电力系统优秀课程设计牛顿拉夫逊法潮流计算.docx

课程设计说明书

题目
电力系统分析
系(部)

专业(班级)

姓名

学号

指导老师

起止日期

电力系统分析课程设计任务书
系（部）： 专业： 指导老师：
课题名称
电力系统教授时尚初步设计
设计内容及要求
1. 了解电力系统教授时尚计算基础标准
2. 时尚计算不收敛原因分析
3. 时尚计算收敛性分析
4. 电力系统教授时尚计算步骤图设计
5. 分析结果

设计工作量
1. 掌握相关基础概念
2. 了解时尚计算不收敛数学解释
3. 对时尚计算收敛分析
4. 设计计算步骤图

进度安排
起止日期（或时间量）
设计内容（或预期目标）
备注
第1天
课题介绍，搜集相关材料，分析原始数据

第2天
学习相关基础理论

第3天
初步了解时尚计算收敛问题

第4天
步骤图设计

第5天
编写设计说明书

教研室
意见

年 月 日

系（部）主管领导意见

年 月 日

目录
一、时尚计算基础原理
1.1时尚方程基础模型
1.2时尚方程讨论和节点类型划分
1.3、时尚计算意义
二、牛顿－拉夫逊法
2.1牛顿-拉夫逊法基础原理
2.2节点功率方程
2.3修正方程
2.4牛顿法时尚计算关键步骤
三、收敛性分析
四、算例分析
总结
参考文件

电力系统分析时尚计算

一、时尚计算基础原理
1.1时尚方程基础模型
电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行时尚计算时，通常能够用接在对应节点上一个电流注入量来代表。所以时尚计算所用电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所组成，并用集中参数表示串联或并联等值支路来模拟。结合电力系统特点，对这么线性网络进行分析，一般采取是节点法，节点电压和节点电流之间关系
（1－1）
其展开式为
（1－2）
在工程实际中，已经节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必需应用联络节点电流和节点功率关系式
（1－3）
将式（1－3）代入式（1－2）得到
（1－4）
交流电力系统中复数电压变量能够用两种极坐标来表示
（1－5）
或 （1－6）
而复数导纳为
（1－7）
将式（1－6）、式（1－7）代入以导纳矩阵为基础式（1－4），并将实部和虚部分开，能够得到以下两种形式时尚方程。
时尚方程直角坐标形式为
（1－8）
（1－9）
时尚方程极坐标形式为
（1－10）
（1－11）
以上各式中，表示号后标号节点必需直接和节点相联，并包含情况。这两种形式时尚方程通常称为节点功率方程，实牛顿－拉夫逊等时尚算法所采取关键数学模型。

1.2时尚方程讨论和节点类型划分
对于电力系统中每个节点，要确定其运行状态，需要由四个变量：有功注入注入有功、无功注入、电压幅值及电压相角。对于有个独立节点网络，其时尚方程有个，变量数为个。依据电力系统实际运行情况，通常每个节点4个变量中总有两个是已知，两个是未知。按各个节点所已经变量不一样，可把节点分成三种类型。
(1) 节点。这类节点已知节点注入有功功率、无功功率，待求未知量是节点电压值及相位角，所以称这类节点为节点。
通常电力系统中没有发电设备变电所母线、发固定功率发电厂母线可作为节点，这类节点在电力系统中占大部分。
(2) 节点。这类节点已经节点注入有功功率和电压值，待求未知量是节点注入无功功率及相位角，所以称这类节点为节点。
这类节点通常为有一定无功功率贮备发电厂母线和有一定无功功率电源变电所母线，这类节点在电力系统中位数不多，甚至可有可无。
(3)平衡节点。时尚计算时，通常只设一个平衡节点，全网功率由平衡节点作为平衡机来平衡。平衡节点电压幅值及相位角是已知，假如给定、，待求则是注入功率、。

1.3时尚计算意义
早在20世纪50年代中期，就已开始使用数字计算机进行电力系统时尚计算。时至今日，时尚计算曾采取过多个不一样方法，这些方法形成和发展全部围绕着时尚计算部分基础要求进行。这些要求基础上能够归纳为以下多个方面：算法可靠性和收敛性、结果可信性；满足计算速度和内存占用量要求；计算方便灵活、适应性好。
电力系统时尚计算和分析是电力系统运行和计划工作基础。运行中电力系统，经过时尚计算能够预知,伴随多种电源和负荷改变和网络结构改变,网络全部母线电压是否能保持在许可范围内，多种元件是否会出现过负荷而危及系统安全，从而深入研究和制订对应安全方法。计划中电力系统，经过时尚计算，能够检验所提出网络计划方案能否满足多种运行方法要求，方便制订出既满足未来供电负荷增加需求，又确保安全稳定运行网络计划方案。

二、牛顿－拉夫逊法
2.1牛顿-拉夫逊法基础原理
设有单变量非线性方程 (4-1) 求解此方程时。先给出解近似值它和真解误差为，则将满足方程，即
(4-2)
将(3-8)式左边函数在周围展成泰勒级数，于是便得
(4-3)式中，,……分别为函数在处一阶导数，….，n阶导数。
假如差值很小，(3-9)式右端二次及以上阶次各项均可略去。于是，(3-9)便简化为
＝0 (4-4)
这是对于变量修正量现行方程式，亦称修正方程式。解此方程可得修正量 (4-5)
用所求去修正近似解，变得
(4-6)
因为(3-10)是略去高次项简化式，所以所解出修正量也只是近似值。修正后近似解同真解仍然有误差。不过，这么迭代计算能够反复进行下去，迭代计算通式是
(4-7)
迭代过程收敛判据为
(4-8)
或 (4-9)
式中，为预先给定小正数。
这种解法几何意义能够从图3－1得到说明。函数y＝f(x)为图中曲线。f(x)＝0解相当于曲线和x轴交点。假如第k次迭代中得到，则过点作一切线，此切线同x轴交点便确定了下一个近似值。由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一个逐步线性化方法。
应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-1)时，假定已给出各变量初值，…. ，令，，….. 分别为各变量修正量，使其满足方程(3-1)即

(4-10)
将上式中n个多元函数在初始值周围分别展成泰勒级数,并略去含有,，……，二次及以上阶次各项，便得

(4-11)
方程式(3-17)也能够写成矩阵形式

(4-12)
方程式(3-18)是对于修正量,,……, 线性方程组,称为牛顿法修正方程式.利用高斯消去法或三角分解法能够解出修正量,,……, 。然后对初始近似值进行修正
(i=1,2,….,n) (4-13)
如此反复迭代，在进行k＋1次迭代时，从求解修正方程式

(4-14)
得到修正量，，，并对各变量进行修正
(i=1,2,…,n) (4-15)
式(3-20)和(3-21)也能够缩写为
(4-16)
和 (4-17)
式中X和分别是由n个变量和修正量组成n维列向量；F(X)是由n个多元函数组成n维列项量；J是n阶方阵，称为雅可比矩阵，它第i、j个元素是第n个函数对第j个变量偏导数；上角标(k)表示阵每一个元素全部在点处取值。
迭代过程一直到满足收敛判据
(4-18)
或 (4-19)
为止。和为预先给定小正数。

2.2节点功率方程
电力系统负荷习常见功率表示，对于有n个节点电力系统，系统中各节点注入电流和注入功率以标幺值表示关系为
i=1，2，……，n （3-20）
式中表示其共轭复数。将此关系式代入节点电压方程通式，可得到以节点注入功率表示节点电压方程:

(3-21)
上述方程式，通常称为功率方程。依据方程中节点电压向量表示不一样，能够得到不一样形式功率方程。
若节点电压向量以直角坐标表示，即以复数平面上实轴和虚轴上投影表示可写成
（3-22）
其共轭值为
（3-23）
导纳表示为
（3-24）
把这两关系式代回式（3-21）功率方程中，展开后再将功率方程实部和虚部分别写成有功、无功功率分离节点方功率方程：
（3-25）
式中：i=1，2，……，n为各节点编号。
若节点电压以极坐标表示，则
或写成
（3-26）
将其同导纳复数表示式一起代入式（3-21）功率方程，进整理能够得到
（3-27）
式中：——i和j节点电压相角差。
由式（3-25）和（3-27）给出功率方程表示方法避免了复数运算，所以，在时尚计算中普遍采取。
2.3修正方程
采取牛顿法计算时尚时，需要对功率方程进行修改。下面将依据在不一样坐标内修改善行讨论：
（1）在直角坐标系内时，由PQ节点功率方程（3-25）可知：节点i注入功率是各点电压函数，设节点电压已知，代入式（3-25），能够求出节点i有功及无功功率，它们和给定PQ 节点注入功率差值应满足以下方程
（3-28）
对于PV 节点，已知节点注入有功功率及节点电压大小，记作，其节点有功功率应满方程：
（3-29）
对于平衡节点，因为其电压给定，故不需要迭代求解。
经过以上分析可见，式（3-28）和式（3-29）共2（n-1）个方程，待求量共2（n-1）个。将上述2（n-1）个方程按泰勒级数展开，并略去修正量高次方项后得到修正方程以下：
（3-30）

其中雅克比矩阵各元素能够对式（3-28）和式（3-29）求偏导数取得。
对于非对角元素（）有
（3-31）
对于对角元素（有
（3-32）
由上述表示式能够看到，雅克比矩阵含有以下特点：
（1）各元素是各节点电压函数，迭代过程中每迭代一次各节点电压全部要改变，所以各元素每次也改变；
（2）雅克比矩阵不含有对称性；
（3）互导纳，和之对应非对角元素亦为零，另外因非对角元素，故雅克比矩阵是稀疏矩。

当在极坐标系内时，由功率方程（3-27）可知节点i注入功率是各节点电压幅值和相角函数。代入式（3-27）能够求出节点i有功功率和无功功率，它们和给定PQ节点注入功率差值满足下面方程：
（3-33）
式中：——i和j节点电压相角差。
在有n个节点系统中，假定第号节点为PQ节点，第m+1~n-1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。和是给定，PV节点电压幅值也是给定，所以，只剩下n-1个节点电压相角和m个节点电压幅值是未知量。由（3-33）可知一共包含了n-1+m方程式，恰好同未知量数目相等，而直角坐标形式方程少了n-1-m个。
由方程（3-33）能够写出修正方程
(3-34)
式中
（3-35）
其中：H是阶方阵，其元素为；N是阶矩阵，其元素为；K是阶矩阵，其元素为；L是阶矩阵，其元素为。
对式（3-33）求偏导数，可得雅克比矩阵元素表示式以下：
非对角元素（）
（3-36）
对角元素（）
（3-37）
2.4牛顿法时尚计算关键步骤
（1）形成节点导纳矩阵；
（2）给各节点电压设初值；
（3）将节点电压初值代入（3-28）（3-29），求出修正方程式常数项向量；
（4）将节点电压初值代入（3-31），（3-32），求出雅可比矩阵元素；
（5）求解修正方程式（3-30），求出变量修正向量；
（6）求出节点电压新值；
（7）如有PV节点，则检验该类节点无功功率是否越限；
（8）检验是否收敛，由式（3-19）可知，若电压趋近于真解时，功率偏移量将趋于零。如不收敛，则以各节点电压新值作为初值自第3步重新开始下一次迭代，不然转入下一步。
（9）计算支路功率分布，PV节点无功功率和平衡节点注入功率，最终输出结果，并结束。
牛顿-拉夫逊时尚计算程序框图图3-2所表示

三、收敛性分析
小阻抗支路两端全部是PQ节点时，其功率不平衡方程为：

小阻抗支路电抗x很小，它电纳（1/x）很大。且1/x数值远大于上述方程组中出现代数量 ，为了方便说明，不妨称这些代数量为小代数量。
（1）第一次迭代
忽略式（4.9）中小代数量。设置初始电压 ，可得：

整理式（4.13）可得

这么可得第一次迭代后节点电压虚部关系：

式（4.9）乘以k后，加上式(4.10)，设置初始电压为 ,可得:

整理式（4.16）可得第一次迭代后节点电压实部关系：

式（4.9）乘以k后，加上式(4.10)，设置初始电压为 ,可得:

式（4.11）乘以k后，加上式(4.12)，设置初始电压为 ,可得:

综合式（4.15）、（4.17）可得，节点电压经过第一次迭代后满足收敛电压关系（3.14）。且可得新功率不平衡方程组（4.14）、（4.17）、（4.18）和（4.19）。这些方程中并不存在小阻抗问题，时尚计算可正常收敛。
（2）第二次迭代
忽略式（4.9）中小代数量，并将第一次迭代结果式（4.15）、（4.17）代入，可得：

将式（4.15）代入式（4.20），可得

忽略式（4.11）中小代数量，并将第一次迭代结果式（4.15）、（4.17）代入，可得：

或

由式（4.21）、（4.23），可得

四、算例分析
采取3.4节5节点系统算例来论证以上结论，收敛精度为 。3种情形下迭代结果分别如各表所表示，表格中 表示各个节点初给定值和计算值之间最大差值。

计算结果表明：采取改善算法后，3种情形下，节点5和节点2电压值在各次迭代中保持关系：
情形1对应是小阻抗支路两端全部为PQ节点情况，采取常规直角坐标牛顿法计算该情形时尚时，发散。采取改善方法，经过4次迭代后，收敛。
情形2对应是小阻抗支路处于PQ节点和PV节点间情况，常规算法和改善算法全部可收敛，切所需迭代次数相同。
情形3对应是小阻抗支路处于PQ节点和平衡节点间情况，常规算法和改善算法全部可收敛，且所需迭代次数相同。

总结
电力系统时尚计算分布计算，是指电力系统在某一稳定状态正常运行方法下，电力网络各节点电压和功率分布计算。它关键目标：
(1) 依据功率分布，能够选折电力系统电气设备和导线截面积，能够为电力系统继电保护整定计算提供必需数据等。
(2)检验电力系统各节点电压是否满足电压质量要求。
(3)依据对多种运行方法时尚分布计算，能够帮助我们正确地选择系统接线方法，合理调整负荷，以确保电力系统安全、可靠地运行，向用户供给高质量电能。
(4) 检验电力系统各元件是否过负荷。
(5)为电力系统计划和扩建提供依据。
(6)为调整计算、经济运行计算、短路计算和稳定计算提供必需数据。
时尚计算是电力系统分析中一个最基础计算，它任务是对给定运行条件确定系统运行状态，如各母线上电压、网络中功率分布和功率损耗等。时尚计算数学模型是以节点方程为基础，推导出对应功率方程。当电力系统中必需已知条件给定后时尚分布，取决于网络结构，而网络结构在功率方程中反应是节点导纳矩阵或节点阻抗矩阵。在复杂电力网中，在各个节点中没有直接相连节点很多，从而使矩阵中有很多零元素、节点导纳矩阵成为稀疏矩阵。通常来说，对角元素绝对值大于非对角元素绝对值，使节点导纳矩阵成为含有对角线优势矩阵。所以，节点导纳矩阵是一个对称、稀疏且含有对角线优势方阵。这给以后分析计算带来了很大方便，它有利于节省内存、提升计算速度和改善收敛等。功率方程是非线性代数方程组，必需采取数值求解方法进行计算。在首先讨论了电力系统节点分类以立即尚计算结果约束条件后，具体介绍了常见于时尚计算关键方法－牛顿－拉夫逊法。在实例计算这一章节中验证，从计算量来看，计算量不是尤其庞大，计算结果能够快速收敛，能够快速正确计算出各个节点待求量。从效果来看，牛顿－拉夫逊法迭代次数较少。从计算速度来看，速度比较快。在计算初始时，要选定比较适合初始值才能满足计算结果快速收敛，假如选值不适宜，计算结果不会收敛，可能成为发散型算式。

参考文件
[1]电力系统分析第二版，孟祥萍，高等教育出版社，
[2]现代电力系统分析，王锡凡，科学出版社，
[3]电力系统分析，孙淑琴，机械出版社，
[4]电力系统分析课程设计和综合试验，祝淑萍，中国电力出版社，
[5] 电力系统分析题解，何仰赞、温增银，华中科技大学出版社，