241=15个真子集；故选：C3（2017秋徐汇区校级期中）若AB，AC，B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10，则这样的A的个数为（）A4B15C16D32【解答】解：AB，AC，A（BC），B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10，BC=0，2，4，6，A的个数为16，故选：C4（2017秋秦都区校级月考）已知集合A=x|ax2+2x+a=0，aR，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（）A1，0B0，1C1，1D1，0，1【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，（1）当a=0时，A=x|2x=0=0，此时集合A的两个子集是0，（2）当a0时 则=44a2=0解得a=1，当a=1时，集合A的两个子集是1，当a=1，此时集合A的两个子集是1，综上所述，a的取值为1，0，1故选：D二解答题（共11小题）5（2015秋长安区校级月考）用适当的方法表示下列集合方程x（x2+2x+1）=0的解集；在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；不等式x26的解的集合；大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合【解答】解：解方程x（x2+2x+1）=0得：x=0或x=1，故方程x（x2+2x+1）=0的解集为1，0；在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为：x|x=2n+1，n499，且nN；解不等式x26得：x8故不等式x26的解集为x|x8；大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合是：x|0.5x6，且xN6（1）已知A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且1A，求实数a的值（2）已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a、b的值【解答】解：（1）由题意：a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1，解得a=1或a=2或a=0据元素的互异性可排除1，2，a=0（2）由题意&a=2a&b=b2或&a=b2&b=2a，解得&a=0&b=1或&a=14&b=12或&a=0&b=0，根据集合中元素的互异性得&a=0&b=1或&a=14&b=127（2016秋射洪县校级月考）已知A=x|ax2+2x+1=0，aR（1）若1A，用列举法表示A；（2）当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B【解答】解：A=x|ax2+2x+1=0，aR（1）当1A时，方程ax2+2x+1=0的实数根为1，a+2+1=0，解得a=3；方程为3x2+2x+1=0，解得x=1或x=13；A=1，13；（2）当a=0时，方程ax2+2x+1=0为2x+1=0，解得x=12，A=12；当a0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程ax2+2x+1=0判别式=44a=0，解得a=1；综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素所以a的值组成的集合B=0，18（2013秋泗县校级月考）已知集合A=x|ax22x+1=0（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围【解答】解：（1）若A中恰好只有一个元素，则方程ax22x+1=0只有一个解当a=0时，方程ax22x+1=0等价为2x+1=0，即x=12，满足条件当a0，判别式=44a=0，解得a=1所以a=0或a=1（2）若A中至少有一个元素，则由（1）知，当集合只有一个元素时a=0或a=1当集合A有2个元素时，满足条件a0且=44a0，解得a1且a0综上实数a的取值范围a19（2016秋志丹县校级期中）设集合A=x|1x2，B=x|m1x2m+1，已知BA（1）当xN时，求集合A的子集的个数；（2）求实数m的取值范围【解答】解：（1）当xN时，A=0，1，2，集合A的子集的个数为23=8（2）当m12m+1，即m2时，B=，符合题意；当m12m+1，即m2时，B由BA，借助数轴，如图所示，得&m-1-1&2m+12解得0m12，所以0m12综合可知，实数m的取值范围为m|m-2或0m1210（2017秋沛县校级月考）已知集合A=x|2x5，B=x|m+1x2m1（1）若BA，求实数m的取值范围；（2）若xZ，求A的非空真子集的个数【解答】解：（1）若B，m+12m1，m2，BA；&m+1-2&2m-15，解得3m3，2m3；若B=，满足BA，则：m+12m1；m2；实数m的取值范围为：（，3（2）xZ，A=x|2x5=2，1，0，1，2，3，4，5，A的非空真子集的个数为282=25411（2016秋东平县校级月考）已知方程ax2+x+b=0（1）若方程的解集为1，求实数a，b的值；（2）若方程的解集为1，3，求实数a，b的值【解答】解：（1）若方程的解集为1，则若a=0，则1+b=0，解得a=0，b=1；若a0，则a+1+b=0且14ab=0，解得a=b=12综上所述，a=0，b=1或a=b=12（2）依题意得：1+3=1a，13=ba，解得a=14，b=3412（2017秋大方县校级月考）已知集合A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，xR，若BA，求实数a的取值范围【解答】解：A=x|x2+4x=0，xR=0，4，若AB=A，则BA，方程x2+2（a+1）x+a21=0的判别式=4（a+1）24（a21）=8a+8=8（a+1），若B=，即=8（a+1）0即a1，满足条件，BA若B=0或4，则=8（a+1）=0，即a=1，此时方程为x2=0，解得x=0，即此时B=0成立若B=0，4，则=8（a+1）0，即a1，则&0-4=-2(a+1)&0(-4)=a2-1，解得a=1综上a1或a=113（2017秋黄陵县校级期末）设S=x|x=m+n2，m、nZ（1）若aZ，则a是否是集合S中的元素？（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1x2是否属于S？【解答】解：（1）S=x|x=m+n2，m、nZ，aZ，a=a+02Sa是集合S的元素（2）不妨设x1=m+n2，x2=p+q2，m、n、p、qZ则x1+x2=（m+n2）+（p+q2）=（m+n）+（p+q）2，m、n、p、qZp+qZ，m+nZx1+x2S，x1x2=（m+n2）（p+q2）=（mp+2nq）+（mq+np）2，m、n、p、qZ故mp+2nqZ，mq+npZx1x2S综上，x1+x2、x1x2都属于S14（2017秋杨浦区校级期中）已知集合A=x|（m1）x2+3x2=0，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由【解答】解：存在M=1，18满足条件；理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程（m1）x2+3x2=0只有一个根，则m1=0，或&m-10&=9+8(m-1)=0，解得：m=1，或m=18，故M=1，18