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插值、拟合与MATLAB编程1

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插值、拟合与MATLAB编程
相关知识
在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时,需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值,寻找这样的函数有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
在MATLAB中，无论是插值还是拟合,都有相应的函数来处理。
一、插 值
1、一维插值：
已知离散点上的数据集，即已知在点集X=上的函数值Y=，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)
该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值.xi可以是一个标量,也可以是一个向量,是向量时，必须单调，method可以下列方法之一：
‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
‘spline'：三次样条函数插值;
‘linear'：线性插值(缺省方式），直接完成计算；
‘cubic'：三次函数插值；
对于［min{xi｝,max｛xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
例1:已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为:75.995， 91。972， 105.711, 123。203, 131.699， 150。697, 179。323, 203.212， 226.505, 249。633， 256.344, 267.893，计算出1995年的产量,用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。
解:程序如下
year=1900:10:2010；
product=[75。995， 91.972, 105.711， 123.203, 131.699, 150。697， 179.323， 203.212， 226.505， 249。633, 256。344， 267.893］
p1995=interp1（year，product,1995）
x=1900：2010；
y=interp1(year,product,x,’cubic’）；
plot（year,product,’o’,x,y);
计算结果为：p1995=252.9885。

2、二维插值
已知离散点上的数据集,即已知在点集上的函数值,构造一个解析函数（其图形为一曲面）通过这些点,并能够求出这些已知点以外的点的函数值，这一过程称为二维插值.
MATLAB函数:Zi=interp2（X,Y，Z，Xi,Yi,method）
该命令用指定的算法找出一个二元函数，然后以给出处的值。返回数据矩阵，Xi,Yi是向量，且必须单调,和meshgrid（Xi，Yi）是同类型的。method可以下列方法之一：
‘nearest'：最近邻点插值,直接完成计算；
‘spline'：三次样条函数插值；
‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算;
‘cubic':三次函数插值；
例2：已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下：
 表：某企业工作人员的月平均工资（元)
服务年限
年份
10
20
30
1950
150。697
169。592
187。652
1960
179。323
195.072
250。287
1970
203.212
239。092
322。767
1980
226.505
273。706
426.730
1990
249。633
370.281
598.243
试计算1975年时,15年工龄的工作人员平均工资。
解:程序如下:
years=1950：10:1990;
service=10：10：30;
wage=［150.697 169.592 187.652
179。323 195.072 250.287
203。212 239.092 322。767
226。505 273。706 426。730
249.633 370。281 598。243］;
mesh（service，years，wage) %绘原始数据图
w=interp2(service，years，wage,15，1975）; ％求点(15，1975）处的值
计算结果为:235。6288
例3：设有数据x=1,2,3，4，5,6，y=1，2,3，4，在由x，y构成的网格上，数据为:
12,10,11,11,13，15
16，22,28，35，27,20
18,21，26，32，28,25
20，25，30,33,32,20
求通过这些点的插值曲面。
解：程序为：x=1:6;
y=1：4;
t=[12，10，11，11，13,15
16，22，28,35，27，20
18,21，26,32，28,25;
20，25,30,33，32，20］
subplot(1，2，1)
mesh（x，y，t)
x1=1:0.1：6;
y1=1:0。1:4;
[x2,y2］=meshgrid(x1，y1）；
t1=interp2(x,y，t，x2，y2,'cubic');
subplot（1,2，2)
mesh(x1,y1,t1）；
结果如右图。

作业：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=0 0.5 1 1。5 2 2.5 3 3。5 4 4.5 5
y=0 0。5 1 1。5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为:
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87

1、 画出原始数据图；
2、 画出加密后的地貌图,并在图中标出原始数据。

程序如下：x=0：0.5：5
y=0:0.5:6
z=［89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87]
subplot（1，2,1)
mesh(x,y，z)
x1=0:0。05：5
y1=0：0。05：6
[xx,yy]=meshgrid(x1,y1)
zz=interp2（x，y,z，xx,yy,’spline'）
subplot(1,2，2）
mesh（xx，yy，zz)
hold on
[x0，y0]=meshgrid（x，y）
plot3(x0，y0，z,’bo')

二、拟合
曲线拟合
已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值,构造一个解析函数(其图形为一曲线)使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程称为曲线拟合.最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数使得最小。
MATLAB函数:p=polyfit（x,y,n)
［p，s]= polyfit(x，y，n)
说明：x，y为数据点，n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。（见下一函数polyval）
多项式曲线求值函数：polyval（ ）
调用格式： y=polyval(p，x)
［y,DELTA］=polyval(p，x，s)
说明：y=polyval（p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
［y，DELTA]=polyval（p,x，s） 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。
例5：求如下给定数据的拟合曲线,x=[0。5,1.0，1。5,2。0，2.5，3。0],
y=［1。75，2.45，3.81，4.80,7.00,8。60].
解:MATLAB程序如下：
x=［0。5，1。0,1。5，2.0，2.5,3。0]；
y=［1。75,2。45，3.81,4.80，7.00，8。60];
p=polyfit（x，y，2）
x1=0.5:0。05:3。0；
y1=polyval(p，x1）；
plot（x，y,'＊r’,x1,y1,'—b’）
计算结果为：
p =0。5614 0。8287 1.1560
此结果表示拟合函数为：
，用此函数拟合数据的效果如图所示.
例2:由离散数据
x
0
.1
。2
.3
。4
.5
。6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
。8
1。5
2
拟合出多项式。
程序：
x=0：。1:1；
y=[.3 。5 1 1.4 1.6 1.9 。6 .4 。8 1.5 2］
n=3；
p=polyfit(x,y，n）
xi=linspace(0，1,100）；
z=polyval（p,xi)； ％多项式求值
plot（x，y，’o’，xi,z,’k：'，x,y，’b’)
legend(‘原始数据’，’3阶曲线')
结果：
p =
16。7832 —25.7459 10.9802 -0。0035
多项式为：16.7832x3—25.7459x2+10.9802x—0.0035
曲线拟合图形:
也可由函数给出数据.
例3：x=1:20,y=x+3＊sin（x）
程序：
x=1：20；
y=x+3＊sin(x）;
p=polyfit(x,y,6）
xi=linspace(1,20,100）；
z=polyval（p,xi); ％¶àÏîʽÇóÖµº¯Êý
plot(x,y,'o'，xi，z,’k:'，x，y,'b'）
结果：
p =
0。0000 —0。0021 0.0505 —0.5971 3。6472 —9。7295 11.3304

再用10阶多项式拟合
程序：x=1:20;
y=x+3*sin(x)；
p=polyfit(x，y，10）
xi=linspace（1,20,100)；
z=polyval(p，xi）；
plot(x,y,'o’，xi,z，’k:’，x,y,’b'）
结果：p =
Columns 1 through 7
0。0000 —0.0000 0.0004 —0.0114 0。1814 -1.8065 11。2360
Columns 8 through 11
-42.0861 88。5907 -92。8155 40。267

可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
作业：
1．已知x=［0.1,0.8，1。3，1。9，2.5,3。1］，y=[1.2，1.6，2。7,2.0,1。3,0。5］，利用其中的部分数据,分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。
2．已知二元函数在点集上的值为,其中，左上角位置表示，右下角位置表示，求该数据集的插值曲面。
3．已知x=[1。2,1.8,2。1,2。4，2。6，3.0，3。3]，y=［4.85，5.2,5.6，6。2，6。5，7.0,7。5]，求对x，y分别进行4，5，6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。
4．学习函数interp3(X，Y,Z，V,X1,Y1，Z1,method)，对MATLAB提供的flow数据实现三维插值.