第二单元正比例和反比例.doc

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第二单元 正比例和反比例
单元教学内容：
变化的量 正比例 画一画 反比例 观察与探究 图形的缩放 比例尺
单元教学目标：
1、 结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量；在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
2、 结合丰富的实例,认识正比例或者反比例；能根据正比例和反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例
3、 能找出生活中成正比例和反比例的实例，会利用正、反比例的有关指示解决一些简单的生活问题。
4、 通过观察、操作与交流，体会比例持产生的必要性和实际意义,了解比例尺的含义。
5、 运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题.
单元教材分析:
单元教材分析这部分内容是在学生已经学过比的意义、比的化简与比的应用的基础上学习的。本单元教材编写力图体现以下主要特点.
1、生活在一个变化的世界中，从数学的角度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来.同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式.我们知道，函数(函数可以直观地理解为：在一个变化过程中有两个变量x,y，对于x的每一个变化的值，y都有唯一确定的值与之对应，y就叫做x的函数）是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，对它的学习一直是中学阶段数学学习的一个重要内容。而国际数学课程发展的趋势表明，对变量之间关系的探索、描述应从小学阶段非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的。其实，以前学习的探索数、形的变化规律,字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验,而本章的正比例、反比例本身就是两个重要的函数.函数是刻画变量之间相互关系的重要模型，体会函数思想需要丰富的情境，学生将在这些情境中，感受到生活中存在着大量变量，有的变量之间是存在一定关系的，一个变量随另一个变量的变化而变化.因此，在正式学习正比例、反比例之前，教材设计了三个具体情境，通过学生感兴趣的日常生活中的问题，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，并尝试对这些关系进行大致地描述。多种研究表明,为了有助于学生对函数思想的理解，应使他们对函数的多种表示-—-数值表示（表格)、图像表示、解析表示（关系式），有丰富的经历。因此，教材在呈现具体情境中变量之间的关系时，分别运用了表格表示、图像表示、关系式表示的方法。在后面正比例、反比例的学习中，也十分重视三种方式的结合。 个人收集整理，勿做商业用途个人收集整理,勿做商业用途
2．提供丰富情境，引导学生经历从具体情境中抽象出正、反比例的过程正比例关系、反比例关系是数学中比较重要的数量关系，同时,学生理解正比例、反比例的意义往往比较困难。为此，教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验,设计了系列情境，让学生体会生活中存在大量相关联的量，它们之间的关系有着共同之处，从而引发学生的讨论和思考，并通过对具体问题的讨论，使学生认识成正比例的量、成反比例的量以及正比例、反比例在生活中的广泛存在。这些系列情境也为学生理解“正比例”“反比例”的意义提供了丰富的直观背景和具体案例，例如教材从不同的角度（实际生活、图形）提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境，这些情境中既包括“时间与路程"“购买苹果应付的钱数与质量”等生活情境，也包括正方形周长与边长、面积与边长等数学情境,情境中有正例也有反例，以引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例的过程。
3。注重引导学生利用“正、反比例”的意义解决实际问题，关注知识之间的联系正、反比例在生活中有着广泛的应用，教材不仅仅是在引入时为学生提供了丰富的现实情境,还鼓励学生寻找生活情境中成“正、反比例”的量。如，设计“找一找生活中成正、反比例的例子,并与同伴交流”的题目，使学生认识到正、反比例的知识与日常生活的密切联系。同时，教材还特别注重知识之间的联系,呈现了大量学生以前学过的量与量之间的关系，鼓励学生判断它们之间的关系。如,底一定时,平行四边形的面积与高；圆的周长与直径。
4.在画图或解决实际问题等的活动中，体验比例尺的应用对于比例尺的知识，学生并不陌生，生活经验比较丰富,如地图上的比例尺等。尽管如此，比例尺的应用对于学生来说还是比较抽象的,教材结合具体的活动和实例，贴近学生的生活经验，让学生感受到比例尺的广泛应用。如，在探究活动中,通过在方格纸上画小猫图，讨论哪只小猫长得更像乐乐，让学生初步体会比例尺的应用。再如，在实践活动中，通过画自己卧室的平面图，设计巨人的教室，进一步体会比例尺在生活中的应用。同时,通过“你知道吗”栏目中的知识，了解比例尺的另一种形式，拓宽学生的视野.
课时安排:
15课时
第一课时 教学内容:变化的量
教学目标：
1．结合具体目标，体会生活中存在着大量互相依存的变量。
2．在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
教学重点难点：
1、重点:结合具体目标，体会生活中存在着大量互相依存的变量。
2、难点：在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系.
教学用具:
课件
教学过程：
活动一：观察并回答。
1、 下表是小明的体重变化情况。

观察表中所反映的内容，搞清楚表中所涉及的量是哪两个量？观察后请回答。
2、 上表中哪些量在发生变化?
3、 说一说小明10周岁前的体重是如何随年龄增长而变化的?
小结：小明的体重随年龄的增长而变化.2—6岁和6-——10岁是体重的增长高峰。说明这两个阶段是孩子成长的重要阶段。
4、体重一直会随年龄的增长而变化吗？这说明了什么？
说明:体重和年龄是一组相关联的量.但体重的增长是随着人的生长规律而确定的。
6、教育学生要合理饮食,适当控制自己的体重.
活动二：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
观察书上统计图：
1、图中所反映的两个变化的量是哪两个？
2、横轴表示什么？纵轴表示什么？
同桌两人观察并思考,得出结论后，记录在书上，然后再在全班汇报说明。
3、一天中，骆驼的体温最高是多少？最低是多少?
4、一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降?
5、第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?
6、骆驼的体温有什么变化变化的规律吗？
活动三：某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系.
全班展示，交流。
1、你还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系？它们之间是怎样变化的？四人小组交流你收集到的信息，选派代表请举例说明
2、你还发现我们学过的数学知识中有哪些量之间具有变化的关系?
全课小结：今天我们研究的两个量都是相关联的.它们之间在变化的时候都具有一定的关系.下一节课我们将深入研究具有相关联的两个量,在变化时有相同的变化特征，这样的知识在数学上的应用。
课后反思：

第二课时 教学内容：正比例
教学目标：
1、利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活中的广泛应用.
2．能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
3．结合丰富的事例，认识正比例。
教学重点：
1、结合丰富的事例，认识正比例.
2、 能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例.
教学难点:
能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。
教学用具：
课件
教学过程:
活动一：在情境中感受两种相关联的量之间的变化规律。
（一）情境一:
1、观察图，分别把正方形的周长与边长，面积与边长的变化情况填入表格中。请根据你的观察，把数据填在表中。
2、填完表以后思考:正方形的周长与边长,面积与边长的变化是否有关系?它们的变化分别有怎样的规律？规律相同吗？
说说从数据中发现了什么?
3、小结:正方形的周长和面积都随边长的增加而增加,在变化过程中,正方形的周长与边长的比值一定都是4。正方形的面积一边长的比是边长，是一个不确定的值。
说说你发现的规律。
（二）情境二：
1、一种汽车行驶的速度为90千米/小时。汽车行驶的时间和路程如下：
2、请把下表填写完整.
3、从表中你发现了什么规律?
说说你发现的规律：路程与时间的比值（速度)相同.
（三）情境三：
1、一些人买一种苹果,购买苹果的质量和应付的钱数如下。
2、把表填写完整。
3、从表中发现了什么规律？应付的钱数与质量的比值（也就是单价）相同。
4、说说以上两个例子有什么共同的特点。
小结：路程随时间的变化而变化，在变化过程中路程与时间的比值相同；应付的钱数随购买苹果的质量的变化而变化,在变化过程中应付的钱数与质量的比值相同.
5、正比例关系：
(1）时间增加，所走的路程也相应增加,而且路程与时间的比值(速度）相同。那么我们说路程和时间成正比例。
（2)购买苹果应付的钱数与质量有什么关系?
6、观察思考成正比例的量有什么特征？
一个量随另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值相同。
（四)想一想：
1、正方形的周长与边长成正比例吗？面积与边长呢？为什么？
师小结：
（1）正方形的周长随边长的变化而变化，并且周长与边长的比值都是4，所以正方形的周长与边长成正比例。
请你也试着说一说。
（2）正方形的面积虽然也随边长的变化而变化，但面积与边长的比值是一个变化的值,所以正方形的面积和边长不成正比例。
请生用自己的语言说一说。
2、小明和爸爸的年龄变化情况如下:
小明的年龄/岁
6
7
8
9
10
11
爸爸的年龄/岁
32
33

（1)把表填写完整.
（2）父子的年龄成正比例吗？为什么？
(3）爸爸的年龄=小明的年龄+26.虽然小明岁数增加,爸爸岁数也增加，但是小明岁数与爸爸岁数的比值随着时间发生变化，不是一个确定的值，所以父子的年龄不成正比例。
与同桌交流，再集体汇报
在老师的小结中感受并总结正比例关系的特征
活动二：练一练。
1、判断下面各题中的两个量,是否成正比例,并说明理由.
（1）每袋大米的质量一定,大米的总质量和袋数。
（2）一个人的身高和年龄。
（3）宽不变，长方形的周长与长。
2、根据下表中平行四边形的面积与高相对应的数值,判断当底是6厘米的时候，它们是是成正比例,并说明理由。

平行四边形的面积随高的变化而变化,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面积与高成正比例.（也可以用公式进行说明）
3、买邮票的枚数与应付的钱数成正比例吗？填写表格.先填写表格，再说明理由
应付的钱数随购买的枚数的变化而变化，而且比值不便。所以应付的钱数与买邮票的枚数成正比例。
4、找一找生活中成正比例的例子。
5、先自己独立完成，然后集体订正,说理由。
课后反思：

第三课时 教学内容：画一画
教学目标：
1、在具体情境中，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象.
2、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
3、利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题.
教学重点:
1、在具体情境中，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象.
2、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
教学难点：
1、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
2、利用正比例关系,解决生活中的一些简单问题.
教学过程：
一 、复习
活动一；判断下面的量是否成正比例关系？
1、每行人数一定，总人数和行数。
2、长方形的长一定，宽和面积。
3、长方体的底面积一定，体积和高。
4、分子一定，分母和分数值。
5、长方形的周长一定，长和宽。
6、一个自然数和它的倒数。
7、正方形的边长与周长。
8、正方形的边长与面积。
9、圆的半径与周长。
10、圆的面积与半径。
11、什么样的两个量叫做成正比例的量？
二、新授
活动二：探索一个数与它的5倍之间的关系。
1、求出一个数的5倍,填写书上表格。自己独立完成.
2、 判断一个数的5倍和这个数有怎样的关系？说说你判断的理由.
小结：一个数和它的5倍之间具有正比例关系。
3、根据上表，说出下图中各点的含义。（图见书上)。请观察横轴表示什么？纵轴表示什么？然后说说各点表示的含义。
4、连接各点,你发现了什么？
注:所描的点都在同一条直线上。
5、利用书上的图，把下表填完整。
6、估计并找一找这组数据在统计图上的位置。自己独立完成。在统计图上估计一下,看看自己估计地是否准确。
三、练习
活动三：试一试。
1、在下图中描点，表示第20页两个表格中的数量关系。
2、思考;连接各点，你发现了什么？
活动四：练一练。
1、圆的半径和面积成正比例关系吗?为什么？
教师讲解：因为圆的面积和半径的比值不是一个常数。
2、乘船的人数与所付船费为:(数据见书上）
（1)将书上的图补充完整。
（2)说说哪个量没有变?
（3)乘船人数与船费有什么关系？
（4）连接各点，你发现了什么？每人所需的乘船费用没有变化。乘船费用与人数成正比例。所有的点都在一条直线上。
3、回答下列问题:
（1）圆的周长与直径成正比例吗？为什么？
圆的周长与直径成正比例关系。
（2)根据右图，先估计圆的周长，再实际计算。
（3）直径为5厘米的圆的周长估计值为（ )，实际计算值为()。
（4）直径为15厘米的圆的周长估计值为（）,实际计算值为（）。
4、把下表填写完整.试着在 第一题的图上描点，并连接各点，你发现了什么？（表格见书上）所有的点都在同一条直线上。
四、课后反思：

第四课时 教学内容:反比例
教学目标：
1、结合丰富的实例，认识反比例。
2、能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例.
3、利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用。
教学重点难点：
1、重点：认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。
2、难点:认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例.
教学过程：
一、复习
1、什么是正比例的量？
2、判断下面各题中的两种量是否成正比例?为什么？
（1)工作效率一定，工作时间和工作总量。
（2）每头奶牛的产奶量一定，奶牛的头数和产奶总量。
（3）正方形的边长和它的面积。
二、导入新课
利用反义词来导入今天研究的课题。今天研究两种量成反比例关系的变化规律。
三、进行新课
情境（一）
认识加法表中和是12的直线及乘法表中积是12的曲线。
引导学生发现规律：加法表中和是12，一个加数随另一个加数的变化而变化；乘法表中积是12，一个乘数随另一个乘数的变化而变化.
情境(二）
让学生把汽车行驶的速度和时间的表填完整,当速度发生变化时，时间怎样变化？每
两个相对应的数的乘积各是多少？你有什么发现？独立观察，思考。同桌交流，用自己的语言表达。
写出关系式：速度×时间=路程（一定)
观察思考并用自己的语言描述变化关系乘积(路程）一定
情境（三）
把杯数和每杯果汁量的表填完整，当杯数发生变化时，每杯果汁量怎样变化?每两个相对应的数的乘积各是多少？你有什么发现？用自己的语言描述变化关系.写出关系式：每杯果汁量×杯数=果汗总量（一定）.以上两个情境中有什么共同点？
反比例意义
引导小结：都有两种相关联通的量,其中一种量变化，另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。这两种量之间是反比例关系。
活动四：想一想
P26页第1、2、3题
关系式：X×Y=K（一定)
课后反思:

第五课时 教学内容：观察与探究
教学目标:
1、让学生尝试用图表示成反比例的量之间的关系，利用图进一步认识反比例。
2、渗透事物之间都是相互联系和发展变化-
的观点，初步渗透函数思想。
教学重难点：
动手操作,用图表示成反比例的量之间的关系，利用图进一步认识反比例。
教学过程:
一、复习
长方形面积一定,长与宽成反比例吗？为什么？
二、新课
呈现情境
这节课我们用图表表示成反比例的量之间的关系。
用x、y表示面积为24cm2的长方形相邻的两条边长，它们的变化关系如下表。略
1、观察表格，根据数据在方格纸上画出这8个长方形.
2、把图中的点用平滑的曲线依次连起来.
3、长和宽是怎样变化的？有什么规律?—长扩大，宽缩小,相对应的长和宽的乘积是24。
关系式：长×宽=长方形面积（一定）
4、图上的点A、B、C、D……在一条直线上吗
三、小结：
四、课后反思:

第六课时 教学内容：图形的放缩
教学目标：
1、通过观察、操作，体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义。
2、通过图形的放缩，结合具体情境，感受图形的相似.
教学重点难点：
1、体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义。
2、难点：体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义。
教学过程:
呈现情境图
讨论谁画得像呢？
引导学生分析这三名学生是如何画的。
1、笑笑：图中的长与实际的长的比量多少？图中的宽与实际的宽的比是多少？
笑笑是按相同的比来画。
2、淘气：图中的长与宽的比是多少?淘气也是按相同的比来画。
小 结
3、他们都是按相同的比来画，所以都画得像.
4、为什么同样大小的贺卡,却画出大小不同的长方形，而且有的像,有的不像呢?
5、将较大的长方形画成较小的长方形，首先可能量出原来的长和宽缩+相同的倍数,才能画得像。
画一画探究活动
P28 引导学生把原来的长和宽按3：2扩大.
小组交流后，独立操作,教师指导
课后反思：

第七课时 教学内容：比例尺
教学目标：
1、结合具体情境，认识比例尺，能根据图上距离，实际距离,比例尺中的两个量求第三个量。
2、运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切联系。
教学重点难点:
1、认识比例尺，能根据三个量中的两个量求第三个量，运用比例尺的知识解决实际问题的能力。
2、难点:认识比例尺，能根据三个量中的两个量求第三个量,运用比例尺的知识解决实际问题的能力。
教学过程：
一、呈现情境图
思 考、讨 论
我家的房屋平面图
1、比例尺1：100是什么意思?
图上距离
2、比例尺=—--—-----————-
实际距离
3、独立完成P30页第2、3题。
4、P30页第4题，怎样求窗户的图上距离？注意比成相成的单位后再计算。
5、指导完成P30页第5题。
注意求比例尺时，图上距离与实际距离的单位要统一.
P31页第1题，说明清楚两地距离一般假设是直线距离，计算时，注意单位换算。
P31页第2题，自己尝试独立完成。
放手让学生自己研究。
教师对困难的学生加以指导
二、试一试,练一练
1、蟋蟀1分叫的次数除以7再加3,所得的结果与当时的气温值差不多。
2、如果用t表示蟋蟀每分叫的次数，你能用公式表示这个近似关系吗？
课后反思：