概率统计在生活中的应用-学位论文.doc

学 年 论 文
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题 目： 概率统计在生活中的应用
学 院： 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学

摘要
概率论与数理统计是数学科的一门基础课，也是研究随机现象规律的一门数学分支学科.概率跟人们日常生活和生产实践相结合的非常紧密，在生活的各领域中应用范围相当广泛，包括自然科学，社会科学，工商管理，天气预报，生物学，计算机与通信等领域.
而本文主要介绍概率统计在彩票、医疗保险以及日常问题中的广泛应用.进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题，数学模型的建立，学科知识的迁移奠定一定的理论基础.通过本文可以更好地感受到数学知识与实际生活的联系，体会到数学知识给我们实际生活中带来的种种好处.
 关键词：概率 随机现象 实际生活

Abstract
Probability theory and mathematical statistics is a basic course of mathematics, but also on the random phenomenon of the law of a mathematics branch discipline. Probability with people's daily life and production practice of combining the very close, in the life each domain of application scope is quite widespread, including the natural sciences, social sciences, business administration, weather forecast, biology, computer and communications and other fields.
This paper describes the statistical probability and is widely used in the lottery. Probability and statistics further reveal close contact with real life, to solve practical problems for the application of probabilistic knowledge, a mathematical model, the migration of subject knowledge to lay a theoretical foundation. Can better feel the contact with the real-life mathematical knowledge through this article, to appreciate all the benefits of mathematical knowledge to real life brings us.
Keywords: Probability Random phenomenon

目录
摘要
Abstract
引言
一、 概率统计的起源
二、概率在彩票中的应用
1、常见的彩票分类与设奖方法
（1）传统型“10选6+1”
（2）乐透型
①“30选7”和“36选6+1”
②“双色球”
2、彩票方案的数理分析（单注彩票的中奖概率）
（1）传统型彩票“10选6+1”
（2）乐透型彩票
①“30选7”与“36选6+1”的中奖概率
②“双色球”的中奖概率
3、彩票方案的投注技巧建议
（1）彩票中奖奖金额的影响因素
（2）单注彩票中奖金额收益率
（3）中奖号码数字和的数学期望
三、概率在医疗保险上的应用
四、概率与设计方案的综合应用

五、统计在实际问题中的应用
1、关于学习成绩比较问题
2、我国出生人口性别比例问题
结束语
参考文献

引言
概率是研究随机变量的一门学科.在现实生活中，随机现象广泛的存在.随着人类社会的发展，科学技术的进步，世界经济全球化的进程中，数学在生活中的应用也越来越广泛.在生活中，数学知识不知不觉的融入到生活中，在工业生产，产品抽样调查，天气预报中的众多领域中扮演着越来越重要的角色.本文主要通过一些具体的例子来讨论概率统计在彩票、医疗保险以及实际问题中的应用.
一、 概率统计的起源
概率发展的历史悠久，在14世纪时期，由于工业革命的萌芽，科学技术的进步，商品经济的迅速的发展，经济的发展逐渐蔓延在全世界.他们都向数学提出新要求，需要运用新的数学知识来研究随机变量的规律，估计一个事件发生的大小，这一些为概率的兴起奠定现实的基础.虽然说经济的发展促进数学的发展，但是，让数学家思考概率的却是来自掷骰子游戏.
17世纪中叶，欧洲地区的贵族们盛行掷骰子游戏.法国的德梅•尔（De Mere）在掷骰子的游戏时遇到一个问题.如他发现掷一枚骰子4次至少出现一次6点是有利.而掷一双骰子24次至少出现一次2个6是不利的.他带着这个疑问向当时的法国数学家帕斯卡（Pascal）请教，帕斯卡接受他的问题，并与费马（Fermat）一起研究、讨论.当时的荷兰的科学家惠更斯（Huygens）经过独立的研究，并在1657年写成一篇《论掷骰子游戏中的计算》，被当今认为最早的有关概率的论著.
二、概率在彩票中的应用
1、 常见的彩票分类与设奖方法
彩票的发行有很多种方案，常见的彩票销售规则主要有“传统型”和“乐透型”两类，其开奖结果中的数字都是随机产生的,其每次结果具有一定的偶然性,但是在大量重复的开奖结果中,中奖号码会呈现出某些必然规律. 用概率统计方法对彩票奖号情况分析其规律.所用定理：1、古典概率；2、大数定律；3、中心极限定理.利用这些定理等结果分析彩票选号问题中的一些规律,从而导出一些指导性的策略.
本文选取了传统型“10选6+1”、中国福利彩票“七乐彩（30选7）”、“双色球”和中国体育彩票“36选6+1”这几种典型方案为例来进行探讨.
（1）传统型“10选6+1”
玩法：先从0～9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个；然后从0～4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码.投注者从“0～9”10个号码中任选6个基本号码（可重复），从“0～4”中选1个特别号码，构成一注，中奖规则如表1.
表1 “10选6+1”方案中奖号码与中奖等级说明
（假设中将基本号为123456，特别号为0）
奖级
中奖号码
特别号
说明
特等奖
123456
0
选7中6+1
一等奖
123456
△
选7中6
二等奖
12345△摇△23456
？
选7中5
三等奖
1234△△摇△△3456摇△2345△
？
选7中4
四等奖
123△△△摇△△△456摇△234△△摇△△345△
？
选7中3
五等奖
12△△△△摇△23△△△摇△△34△△摇△△△45△摇△△△△56
？
选7中2
（备注：按照顺序，其中：△表示不中的号码：？表示可中可不中）
（2）乐透型
①“30选7”和“36选6+1”
玩法：“乐透型”有多种不同的形式，以“30选7”和“36选6+1”为例.“30选7”先从“01～30”这30个号码中摇出7个基本号码， 再从剩余的23个号码球中摇出一个特别号， 构成中奖号码.投注者从“01～30”这30个号码中任选7个，不考虑号顺序组成1注（不可重复）.“36选6+1”：先从“01～36”这36个号码中摇出6个基本号， 再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码.从“01～36” 36个号码中任选7个，不考虑号顺序组成一注（不可重复）.两种方案的中奖等级如下表2所列.
表2 30选7与36选6+1方案的中奖号码及中奖等级说明
30选7（7/30） 36选6+1（6+1/36）
奖级
中奖号码
说明
中奖号码
说明
一等奖
●●●●●●●
选7中7
●●●●●●★
选7中6+1
二等奖
●●●●●●○★
选7中6+1
●●●●●●
选7中6
三等奖
●●●●●●○
选7中6
●●●●●○★
选7中5+1
四等奖
●●●●●○○★
选7中5+1
●●●●●○
选7中5
五等奖
●●●●●○○
选7中5
●●●●○○★
选7中4+1
六等奖
●●●●○○○★
选7中4+1
●●●●○○
选7中4
七等奖
●●●●○○○
选7中4
●●●○○○★
选7中3+1
（备注：顺序不限，其中：●表示选中的基本号码，○表示未选中的基本号码，★表示选中的特别号码.）
②“双色球”
玩法：“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从1—33中选择；蓝色球号码从1—16中选择.中奖等级如下表3所列.
表3 “双色球”方案的中奖号码及中奖等级说明
“双色球”--------33选6（红球）+16选1（蓝球）
奖级
中奖号码
说明
一等奖
●●●●●●★
选7中6个红球+1个蓝球
二等奖
●●●●●●○
选7中6个红球
三等奖
●●●●●○★
选7中5个红球+1个篮球
四等奖
●●●●●○○
●●●●○○★
选7中5个红球
选7中4个红球+1个蓝球
五等奖
●●●●○○○
●●●○○○★
选7中4个红球
选7中3个红球+1个蓝球

六等奖
●●○○○○○
●○○○○○★
○○○○○○★

选7中1个蓝球
（备注：顺序不限。其中：●表示选中的红球，○表示未选中的红球，★表示选中的蓝球。）
（3）彩票各项奖金的设置方案
各种彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%， 投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖，则不再兼得低级别的奖.一般其中前面的一、二、三等奖为高项奖，按比例分配，后面的为低项奖，奖数额固定，分配方案如下表4所列.有多人同时中得高项奖时，中奖人平分高项奖的奖金.
各高项奖的奖金额计算方法为：［（当期销售总额×总奖金比例）－低项奖奖金总额］×单项奖比例.
表4 彩票各项奖金分配方案
方案
一等奖比例
二等奖比例
三等奖比例
四等奖金额
五等奖金额
六等奖金额
七等奖金额
6+1/10
70%
15%
15%
300元
20元
5元
/
7/30
70%
10%
20%
200元
50元
10元
5元
6+1/36
75%
15%
10%
500元
100元
10元
5元
双色球
70%
20%
3000元
200元
10元
5元
/
2、彩票方案的数理分析（单注彩票的中奖概率）
在摇出中奖号码的过程中，中奖号码发生的事件，以及各种号码出现的概率是相互独立的，是等概率的，这是一个古典概型的问题.由古典概型得，中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数.从而，我们可以分别对传统型和乐透型彩票各奖项的中奖概率进行探讨.
（1）传统型彩票“10选6+1”
传统型“10选6+1”彩票的中奖规则，实质为排列组合的问题。以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率。各等级中奖概率如下：
传统型彩票“10选6+1”
特等奖
中6+1：P0=10-6×0.2=2×10-7
一等奖
中6：P1=10-6×0.8=8×10-7
二等奖
中5：P2=10-5×0.9×2=1.8×10-5
三等奖
中4：P3=10-4×0.9×2+10-4×0.92=2.61×10-4
四等奖
中3：P4=10-3×0.9×2+10-3×0.92×2=3.42×10-3
五等奖
中2：P5=10-2×0.9×2+10-2×0.92×3=4.23×10-2
中奖率
P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=4.6%
（2）乐透型彩票
由于乐透型彩票是不按顺序排列也不能出现重复号码的一种玩法，虽然每次开奖结果不影响下期摇奖，即期与期之间是独立事件，但在同一期内先开出的号球并不放入摇奖机，则其必然会对下面号码的产生有一定的影响.在概率学上称做无放回的抽样，此时，其试验条件就已经不同了，故不能够直接套用二项分布。因此这是单纯的组合问题.

①“30选7”与“36选6+1”的中奖概率
“30选7” “36选6+1”

一等奖
中7：
中6+1：

二等奖
中6+1：
中6：

三等奖
中6：
中5+1：

四等奖
中5+1：
中5：

五等奖
中5：
中4+1：

六等奖
中4+1：
中4：

七等奖
中4：
中3+1：
中奖率
P=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=3.31%
P=P1+ P2+P3+P4+P5+P6+P7=1.64%

②“双色球”的中奖概率
“双色球”-----33选6（红球）+16选1（蓝球）

一等奖
中6红+1蓝：

二等奖
中6红：

三等奖
中5红+1蓝：

四等奖
中5红/中4红+1蓝：

五等奖
中4红/中3红+1蓝：

六等奖
中1蓝：
中奖率
P=P1+P2+P3+P4+P5+P6=6.738%
通过计算，以上几种形式的彩票，每期开奖中奖机会分别为：每1000个人中有46，33，16，67人能中奖，“双色球”的中奖率最高，所以“双色球”是当前比较流行的一种“乐透型”福利彩票.“双色球”中奖概率高完全是由于蓝球产生的，因为六等奖只需中蓝球，而它的概率高达5.887%，从而提高了“双色球”整体的中奖率.其实“双色球”一等奖中奖概率远远低于其他“乐透型”彩票中奖率，其一等奖的中奖概率为5.6430×10-8，是普通乐透型彩票“36选6+1” 一等奖中奖概率1.1979×10-7的0.471，连一半还不到.
因此彩民们要以良好的心态和自己的收入水平来购买彩票，收入较高的彩民，承受风险的能力较强，可以购买那些大奖金额高、中奖率相对较低的彩票，如“30选7”和“36选6+1”；而收入较低的彩民，承受风险的能力有限，适合购买那些中奖面宽的彩票，如“10选6+1”和“双色球”；喜欢高项奖的概率大一点则可以选择“10选6+1”和“30选7”.
3、彩票方案的投注技巧建议
（1）彩票中奖奖金额的影响因素
彩票中奖奖金额的期望依赖于两个因素：一个是各个奖级的中奖概率，这在前面已经计算得到了；另一个是各奖级的奖金金额.其中低项奖奖金固定，而高项奖（一般为一、二、三等奖）的奖金是浮动的.根据规定，一般来说，它又与三个因素有关：一是当期奖金总额，即销售的彩票总注数；二是上期“奖池”中的累积奖金；三是滞留下期“奖池”的奖金.既然高项奖的奖金额受当期奖金总额的影响，那么中大奖的期望额与当期彩票的销售额是否存在较大的关系呢？
定理：大奖奖金的期望由彩票发行方案单独确定，与销售额无关.
证明：设某期销售总额为N,k表示返奖比例（一般取k=50%），则由已知的彩票奖金分配方案，可以计算各等奖的奖金期望额Si（i=1,2,3），（这里以一、二、三等奖为高项奖为例，后面的单注彩票的中奖金额收益率讨论时同此）
Si=（k·N-）·ri/ （i=1，2，3） （1）
化简得：
Si=（2k-）·ri/pi （i=1，2，3） （2）
（2）式中Pj（j=4，5，6，7）表示第j等奖的中奖概率，Sj（j=4，5，6，7）表示第j等奖的奖金额.ri（i=1，2，3）表示第i等奖占最高项奖的比例，pi（i=1，2，3）表示第i等奖的中奖概率.
可见，Si与N无关，说明一旦方案给定，其各奖项奖金的期望就均已确定，不会受销售额的影响.但对于彩民来说，了解彩票以往的销售情况又是非常必要的，若某种彩票连续几期不出大奖，奖池奖金不断积累，这时中奖后的回报率是很高的；反之，若本期出了头奖，减少下期购买数量也是明智的选择.当然，每注彩票的中奖概率仍然是均等的.
（2）单注彩票中奖金额收益率
设当期彩票售出n注,研究每注彩票的收益率.由于当期彩票的总奖金与所售的彩票注数n有关,n注彩票中,获得第i等奖的中奖注数𝜉i是随机变量,且𝜉i服从二项分布b（n;pi）,即p（𝜉i=k）=n-k。
由伯努利大数定律可知：当n足够大时，𝜉i近似服从正态分布：

其期望与方差分别为：；
设Xi（i=1，2，3）表示i等奖中奖注数，xi（i=1，2，…，7）表示每注彩票第i等奖的奖金金额，记Y= 𝜉4x4+ 𝜉5x5+ 𝜉6x6+ 𝜉7x7。再有𝜉i的独立性，有：
（i=4，5，6，7）
于是由高项奖的计算公式，得高项奖的第i等奖的奖金额xi（i=1，2，3）为：
（i=1，2，3） （3）
其中ri（i=1，2，3）表示第i等奖的奖金比例.若𝜂i（i=1，2，3）表示第i等奖是否被取走，则𝜂i服从两点分布.𝜂i=0表示第i等奖没被取走，𝜂i=1表示第i等奖已被取走，其分布率为：
，
若𝜉表示取走的奖金总额，.它是一个随机变量，𝜉/n则表示单注彩票的收益率.基于彩票的总奖金比例一般为销售额的50%，单注彩票金额为2元，首先分析𝜉/n的数学期望E（𝜉/n）.

=
=

= （4）
利用上面的公式（4），可以求出在不同n值下每注彩票的平均收益率.通过计算，不难发现，随着n的增大，平均收益率趋于值1.
实际上E（ξ/n）定量地体现了该种方案对彩民的吸引力大小，即在给定的方案下（单注中奖概率p不变），彩民自然希望E（ξ/n）越大越好，所以我们把它作为衡量方案好坏的标准之一.利用上述通式，每注“乐透型”彩票比“传统型”彩票的平均收益率大，而且乐透型彩票的趣味性也很高，它正逐渐成为世界彩票业的主流.
（3）中奖号码数字和的数学期望
传统型体育彩票“10选6+1”方案，每一个中奖号码上出现0，1，2，… 9的概率都是0.1.所以，它的数学期望是（0+1+2+…+9）×0.1=4.5，所以6个基本号码的和的数学期望是4.5×6=27.这就是说，尽管每一个中奖号码是随机的，但是它的6个数字之和，其平均值为27，即中奖号码各个数字之和，在27附近的可能性较大.
同样的，乐透型“30选7”方案中每个基本号码（二位数）值的数学期望是（01+02+…+30）× 130=15.5，7个基本号码（二位数）之和的数学期望为15.5×7=108.5，即福利彩票“30选7”中奖号码的数字之和在108.5附近的可能性较大.
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列.一夜暴富是多少人的梦想，随著彩票的发行，让一些人尝到了“天上掉下大馅饼”的滋味.火爆的彩票市场使彩民似乎比股民更加忙碌，各个网站、各种传统媒体，搞出了AC值复杂度分析、胆拖选号、旋转矩阵、黄金分割之类伪数学，声称能将中大奖的概率由八百万分之一大幅提高多少多少倍.
有好多数学专家认为，从纯数学角度讲，概率低于1/1000，就可以忽略不计，而彩票中特等的概率是1/500万，而1/500万的几率须取样100万次用概率计算才有机会.所以好多数学专家认为彩票中奖不能够用概率来分析.专家的话是有道理的.中特等奖用概率分析目前确实不太可行，但不要忘记一点，按照彩票的兑奖规则，并不需要你每位都猜中才能得奖.
其实，彩票是一种运气成分大于智力和体能成分的游戏.购买彩票是参与一种游戏，游戏规则确定了中奖机会是随机的，而且中大奖概率比较低.因此，购买彩票就像你平常买票看电影，参与的过程就是寻找快乐的过程，所不同的是还有可能获得令人心动的奖金，但千万不可沉迷其中.
三、 概率在医疗保险中的应用
例：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%，现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的4‰，求试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率？
解：设事件A是试验结果呈阳性反应，事件B是被检查者患有癌症。
由题设知 P(B)=0.004 P(A|B)=0.95 P()=0.96
由此可知 P()=0.996 P()=0.05 P()=0.04
于是，根据贝叶斯公式

三、 概率与设计方案的综合应用
例：质检员为控制盒装饮料产品质量，需每天不定时的30次去检测生产线上的产品．若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法：使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取. (要求写出具体的操作步骤)
解：（方法一）
（1）用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号.
（2）在144个小物品（大小相同的小纸片或小球等）上标出1到144个数.
（3）把这144个小物品用袋（箱）装好，并均匀混合.
（4）每次从袋（箱）中摸出一个小物品，记下上面的数字后，将小物品返回袋中并均匀混合.
（5）将上述步骤4重复30次，共得到30个数.
（6）对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.
（方法二）
（1）用从1到144个数，将从0时到24时的每十分钟按时间顺序编号，共有144个编号.
（2） 使计算器进入产生随机数的状态.
（3） 将1到144作为产生随机数的范围.
（4） 进行30次按键，记录下每次按键产生的随机数，共得到30个数.
（5） 对得到的每一个数除以60转换成具体的时间.
五、统计在实际问题中的应用
统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考.一般认为，统计学是一门研究如何有效地收集和分析受到随机影响数据的学科.经过多年的研究和发展，统计学已经深入到多个学科中，可以说，凡是一个实际问题涉及一批数据，我们都应该利用统计学方法去分析它、解决它.它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上.
统计学主要又分为描述统计学和推断统计学.给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这份数据，这个用法称作为描述统计学.另外，观察者以数据的形态建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学.这两种用法都可以被称作为应用统计学.另外也有一个叫做数理统计学的学科专门用来讨论这门科目背后的理论基础.
1、关于学习成绩比较问题
例：下表是两个班（每班50名学生）的英语课程的考试成绩
成绩
组中值
甲班人数
乙班人数
90~100
95
5
4
80~89
85
10
14
70~79
75
22
16
60~69
65
11
14
50~59
55
1
2
40~49
45
1
0
下面我们分别计算两个班级的平均成绩、标准差、样本偏度及样本峰度.表5和表6分别给出甲班和乙班的计算过程.
表5 甲班成绩计算过程
x

95
5
475
1843.20
35389.440
679477.2480
85
10
850
846.40
7786.880
71639.2960
75
22
1650
14.08
-11.264
9.0112
65
11
715
1283.04
-13865.832
149653.7856
55
1
55
432.64
-8998.912
187177.3696
45
1
45
948.64
-29218.112
899917.8496
和
50
3790
5368
-8908.8
1987874.56
表6 乙班成绩计算过程
x

95
4
380
1474.56
28311.552
543581.7984
85
14
1190
1184.96
10901.632
100295.0144
75
16
1200
10.24
-8.192
6.5536
65
14
910
1632.96
-17635.968
190468.4544
55
2
110
865.28
-17997.824
374354.7392
和
50
3790
5168
3571.2
1208706.56
可算得两个班的平均成绩、标准差、偏态系数、峰态系数分别为：

由此可见，两个班的平均成绩相同，标准差也几乎相同，样本偏度分别为-0.16和0.068，先是两个班的成绩都是基本对称的.但两个班的样本峰度明显不同，乙班的成绩分布比较平坦，而甲班则稍显尖顶.
2、 我国出生人口性别比例问题
出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数.世纪年代中期，联合国在其出版的《用于总体估计的基本数据质量鉴定方法》（手册Ⅱ）（Methods of Appraisal of Quality of Basic Data for Population Estimate ，Manual Ⅱ）认为：出生性别比偏向于男性.一般来说，每出生名女婴，其男婴出生数置于102~107之间.此分析明确认定了出生性别比的通常值域为102~107之间.从此出生性别比值下限不低于、上限不超过的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常.
例：近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开.下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况.

由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值102-107很多.
结束语
虽然在现实生活中我们不能准确预测未来或一些尚未发生的事件,但概率论的应用有利于更好地处理各种不确定因素.概率论渗透到生活的方方面面,从而为我们的日常生活带来方便. 有人设想,不久的将来,新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”,电视节目的预告中,每个节目旁都会写上“可视度概率”.另外,还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等.又由于概率是等可能性的表现,从某种意义上说是民主与平等的体现,因此,社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性.
　　其实日常生活中到处都有概率统计的影子.通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等.概率统计的足迹可以说是已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见.相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献.
参考文献
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