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(完整word)振动图像与波的图像及多解问题专题
§8。4 振动图像与波的图像及多解问题专题
一、振动图象和波的图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象,波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．
简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：

振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向所有质点
研究内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图线

物理意义
表示一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图线变化
随时间推移图延续，但已有形状不变
随时间推移，图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离
表示一个周期
表示一个波长
例题精选：
例题1：如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象,乙为参与该波动的P质点的振动图象
(1)说出两图中AA/的意义?
(2）说出甲图中OA/B图线的意义？
（3）求该波速v=?
（4)在甲图中画出再经3．5s时的波形图
（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移

解析:(1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是 P质点在 0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．
（2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．
(3）甲图得波长λ＝4 m,乙图得周期 T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s
(4)用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十½）λ
所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6-—28所示
（5）求路程：因为n==7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m
求位移:由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．
例题2：如图所示，(1）为某一波在t＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是
A． 该列波的波速度为4m／s ;
B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播
C．该列波的频率可能为 2 Hz；
D．若P点的坐标为xp＝4 m，则该列波沿x轴负方向传播；
解析：由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．
由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp＝4 m,则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝ l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．
点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定,所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向

二、波动图象的多解
波动图象的多解涉及：（1)波的空间的周期性;(2）波的时间的周期性；(3)波的双向性；（4）介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．
1．波的空间的周期性
沿波的传播方向，在x轴上任取一点P(x），如图所示,P点的振动完全重复波源O的振动,只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT0/λ。在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点,在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同,或者说它们的振动“相貌"完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现,这就是机械波的空间的周期性．
空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．
2．波的时间的周期性
在x轴上同一个给定的质点,在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况(位移、速度、加速度等）相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．
波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．
①传播距离：
②传播时间：
③传播速度：
④质点振动路程：
3．波的双向性
双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．
4．介质中两质点间的距离与波长关系未定
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．
5．介质中质点的振动方向未定
在波的传播过程中,质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定,则波的传播方向有两种，这样形成多解．
说明:波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．5．已知波速v和波形，画出再经时间波形图的方法
⑴平移法：先算出经时间波传播的距离，再把波形沿波的传播方向平移即可.因为波动图象的重复性,若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变。当时，可采取去整留零的方法，只需移x即可.
⑵特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷)点,先确定这两点的振动方向，再看。由于经nT波形不变，所以也是去整留零，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。
6．已知振幅A和周期T，求振动质点在时间内的路程和位移
求振动物体在时间内的路程和位移,由于涉及质点的初始状态，需用正弦函数较复杂。特殊情况下如T/2或T时，则比较容易求。
当质点的初始位移为x0时,经T/2的奇数倍时x=—x0,经T/2的偶数倍时，x=x0.
振动质点无论从哪个位置开始计时，在一个周期内通过的路程为4A，半个周期内通过的路程为2A，但不能说四分之一周期内通过的路程为A。这与振子的计时位置有关.
例题3:一列在x轴上传播的简谐波，在xl= 10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为 s，这列简谐波的波长为 cm．
【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s．由于没有说明波的传播方向,本题就有两种可能性:（1）波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x1在正最大位移处,x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性,也就x2一 x1＝（n十1/4)λ，λ=400/(1十4n）cm
（2）波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x2一 x1＝（n十3/4）λ，λ=400／（3＋ 4n）cm
点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的(若要是唯一的，就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围）．
例题4：如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：
4
x/m
y
0
①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率)
③可能的波速 ④若波速是35m/s,求波的传播方向
⑤若0。2s小于一个周期时,传播的距离、周期(频率)、波速。
解析：
①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播.
向左传播时,传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m （n=0、1、2 …)
向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=(4n+1)m （n=0、1、2 …）
②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3)=0.8 /（4n+3）(n=0、1、2 …）
向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得:T=4t/（4n+1）=0。8 /（4n+1） （n=0、1、2 …)
③计算波速，有两种方法。v=x/t 或v=λ/T
向左传播时，v=x/t=(4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+3）/0.8=(20n+15）m/s.(n=0、1、2 …）
向右传播时,v=x/t=（4n+1)/0.2=(20n+5）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2 …）
④若波速是35m/s，则波在0。2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播.
⑤若0。2s小于一个周期，说明波在0。2s内传播的距离小于一个波长。则：
向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m;传播的时间t=3T/4得：周期T=0。267s；波速v=15m/s.向右传播时,传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.
点评：做此类问题的选择题时,可用答案代入检验法。
例题5：如图所示，一列简谐横波在t1时刻的波形，如图甲所示，质点P在该时刻的振动速度为v，t2时刻质点P的振动速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同；t3时刻质点P的速度与t1时刻的速度大小相等，方向相反．若t2－t1＝t3-t2＝0．2秒，求这列波的传播速度．
解析：从振动模型分析，若质点P从t1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻,从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有： t2—t1＝（n＋1／4)T n＝0，1,2……
周期为：T=(t2一t1）／（n十1/4） n＝0，1，2……
由公式：v＝λ／T 得出速度v的通解为： v＝20（n＋l／4) n=0,1，2……方向向左．
若质点 P从 t1时刻开始背离平衡位置方向振动,在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻,对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：
t2—t1＝（n＋3／4）T n＝0，1，2……
周期为：T=（t2一t1）／(n十3/4) n＝0，1，2……
由公式：v＝λ／T 得出速度v的通解为： v＝20（n＋3／4） n=0，1，2……方向向右．
答案:v＝20(n＋l／4）（n＝0，1，2……） 方向向左．
或v＝ 20( n＋ 3／4）( n＝ 0，1，2,……)方向向右
123456789
Q R
P
x/cm
s/m
O
例题6：已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示;在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。t2-t1 = 0。02s来求:⑴该波可能的传播速度。⑵若已知T〈 t2-t1<2T，且图中P质点在t1时刻的瞬时速度方向向上,求可能的波速。⑶若0.01s<T〈0.02s，且从t1时刻起，图中Q质点比R质点先回到平衡位置,求可能的波速。
解:⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100（3n+1)m/s (n=0，1,2,…)；同理可得若该波是向左传播的,可能的波速v=100(3n+2）m/s (n=0，1,2，…）
⑵P质点速度向上，说明波向左传播，T〈 t2—t1 〈2T，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v=500m/s
⑶“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s<T〈0。02s，也就是T<0.02s<2T，所以这段时间内波只可能向右传播了4/3个波长，解也是唯一的:v=400m/s
例题7：一列横波沿直线在空间传播,某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置,且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？

A
C
B
D
分析与解：本题没有给定波的传播方向,仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况,即波的图像有以下四种图形（如图中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N):
若波的传播方向由M到N，那么:
在A图中,经过时间t,N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．
在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．
在C图中，经过时间t，波向右前进的距离,且，所以波速．
在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
若波的传播方向从N到M，那么：
在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰,则时间，在时间t内波向左前进的距离,所以波速．
在B图中，经过时间t, N到达波峰,则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．
在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速．
在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
所以该列波可能的波速有五种、、、、．
其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S,波速v就等于．例如：最后一种情况中,波峰在传播方向上到N点的距离,所以波速．其它情况读者可自行解决．
例题8：（06上海10）在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点,相邻两质点的距离均为L，如图（a）所示,一列横波沿该直线向右传播,t=0时到达质点1,质点1开始向下运动,经过时间Δt第一次出现如图（b）所示的波形。则该波的 （ ）
A。周期为Δt,波长为8L
B。周期为Δt，波长为8L
C.周期为Δt,波速为12L/Δt
D.周期为Δt，波速为8L/Δt
答案 BC
解析 由图(b）可看出,该波波长λ=8L,质点9此时向上运动，这说明在Δt时间内，波传播的距离大于一个波长,因质点1开始振动的方向向下，故波传播到质点9时，质点9起振的方向应向下,而图(b）中质点9向上振动,这说明质点9已振动了,故Δt=+T，T=Δt，机械波传播的速度为v===，由此可知B、C选项正确。
例题9:（07四川理综20）图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象.从该时刻起 （ ）
A。经过0。35 s时,质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
B。经过0。25 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度
C。经过0.15 s，波沿x轴的正方向传播了3 m
D.经过0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向
解析 由振动图象可判定t=0时刻质点P向下振动，则机械波向右传播.经0。35 s,即经1T时，P点在波峰,故Q距平衡位置的距离小于P到平衡位置的距离,A对;经0.25 s,即经1T时，P在波谷，Q的加速度小于P的加速度,B错;波速v== m/s=20 m/s，所以经0。15 s波沿x轴的正方向传播的距离s=vΔt=20×0。15 m=3 m,C对;Q点图示时刻向上振动，经半个周期,其运动方向沿y轴负方向,D错. 答案 AC
例题10：（07上海9）如图所示,位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S,产生两列分别沿x轴负方向与正方向传播的机械波。若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2,则 （ )
A.f1=2f2,v1=v2
B。f1=f2,v1=0.5v2
C.f1=f2,v1=2v2
D。f1=0。5f2，v1=v2

解析 机械波的频率是由波源决定的,机械波的传播速度是由介质决定的，所以f1=f2，对Ⅰ介质,波速v1=λ1f=Lf,对Ⅱ介质,波速v2=λ2f=f,所以v1=2v2. 答案 C

例题11：(08全国Ⅰ16)一列简谐横波沿x轴传播，周期为T。t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2。5 m,xb=5.5 m，则 ( ）
A。当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷
B。t=T/4时,a质点正在向y轴负方向运动
C.t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动
D。在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同
答案 C
解析 a、b两质点的平衡位置间的距离为Δx=xb-xa=5.5 m—2。5 m=3 m,从波的图象可知：λ=4 m,所以Δx= λ。若Δx=（n+）λ且n=0,1,2，3…时两质点的振动反相，故A项错。由x=3 m处的质点在t=0时刻的速度方向可判断出波速方向为-x方向，此时质点a、b的速度方向分别为+y、—y方向，可知B错,C对。若Δx=nλ且n=1，2,3…时两个质点的振动同相，故D错.
16.（09·上海物理·12）弹性绳沿x轴放置,左端位于坐标原点,用手握住绳的左端，当t＝0时使其开始沿y轴做振幅为8cm的简谐振动，在t＝0。25s时，绳上形成如图所示的波形，则该波的波速为___________cm/s,t＝___________时，位于x2＝45cm的质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。
答案:20,2.75
解析：由图可知，这列简谐波的波长为20cm，周期T=0。25s×4=1s，所以该波的波速；从t=0时刻开始到N质点开始振动需要时间，在振动到沿y轴正向通过平衡位置需要再经过,所以当t=（2。25+0.5)s=2.75s，质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。