第五章留数定理习题及其解答.doc
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1、第五章 留数定理习题及其解答 5.1设有,能否说为本性奇点?为什么? 答:这个级数由两部分组成:即。第一个级数当即时收敛,第二个级数当即时收敛。于是所给级数在环域内收敛(成立),且和函数。显然是的解析点。可见此级数并非在的去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幂项断定的性质。注: 此例说明,判断孤立奇点类型虽可从的Laurent展开式含有负幂项的情况入手,但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent展式,否则与是什么性质的点没有关系。5.2 设在全平面解析,证明:若为的可去奇点,则必有(常数);若为的级极点,则必为次多项式:;除此之外,在处的Taylor展式必有无限多项系数。证: 因为在全平
2、面解析,所以在邻域内Taylor展式为且。注意到这Taylor级数也是在去心邻域内的Taylor级数。所以,当在的可去奇点在去心邻域内Laurent展示无的正幂项,即。故(常数);当为的级极点在去心邻域内Laurent展示中只含有限个的正幂项,且最高正幂为次()。 即为次多项式;除去上述两种情况, 为的本性奇点在去心邻域内Laurent展开式中含有无限多个正幂项,因此在中,有无限多个项的系数不为0。注 (1). 对本题的结论,一定要注意成立的条件为在全面解析,否则结论不成立。例:在内解析(与全平面解析仅差一个点!),且以为可去奇点,但又在内解析,且以=为一级极点,但它并不是一次多项式,也不可能
3、与任何一次多项式等价(它以=0为本性奇点)。同样地, 在内解析,以为本性奇点,但它不是超越整函数,(它不是整函数);(2). 本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义,同时注意,全平面解析的函数在邻域内Taylor展示的收敛半径R= +,从而此Taylor展示成立的区域恰是的去心领域,即同一展示对而言即是其去心领域内的Laurent展式。5.3 证明:如果为解析函数的阶零点,则必为的阶零点。(1)证 因为在点解析,且为其阶零点。故在的邻域内Taylor展式为其中由Taylor级数在收敛圆内可逐项微分性质有 右端即为在内的Taylor展开式,由解析函数零点定义知,以为阶零点。注 本证明仅用到解析
4、函数零点定义及幂级数在收敛圆内可逐项求导的性质.5.4 判断下列函数在无穷远点的性态1) 2) 3) 4)解 1) 因为在内解析,且所给形式即为它在该环域内的Laurent展式,所以为的一级极点(为一级极点).2) 因为在内解析,且在此环域内有 即在的去心邻域里的Laurent展式中含有无限多个的正幂项,故为的本性奇点(0为二级极点)。3) 因为在处解析,以为本性奇点。在中令,得。为的本性奇点,即为的本性奇点。4) 令,得,即。 为的零点,且 为的一级极点。且 ,故,为的非孤立奇点。注 当为孤立奇点时,一般直接从函数在的去心邻域内的Laurent展示入手,判断其类型,但对3),因有一定的特性,
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