本科毕业论文---浅析vandermonde行列式的性质与应用.doc

宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文
浅析Vandermonde行列式的性质与应用

摘 要： 在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.

关键词： 行列式 Vandermonde Vandermonde行列式

Analysis of Vandermonde determinant Properties and Applications

Abstract: Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vector space.

Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant
目录

1 引言 1
2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 2
2.1 Vandermonde行列式的定义 2
2.2 Vandermonde行列式的证法 2
3 VANDERMONDE行列式的性质 4
3.1 Vandermonde行列式的翻转与变形 4
3.2 Vandermonde行列式为0的充分必要条件 5
3.3 Vandermonde行列式推广的性质定理 5
4 VANDERMONDE行列式的应用 7
4.1 Vandermonde行列式在行列式计算中的应用 7
4.1.1 计算准Vandermonde行列式 7
4.1.2 计算特殊的行列式 7
4.2 Vandermonde行列式在多项式与向量空间中的应用 10
4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 10
4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 13
5 小结 15
参考文献 16
谢辞 17

1 引言
行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander-
monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.
，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.

2 Vandermonde行列式的定义与证法
2.1 Vandermonde行列式的定义
我们把型如
的行列式叫做Vandermonde行列式，其值为，即
=
其中表示这个数的所有可能的差（）的乘积（）[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.
.
2.2 Vandermonde行列式的证法
方法一：消元法（降阶法）[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.

证明 从第行开始，每一行加上前一行的倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有
=
再按行列式首项展开得：
=1·
各列提公因式得：
·
注意到行列式是阶Vandermonde行列式，即已经将用表示出来,降了一阶，并且少了一元.重复用上述方法对再进行求解，经过有限步则可以得到：
=（…）·()…()
= 即证.
方法二：数学归纳法[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.

证明 （1）当时, 成立.
（2）假设对于阶成立，则对于阶，首先构造一个辅助的n阶行列式：
显然，，将按第n列展开，得：
····
其中是行列式中元素的代数余子式，且不含，因此可知是一个n-1次的多项式，它的最高次的系数是，按定义知.另一方面，根据行列式的性质知是的n-1个根，根据多项式的理论，得：

取代入，得：
即
根据归纳假设，=，因此=.
由（1）（2）结论得证.
3 Vandermonde行列式的性质
3.1 Vandermonde行列式的翻转与变形

(1)将Vandermonde行列式逆时针旋转，得
.
(2)将Vandermonde行列式顺时针旋转，得
.
(3)将Vandermonde行列式旋转，得
.
3.2 Vandermonde行列式为0的充分必要条件
一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是：
这n个数中至少有两个相等.
3.3 Vandermonde行列式推广的性质定理
行列式= =· (k=0,1,2…n-1)
其中符号“”中的下标“n”表示n阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k次方幂元素行；是中（）个数的一个正序排列；表示对所有（）阶排列求和；[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde行列式的相互应用[J].济南大学学报.1994(2):4-6.
.
证明 （i）在行列式中增补第（）行和（）列相应的元素，考虑（）阶Vandermonde行列式

=·
·
… … … …
·

=·
(ii)由上式的两端分别计算多项式中项的系数.在上式左端，由行列式
计算的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式·，在上式右端，由多项式计算知为的个不同根，根据根与系数的关系，项的系数为：·· (k=0,1,2…n-1)
其中是1，2…中（）个数的一个正序排列，表示对所有（）阶排列求和.
（iii）比较中项的系数，计算行列式.因为(*)式左右两端项系数应该相等，所以···，
则··(k=0,1,2…n-1)
定理得证.
4 Vandermonde行列式的应用
4.1 Vandermonde行列式在行列式计算中的应用
4.1.1 计算准Vandermonde行列式
利用Vandermonde行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式（缺行的Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermon
-de行列式），简便易行[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.
.特别地，当时，令=1，即为Vandermonde行列式.
例1 计算准Vandermonde行列式

解 由定理，=6,=3,所以
·
=·
4.1.2 计算特殊的行列式
Vandermonde行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde行列式的特殊的行列式.
（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde行列式[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.
.
例2 计算n阶行列式

解
·

····
（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde行列式.
例3 计算阶行列式

其中，，（）
解 提取各行的公因式，得：
·（Vandermonde行列式）
上式右端的行列式是以新元素为列元素的 阶Vandermonde行列式，所以： =·
（3）法三：如阶行列式的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且中含有个分行（列）组成的Vandermonde行列式，那么将的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.
.
例4 计算行列式
△=
解 在△的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到
△=
在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:
△==
（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.
例5 证明△=
证明 将△的第1行加到第3行上，得到
△==

4.2 Vandermonde行列式在多项式与向量空间中的应用
在线性方程组中，Cramer法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer法则来证明相关的问题[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.

.下面一起来看几个典型的例子.
4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用
例6 证明一个n次多项式至多有n个互异的根.
证明 用反证法.
设有n+1个互异的根，分别为：
，则有：
（）
即
这个关于的齐次线性方程组的系数行列式是一个
Vandermonde行列式:则由Cramer法则知该方程组只有零解，即，而n次多项式的最高次项的系数是不为零的.这个矛盾表明至多有n个互异的根.
例7 设多项式，， ，，，则不可能有非零且重数大于的根.
证明 用反证法.
设是的重数大于的根，则

进而有

即：

把上式看作是以为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：

由Cramer法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而

因为，所以必须，这与假设矛盾，故 没有非零且重数大于的根.
例8 证明：对于平面上n个点（互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式通过这n个点，
即 .
分析 要证明n个等式成立，也就是要证明n个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde行列式的结论.
证明 设，
要使，即满足关于的线性方程组：

该方程组的系数行列式为Vandermonde行列式：，
当互不相等时，该行列式不为0，由Cramer法则知方程组有唯一解，即对于平面上n个点（互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式通过这n个点.
4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用
例9 设是互不相同的实数，证明向量组（）i=1,2,…n是n维向量空间中的一个基.
证明 只需证明线性无关即可.
令 ， 因为是互不相同的实数，
所以 ，
故（i=1,2,…n）线性无关，是n维向量空间中的一个基.
例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R上的向量空间.
证明 我们知道，C[a,b]是R上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n，可证得线性无关即可.
设，使得
取n+1个实数，使得，则由上式知：

即· ， 其中
而，则可逆，用左乘·的两端，得：，所以线性无关.
故C[a,b]是R上的向量空间，且是R上的无限维向量空间.
例11 设（即的维数为n），存在集合， 使含无穷多个向量，且中任意n个不同的向量都是的一个基.
证明 设是的一个基，
令，
，让互不相同，则

由于，其行列式是Vandermonde行列式，
即，故线性无关，是的一个基，且中含无穷多个向量.
当然，Vandermonde行列式与Cramer法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项的多项式的表达式、Lagrange插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业
知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.
5 小结
以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.

参考文献

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宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文
谢辞
在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.

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