用假设法解决问题(一).doc

用假设法解决问题（一） 此文原题目为《用假设法解应用题》，初稿完成于1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二次修改。

河北省平乡县大刘庄小学 李明亮
先举一个简单的例子：甲班有学生45人，乙班比甲班多3人。两班共有学生多少人？
解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。如果列式为45×2+3就是用了假设法——假设乙班也是45人，则两班共有45×2=90(人)。但乙班实际人数比45人多3人，所以两班的实际总人数比90人多3人。
有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。如果我们做一些适当、合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。这种解题方法叫做假设法。假设的方法有多种，要灵活运用。
一、把“缺少”的条件假设为已知
例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。回家后，乙要的大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退给乙6元钱。每千克大米多少元？、
分析：不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的单价似乎很难。但是，我们可以假设大米的数量。
假设乙要了1千克大米，则甲、丙都要了7千克，三人共买了7+7+1=15（千克）每人平均15÷3=5（千克）。在粮店，他们平均出钱，每人出的都是5千克大米的钱。回家后，甲、丙要的大米都比平均数多7－5=2（千克），所以甲或丙退给乙的6元钱就是多要的2千克大米的价钱。乙要的大米比平均数少5－1=4（千克），所以甲和丙退给他的12元钱就是少要的这4千克大米的价钱。这样，就可求出大米的单价。
解法1.6÷[7－(7＋7＋1)÷3]=3（元）
解法2.6×2÷[(7＋7＋1)÷3－1]=3（元）
本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略）

解法3.6÷（6－6×2÷3）=3（元）
解法4.6×2÷（6×2÷3）=3（元）
例2.小王骑车去火车站。他计划以每小时15千米的速度行驶，这样才能正好赶上火车。可是，前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。下一半路程他应该以多快的速度骑行，才能赶上火车？
分析与解答：题中只有两个速度，没有路程怎样计算？可以假设路程。
假设路程是30千米，则小王按计划骑行，需要的时间是30÷15=2（小时）。前一半路程他已经用了30÷2÷12=1.25（小时）；下一半路程他应该用的时间是2－1.25=0.75（小时），应该用的骑车速度是每小时30÷2÷0.75=20（千米）。
30÷2÷（30÷15－30÷2÷12）=20(千米)
答：（略）
当然，把路程假设为3千米、6千米、10千米……结果都是一样的。把路程假设为“1”当作工程问题来解，也很简便。
例3.甲数的等于乙数的，甲数比乙数大几分之几？
分析与解法1.假设甲数是25，则甲数的是25×=15。即乙数的也是15，乙数是15÷=24。
（25－24）÷24=
解法2.假设乙数是1，则甲数是1×÷=。
（－1）÷1=
分析与解法3.假设甲数的与乙数的都等于1，则甲数是1÷=，乙数是1÷=。
（－）÷=
例4.一次考试，某班学生的平均分数为87分。其中90%的学生达到了80分，他们的平均分数为89分。80分以下的学生的平均分数是多少？
分析与解答：假设全班有40人，则达到80分的学生数是40×90%=36（人），80分以下的学生数为40－36=4（人）。
全班学生总分为87×40=3480（分）；达到80分的学生总分为89×36=3204（分）；80分以下的学生的总分为3480－3204=276（分），平均分是276÷4=69（分）。
综合算式：（87×40－89×40×90%）÷（40－40×90%）=69（分）
注：如果假设全班有4人，则解法更简便。
这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无关。所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据应便于计算。
类似问题；
1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短，甲的速度比乙快几分之几？
2.一艘轮船停靠在码头，计划12小时把货卸完。实际卸货的速度提高了。实际几小时可以卸完？
3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种2棵。如果只让男同学去种，平均每人应该种3棵。如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵？

二、把一般条件假设为特殊条件
例5.一个正方形的面积是20平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆，求这个圆的面积。
分析：求圆的面积，一般要先求出圆的半径。在本题中，如果知道了正方形的边长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长，要用开方。对于小学生来说，只有正方形的面积是4、9、16、25……时，才有可能推想出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢？
解法1.假设这个正方形的面积是25平方分米，则它的边长是5分米。所以，假设的这个正方形内的最大的圆的直径是5分米，面积是
（）2×3.14=19.625（平方分米）
而原正方形面积是假设的这个正方形面积的,所求的圆的面积也应该是假设的这个圆面积的。
19.625×=15.7（平方分米）
解法2.假设正方形的边长是20分米，则它里面最大的圆的直径也是20分米，面积是()2×3.14=314（平方分米）。把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米，面积就扩大了20倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了20倍。所以，所求的圆的面积是
314÷20=15.7（平方分米）
注：此题不用假设法也可以解。如图，把正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的面积都是20÷4=5（平方分米），即r2=5.所以圆的面积是
S=πr2=3.14×5=15.7（平方分米）。

类似习题：
1.把一个面积是6.28平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方形纸片的面积。
2.一个正方体的体积是9立方分米，另一个正方体的棱长是它的2倍。求另一个正方体的体积。

三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”
有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率（倍数）带“铃铛”。可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调整，使分率（倍数）不带“铃铛”。
例6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的多4个，第二天加工了全部零件的少1个，还剩16个每加工。这批零件共多少个?
分析与解答：假设第一天正好完成了全部零件的，那么剩下的（没加工的）零件就会多4个；假设第二天正好完成了全部零件的，那么剩下的就会少1个。于是，原题的条件就变成了“第一天加工了全部零件的，第二天加工了全部零件的，还剩（16+44－1）个没加工”。
（16+4－1）÷（1――）=114（个）
答：（略）
例7.甲、乙、丙．丁四个数的和是202，乙数比甲数多1，丙数比甲数的2倍少2，丁数比甲数的一半多.求这四个数。
分析与解：假设乙数等于甲数，丙数正好是甲数的2倍，丁数正好是甲数的一半，则四个数的和将是（202－1+2―）。由此可求出甲数，进而求出另外三数。
甲数 （202－1+2―）÷（1＋1＋2＋）=45
乙数 45+1=46
丙数 45×2－2=88
丁数 45÷（1＋1＋2＋）＋=23
例8.学校买来三种新书共100本，其中文艺书是科技书的3倍，画册比科技书的一半少8本。这三种书各买来多少本？
解（分析略）：（100+8）÷（3＋1＋）=24（本） （科技书）
24×3=72（本） （文艺书）
24÷2－8=4（本） （画册）
解法2（分析略）：（100+8）÷（2＋1＋2×3）=4（本） （画册）
（4+8）×2=24（本） （文艺书）
24×3=72（本） （文艺书）
例9.水果店有535千克橘子，第一天卖出8筐又17千克，第二天卖出5筐又11千克，还剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天卖出多少千克？
解（分析略）：每筐橘子有多重?
(535―195―17―11)÷（8＋5）=24（千克）
第一天卖出多少千克？
24×8＋17=209（千克）
类似习题：
1.师徒二人加工一批零件。徒弟加工了92个，超额15%完成了自己的任务。他的任务比师傅任务的多32个。师傅加工零件的任务是多少个？
2.车站仓库里原有煤若干吨。第一次运出的比存煤的一半少350吨，第二次运出现有煤的一半有50吨，结果还剩500吨。仓库里原有煤多少吨？
3.小明有人民币若干元。买书用去其中的一半又5角，买文具用去剩下的一半又5角，买本又用去第二次剩下的一半又5角，最后还剩5角。小明原有多少元？

四、虚构、改编情节
例10.一个班有48人。班主任在班会上问：谁做完语文作业？请举手。有37人举手。又问：谁做完数学作业？请举手。有42人举手。最后问：谁语文、数学作业都没做完？没有人举手。你想想看：这个班语文、数学作业都做完的有多少人？

分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有37人和42人，没有两种作业都没做完的。假设全班学生都正好做完了一种作业，那么全班应该有79人（37+42=79）。但实际上全班只有48人，假设的人数比实际人数多31人（79－48=31）。为什么会多出31人？是因为这31人都举了两次手。
37+42－48=31（人）
分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。假设全班48人都做完了数学作业，那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。但是，实际做完数学作业的只有42人，比假设的48人少6人。所以，两种作业都做完的也应该比37人少6人。
37―（48―37）=31（人）
分析与解法3.有37人做完了语文作业。假设全班48人都正好做完了一种作业，没有人做完两种作业，则做完数学作业的应该是11人（48－37=11）。但实际做完数学作业的有42人，比假设的11人多31人（42－11=31）。这31人既做完了数学作业，又做完了语文作业。
42―（48―37）=31（人）
分析4. 假设班主任不是让学生举手，而是让做完作业的学生交作业本——把语文、数学作业本各摆一行，并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放（如下图）。

这样，只要数一数作业本数，就可以知道做完作业的人数。但是，两种作业的总本数比全班人数多，因为两种作业都做完的学生都交了两个本。如果再让全班每个学生都拿回去一个本（共拿回去48本），就只剩下两种作业都做完的人的作业本了（两种作业都做完的人，每人剩一本摆在那里）。这样就可得到解法1。
从上图中也可以得到解法2、解法3，还可以得到解法4。
解法4. 48―（48―37）―（48―37）=31（人）
注：上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。
例11.一人骑摩托车从A城去B城。若以每小时30千米的速度行驶，他将迟到2小时；若以每小时48千米的速度行驶，他将早到1小时。AB两城相距多少千米？要准时到达，每小时该行多少千米？
分析1.从A城出发，以每小时30千米的速度行驶，要迟到2小时，即到既定时刻离B城还有60千米的路程（30×2=60）；以每小时48千米的速度行驶，将早到1小时。假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下，而是又向前行了1小时，到既定时刻才停下。

用相同的时间，用两种速度行驶的路程相差108千米（60+48=108）。由此可求出行驶的时间，进而就可求出两地距离和应有的速度。
解法1.①从出发到既定时刻是几小时？
（30×2＋48×1）÷(48－30)=6(小时)
②AB两城相距多少千米？
30×（6＋2）=240（千米）或48×（6－1）=240（千米）
③要准时到达，每小时该行多少千米？
240÷6=40（千米）
分析2.假设有两个人分别以每小时30千米和每小时48千米的速度，同时从A城出发驶向B城。当快车提前1小时到达B城时，慢车距B城还有2+1=3小时的路程，即快车比慢车多行了30×3=90千米。由此可求出快车到达B城所用的时间。
解法2. ①每小时行驶48千米，几小时可到达？
30×（2+1）÷(48－30)=5(小时)
②AB两城相距多少千米？
48×5=240（千米）
③要准时到达，每小时该行多少千米？
240÷（5+1）=40（千米）
解法3（分析略）.①每小时行驶30千米，几小时可到达？
48×（2+1）÷(48－30)=8(小时)
②AB两城相距多少千米？
30×8=240（千米）
③要准时到达，每小时该行多少千米？
240÷（8－2）=40（千米）
例12.一项工作，甲单独做40天可以完成，乙单独做60天可以完成。二人合作，甲因病休息了几天，他们共用了27天才完成。问：甲中途休息了几天？
分析：甲乙合作，每天可完成这项工作的+=.假设甲中途没有休息，甲乙合作27天，可完成这项工作的×27=,超过任务的。甲几天可以完成这项工作的呢？
解：[(+) ×27－1]÷=5（天）
答：（略）。
本题的另外几种解法：
（1）27―(1―)÷=5（天）
(2)把甲的工效设为“1”:27―(1×40―×27)÷1=5（天）
（3）把乙的工效设为“1”： 27―(1×60―1×27)÷=5（天）
（4）[（1+）×27―1×40]÷1=5（天）
(5) [（1+）×27―1×60]÷=5（天）
例13.食堂有面粉和大米共168千克。一天用去了面粉的和大米的，一共用去48千克。面粉和大米原来各有多少千克？
分析1.一天用去了面粉的和大米的（共48千克）。假设连用3天，则大米将正好用完，面粉应该还剩1―×3=。连用3天，共用去面粉和大米48×3=144（千克）。还剩168―144=24（千克）。这24千克都是面粉（是原来面粉重量的）。
解法1.（168―48×3）÷（1―×3）=96（千克） （面粉）
168―96=72（千克） （大米）
分析2. 假设连用4天，则面粉将正好用完，面粉就会缺×4―1=。连用4天，共应该用面粉和大米48×4=192（千克），比总数还多192―168=24（千克）。这24千克正好是原来大米重量的。
解法2.（48×4―168）÷（×4―1）=72（千克） （大米）
168―72=96（千克） （面粉）
注：本题还有其他假设解法。
例14.一个化肥厂计划14天完成一项任务。由于每天多生产3.5吨，结果9天就完成了任务。原计划每天生产多少吨？
分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。则当按实际的效率（每天比甲厂多生产3.5吨）生产9天完成任务时，乙厂比甲厂共多生产31.5吨（3.5×9=31.5）。这时,甲厂还需再生产5天才能完成任务。由此可求出甲厂每天生产多少吨(计划每天生产多少吨).
解法1. 3.5×9÷（14―9）=6.3（吨）
解法2（分析略）. 3.5×14÷（14―9）―3.5=6.3（吨）
例15.鸡和兔共43只，它们共有120条腿。鸡和兔各有多少只？
分析与解法1.假设把鸡和兔都砍掉2条腿，则43只鸡和兔就会被砍掉86条腿(2×43=86),只剩下34条（120―86=34）。这34条都是兔腿，因为鸡都没了腿。每只兔只剩2条腿，所以有17只兔。
兔 （120－2×43）÷(4―2)=17(只)
鸡 43―17=26(只)
分析与解法2.假设每只鸡也都有了4条腿（都又“长”出来2条），则43只鸡和兔一共应该有172条腿（43×4=172）。所有的鸡一共“长”出了52条腿（172―120=52）。每只鸡都“长”出来了2条腿，是多少只鸡“长”出来52条腿呢？
鸡 （4×43－120）÷(4―2)=26(只)
兔 43―26=17(只)
分析与解法3.假设把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿（每只鸡只剩一条腿，每只兔剩2条腿，则43只鸡和兔一共剩下60条腿（120÷2=60）。每只鸡和兔都有一个头。把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后，鸡的腿数和头数同样多，而每只兔的腿数都比头数多1。现在，43只鸡和兔共有43个头、60条腿，腿数比头数多17（60―43=17），所以有17只兔。
（120÷2―1×43）÷（4÷2－1）=17（只）
例16.一次数学竞赛，共20道题。评分标准是：每答对一道，给5分；答错一道，倒扣3分；不答的，给0分。小华参加这次竞赛，全答了，但只得了76分。他答对了多少道？
分析与解：假设把评分标准改为“每答对一道，给8分；答错或不答的不给分也不扣分”(即，只要答了的题，不管对错，每道都比原评分标准多给3分)，则小华应比原来多得60分（3×20=60），一共应得136分（76+60=136）。对一道给8分，他对了多少道呢？
（76+3×20）÷（5＋3）=17(道)
有些问题，如果虚构、改编一些情节，就有可能使复杂的情节变简单，隐蔽的数量关系变明显。解数学题，重要的是数量关系，而不是情节。在不改变题目的结构、数量关系的前提下假设、虚构一些情节，不会影响计算结果。
类似题目：
1.甲乙二人同时骑车从A城去B城，甲每小时行24千米，乙每小时行18千米。甲在途中因修车停留2小时，结果比乙晚1小时到达B城。A、B两城相距多少千米？
2.某校安排学生住宿。若每间宿舍住6人，则34人无住处；若每间住7人，则空出4间宿舍。有学生多少人？
3.甲乙丙三人共同做一件工作，15天可以完成。但由于甲请了2天假，乙请了3天假，他们一共用了17天才完成。已知甲的工作效率是乙的1.5倍。如果让甲单独做这项工作，多少天可以完成？
4.一个筑路队原计划20天修完一条公路。实际每天比计划多修45米，提前5天完成了任务。这条公路长多少米？
5.一个班有42人。28人参加了数学小组，14人参加了语文小组，10人两个小组都没参加。有几个人两个小组都参加了？

11