数理统计(汪荣鑫版)习题答案详细版.pdf
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1、 1数理统计习题答案数理统计习题答案 第一章 1.解:()()()()()()()12252112222219294 103 105 1061005111005192 10094 100103 100105 100106 100534niiniiiiXxnSxxxn=+=+=2.解:子样平均数 *11liiiXm xn=()11 83 406 1026 2604=+=子样方差 ()22*11liiiSmxxn=()()()()222218144034106422646018.67=+=子样标准差 24.32SS=3.解:因为 iixayc=所以 iixacy=+11niixxn=()1111n
2、iiniiacynnacyn=+=+1niicaynacy=+=+所以 xacy=+成立 ()2211nxiisxxn=()()()22122111nii iniiniiacyacyncycyncyyn=+=因 为 ()2211nyiisyyn=所 以 222xysc s=成立 2 ()()()()()172181203.2147.211.2ennenMXXRXXMXX+=4.解:变换 2000iiyx=i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ix 1939 1697 3030 2424 2020 2909 1815 2020 2310 iy-61-303 1030 424 20 909-18
3、5 20 310 11niiyyn=()161 303 103042420909 185203109240.444=+=()2211nyiisyyn=()()()()()()()()()222222222161 240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=+=利用3题的结果可知 2220002240.444197032.247xyxyss=+=5.解:变换 ()10080iiyx=i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4、ix 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 iy-2 4 2 4 3 3 4-3 5 3 2 0 2 13111113niiiiyyyn=12424334353202132.00=+=()2211nyiisyyn=2 ()()()()()()222222122.00322.0052.00342.0013332.0032.005.3077=+=利用3题的结果可知 2248080.021005.30771010000yxyxss=+=6.解:变换()1027iiyx=*ix 23.
5、5 26.1 28.2 30.4 iy-35-9 12 34 im 2 3 4 1 11liiiym yn=()135 29 3 12 434101.5=+=2710yx=+=26.85 ()2211lyiiismyyn=()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25=+=2214.4025100 xyss=7解:身高 154?158 158?162 162?166 166?170 170?174 174?178 178?182 组中值 156 160 164 168 172 176 180 学生数 10 14 26 28 12 8 2*11li
6、iixm xn=()1156 10160 14 16426 172 12 168 28 176 8 180 2100166=+=3 ()22*11liiismxxn=()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=+=8解:将子样值重新排列(由小到大)-4,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,3.2,3.21 ()()()()()172181203.2147.211.2ennenMXXRXXMXX+=9解:1212111212
7、11nnijijnxnxnnxnn=+=+112212n xn xnn+=+()12221121nniisxxnn+=+10.某射手进行20次独立、重复的射手,击中靶子的环数如下表所示:环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 试写出子样的频数分布,再写出经验分布函数并作出其图形。解:环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1 ()20040.1460.3670.75790.9910110 xxxFxxxx=6所以 ()21122202200nynnYyeynfyy=(2)因为 ()
8、20,iXN?1,2,in=()0,1iXN?所以 ()22221niiXnYn=?()()22222220nyYnYnyFyP YyPfx dx=()()22222YYnynfyFyf=故 ()221222202200nnnynnYn yeynfyy=(3)因为 ()20,iXN?1,2,in=()10,1niiXNn=?所以 ()22311niiXYnn=?()()()22333210ynYYFyP YyPyfx dxn=()()()2332211YYyfyFyfnn=()()22110200 xexfxxx=7故 ()23210200ynYeyfynyy=(4)因为 ()20,iXN?1
9、,2,in=所以 ()()1224210,11niiniiXNnXYn=?()()()()()()2242244422102211yYYYyFyP YyPfx dxyfyFyf=故 ()24210200yYeyfyyy=17.解:因为 ()Xt n?存在相互独立的U,V()0,1UN?()2Vn?使 UXVn=()221U?则 221UXVn=由定义可知 ()21,Fn?18解:因为 ()20,iXN?1,2,in=()10,1niiXNn=?()221n mii nXm+=+?8所以 ()1112211nniiiin mn miii ni nXmXnYt mXnXm=+=+=+=?(2)因为
10、 ()0,1iXN?1,2,inm=+()()221221niin mii nXnXm=+=+?所以 ()221122211,niniiin mn miii ni nXmXnYF n mXnXm=+=+=+=?19.解:用公式计算 ()20.010.0190902 90U=+查表得 0.012.33U=代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26=+=20.解:因为 ()2Xn?2En=22Dn=由2分布的性质3可知 ()0,12XnNn?22XncnP XcPnn=22212222limc nntnXncncnPedtnnnn=故 2cnP Xcn 第第 二二 章章 91.
11、0000,0()0,0()()1()111xxxxxexfxxExfxx d xx ed xx eedxex+=+=令 从而有 1x=2.()111121).()(1)(1)1111kkxxExkpppkpppp=令1pX 所以有1pX=)其似然函数为111()(1)(1)nixiinX nniLPPp pp=1ln()ln()ln(1)niiLPnpXnp=+1l n1()01niidLnXnd ppp=解之得 11niinpXX=解:因为总体服从(a,b)所以 10()2122!2!()1233niiabnE XrnrXXXXabSXSbXS=+=+222(a-b)()D(X)=12令 E
12、(X)=D(X)=S,1S=na+b2()a 4.解:(1)设12,nx xxL为样本观察值则似然函数为:111()(),01,1,2,ln()lnlnlnln0nniiiniiiniiLxxinLnxdLnxd=inxxxxL 则其似然函数=niiixnnixeeL11)(=niixnL1ln)(ln =niixndL1)(ln xxnnii11=由题中数据可知 20)6525554545703510025150152455365(10001=+=x 则 05.0201=10.解:(1)由题中子样值及题意知:极差7.45.12.6=R 查表 2-1 得4299.015=d 故0205.27.
13、44299.0=(2)平均极差115.0=R,查表知3249.0110=d 0455.0115.03249.0=解:设u为其母体平均数的无偏估计,则应有x=13又因4)26261034018(601=+=x 即知4=12.解:)1,(NXQ=)(ixE,1)(=ixD,)2,1(=i 则=+=2113231)(EXEXE=+=2124341)(EXEXE=+=2132121)(EXEXE 所以三个估计量321,均为的无偏估计 9591949194)3132()(2121=+=+=+=DXDXXXDD 同理可得85)(2=D,21)(2=D 可知3的方差最小也亦2最有效。13 解:)(PXQ=)
14、(,)(XDXE)(11)(122*=niiXXnESE)()(11212XnEXEnnii=)()(11122=+=ninnn=)(11nn 即2*S是的无偏估计 又因为=niiniiniiEXnXEnXnEXE1111)(1)1()(即X也是的无偏估计。又 1,0 =+=+=+)1()()1()()1(2*2*SEXESXaE 因此2*)1(SX+也是的无偏估计 14.解:由题意:),(2NX 因为)()()()(21111212iiniiiiiXXEXXDCXXECE+=+=+142112111)1(220)()(=+=+nCCXDXDCniniii 要使22)(=E只需)1(21+=n
15、C 所以当)1(21=nC时2为2的无偏估计。15.证明:Q参数的无偏估计量为,D依赖于子样容量n 则,0由切比雪夫不等式 0lim=DnQ故有1lim=pn 即证为的相合估计量。16 证明:设 X 服从),(pNB,则分布律为 kkkNPPkXPC)1()(=),2,1(NkK=这时NPXE=)()1()(PNPXD=2222)1()(PNPNPEXDXEX+=+=例 4 中NXp=所以PNNPNXEPE=)((无偏)NnPPnNPNPNXDPD)1()1(22=罗克拉美下界满足 =nkPNKKNPNKKNRPPPPLnpnICC02)1()1(1 =+=NKKNKKNKNPPPLnPNKL
16、nPLnPnCC02)1()1()(=NKKNKKNPPPPNPKnC02)1(1)1(2)1(22222222PEXNEXNPPEXNEXPEXn+=222222222222)1()1(2)1()1(2)1(PPNPNPPNNPPNPNPPNPPNPNPn+=)1(111PPnNPPnN=+=15 所以=PDnNPPIR)1(即p为优效估计 17 解:设总体 X 的密度函数 222)(21)(=xexf 似然函数为=nixnxniiieeL12)(222)(221222)2(21)(212222)(222)(=niixLnnLnnLnL 02)(241222=+=niixnddLnL =ni
17、ixn122)(1 因为+dxxfxLnf)()(22=+dxexx222)(224221212)(=2)()(4142248+XEXE=42n 故2的罗克拉美下界 42nIR=又因=niiXnEE122)(1(=niiXEn12)(12=且=niiXnDD122)(1()(42n=所以2是2的无偏估计量且)(2=DIR 故2是2的优效估计 18 解:由题意:n=100,可以认为此为大子样,所以nSXU=近似服从)1,0(N=12uUPp 得置信区间为nsux2()2nsux+已知95.01=s=40 x=1000 查表知96.12=u代入计算得 16所求置信区间为(992.16 1007.8
18、4)19.解:(1)已知cm01.0=则由)1,0(NnXU=12uUP 解之得置信区间nuX2()2nuX+将 n=16 X=2.125 645.105.02=uu 01.0=代入计算得置信区间(2.1209 2.1291)(2)未知 )1(=ntnSXT =12tTP 解得置信区间为2(tnsX )2tnsX+将 n=16 753.1)15()15(05.02=tt 00029.02=S代入计算得 置信区间为(2.1175 2.1325)。20。解:用 T 估计法 )1(=ntnSXT =1)1(2ntTP 解之得置信区间2(tnSX )2*tnSX+将6720=X 220=S n=10
19、查表2622.2)9(025.0=t 代入得置信区间为(6562.618 6877.382)。21解:因 n=60 属于大样本且是来自(01)分布的总体,故由中心极限定理知 )1()1(1pnpnpXnpnpnpXnii=近似服从)1,0(N 即 =1)1()(2upnpPXnp 17解得置信区间为2)1(unppX )1(2unppX+本题中将nUn代替上式中的X 由题设条件知25.0=nUn 055.0)()1(2=nUnUnppnn 查表知96.1025.0=UUn 代入计算的所求置信区间为(0.1404 0.3596)22 解:2未知 故)1,0(NnXU=由12uUP 解得 置信区间
20、为2(unX )2unX+区间长度为22un 于是Lun22 计算得22224ULn 即为所求 23解:未知,用2估计法 )1()1(2222=nSn =1)1()1()1(222221nnnP 解得的置信区间为222)1(Sn )1(2212Sn(1)当 n=10,S=5.1 时 查表)9(2005.0=23.59 )9(2995.0=1.73 代入计算得的置信区间为(3.150 11.616)(2)当 n=46,S=14 时 查表)45(2005.0=73.166 )45(2995.024.311 代入计算可得的置信区间为(10.979 19.047)24解:(1)先求的置信区间 由于未知
21、 18 )1(=ntnSXT =12tTP 得置信区间为2(tnSX )2tnSX+经计算2203.012.5=SX 查表093.2)19(025.0=t n=20 代入计算得置信区间为(5.1069 5.3131)(2)未知 用统计量)1()1(2222=nSn =45 为大子样 )1()1(222*2=nsn 由2分布的性质 3 知)1(2)1(2=nnU近似服从正态分布)1,0(N 所以=12uUP 得 22)1(2)1(unn 或2222)1(2)1()1(unnsnu 可得2的置信区间为+2222121,121unsuns 28 解:因22221=未知,故用T统计量)2(11)(21
22、+=mntmnsYXTw 其中2)1()1(22212+=mnsmsnsw 而05.0=2+mn 20查表 144.2)4(025.0=t 计算 625.81=X 125.76=Y 695.14521=s,554.10122=s,625.1232=ws 代入得 9237.115.511)2(2=+mnsmntYXw 故得置信区间)4237.17,4237.6(29 解:因22221=故用T统计量)2(11)(21+=mntmnsYXTwBA其中2)1()1(22212+=mnSmSnSW=12tTP 计算得置信区间为 mnmntSXXWBA11)2(2+)11)2(2mnmntSXXWBA+把
23、2WS=0.000006571 )7(2t=2.364 代入可得所求置信区间为(-0.002016 0.008616)。30解:由题意 用 U 统计量 )1,0()(22212121NmSnSXXU+=12uUP 计算得置信区间为 mSnSuXX2221221(+)2221221mSnSuXX+把71.11=X 67.12=X 221035.0=S 222038.0=S 100=mn 96.1025.02=uu 代入计算得 置信区间)0501.0,0299.0(31解:由题意,21,uu未知,则 21)1,1(12212*1222*2=nnFSSF则=1)1,1()1,1(1221221nnF
24、FnnFP 经计算得=1)1,1()1,1(2*22*112222212*22*11221SSnnFSSnnFP 解得2221的置信区间为2*22*11222*22*11221)1,1(,)1,1(SSnnFSSnnF 61=n 92=n 245.02*1=S 357.02*2=S 05.0=查表:82.4)8,5(025.0=F 207.082.41)8,5(1)5,8(025.0975.0=FF 带入计算得2221的置信区间为:)639.4,142.0(。32.解:2未知,则)1(*=ntnSXT即:=1)1(*nSntXP则单侧置信下限为:nSntX*)1(将6720=X 220*=S
25、10=n 833.1)9(05.0=t 带入计算得471.6592 即钢索所能承受平均张力在概率为%95的置信度下的置信下限为471.6592。33.解:总体服从(0,1)分布且样本容量 n=100 为大子样。令X为样本均值,由中心极限定理 )1,0(2NnnPXn 又因为22S=所以=1)1(122nP 解得的单侧置信上限为)1()1(212nSn 其中 n=10,S=45,查表=)9()1(295.02n3.325 代入计算得的单侧置信上限为 74.035。第三章第三章 1.解:假设:26:,26:10=HH 由于2.5=已知,故用统计量)1,0(Nnxu=2uuP u的拒绝域2uu 2.
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