2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系.ppt
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1、第第2 2章章 各向异性材料的应力各向异性材料的应力-应变关系应变关系 从从宏观力学宏观力学的角度,一般的角度,一般将复合材料看做将复合材料看做均匀均匀的的各向各向异性异性弹性弹性体。在小变形线弹性条件下,各向异性弹性体。在小变形线弹性条件下,各向异性弹性体和体和各向同性各向同性弹性体的弹性体的力平衡微分方程力平衡微分方程和和几何关系几何关系的表达形式的表达形式是相同的,本质的区别在于是相同的,本质的区别在于物理关系物理关系,即应力,即应力-应变关系应变关系不同不同。各向异性的特性决定了各向异性体的应力各向异性的特性决定了各向异性体的应力-应变关应变关系比各向同性体要复杂得多,系比各向同性体要
2、复杂得多,各向同性体实际上是各向异各向同性体实际上是各向异性体的一个特例。本章主要性体的一个特例。本章主要介绍三维各向异性材料的应力介绍三维各向异性材料的应力应变关系。应变关系。一般情况下,一点的应力状态可以用一般情况下,一点的应力状态可以用9 9个个应力张量应力张量分量分量来表示,来表示,1 1,2 2,3 3为参考坐标轴,其变为参考坐标轴,其变形状态形状态也可以用相应的也可以用相应的9 9个个应变张量应变张量分量分量 来表示。其来表示。其应力应力应变关系可表示为应变关系可表示为2.1 2.1 三维各向异性材料的应力三维各向异性材料的应力-应变关系应变关系一、一般各向异性材料的应力一、一般各
3、向异性材料的应力应变关系应变关系 在各向异性体中一点附近取出一个六面体微小单元,单元体各面上的在各向异性体中一点附近取出一个六面体微小单元,单元体各面上的应力代表了这一点的应力状态,如图应力代表了这一点的应力状态,如图2.12.1所示。所示。图图2.1 2.1 各向异性体上各向异性体上 一点的应力状态一点的应力状态式中,式中,为为刚度系数刚度系数;下标用符号表示时,有下标用符号表示时,有一般各向异性材料,包含了一般各向异性材料,包含了8181个弹性常数。个弹性常数。(2.1)(2.1)下标用符号表示时,有下标用符号表示时,有应变应变应力关系为应力关系为:为为柔度系数柔度系数。也包含了。也包含了
4、8181个弹性常数,个弹性常数,但是由于但是由于应力张量应力张量和和应变张量应变张量具有对称性具有对称性,即即 所以,所以,一般各向异性材料一般各向异性材料的弹性常数只有的弹性常数只有3636个。个。(剪应力互等定律)(剪应力互等定律)(2.2)(2.2)(2.3)(2.3)(2.4)(2.4)通常通常弹性力学弹性力学和和材料力学材料力学教材中定义的应变分量并不是教材中定义的应变分量并不是张量应变分量张量应变分量,称为,称为工程应变分量工程应变分量。如果将上述。如果将上述张量应变分量转换为张量应变分量转换为应力分量应力分量改写为:改写为:于是,式于是,式(2.1)(2.1)和式(和式(2.22
5、.2)可以表示为:可以表示为:(2.5)(2.5)(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)和和(2.8)(2.8)下标用符号表示时,有下标用符号表示时,有(2.9)(2.9)式中,式中,和和 表示工程应变分量。表示工程应变分量。工程应变分量:工程应变分量:通过对材料的应变能密度分析,可以证明通过对材料的应变能密度分析,可以证明(2.10)(2.10)即即刚度矩阵刚度矩阵或或柔度矩阵柔度矩阵具有具有对称性。因此,一般各向异性材料中独立的对称性。因此,一般各向异性材料中独立的性常数为性常数为2121个。个。二、二、单对称材料单对称材料的应力的应力-应变关系应变关系 事实上,材料往往具有不同程度的弹
6、性对称性。事实上,材料往往具有不同程度的弹性对称性。单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材料料(即沿两个相反方向,应力应变关系相同)。(即沿两个相反方向,应力应变关系相同)。(2.11)(2.11)s s3 3s s3 3t t1313t t2323 假设图假设图2.22.2中所示中所示1 1O O2 2平面是弹性对称面,沿平面是弹性对称面,沿3 3轴和轴和3 3 轴方向上的应力和应变有以下关系:轴方向上的应力和应变有以下关系:在相差在相差1800 的两套坐标系下,正应力符号相同,而剪应力符号相反。的两套坐标系下,正应力符号相同,而剪应力符
7、号相反。t t2323t t1313 (2.12)(2.12)由式由式(2.12)(2.12)可得可得(2.14)(2.14)将式将式(2.11)(2.11)中的中的(2.15)(2.15)比较式比较式(2.13)(2.13)和式和式(2.15)(2.15),必须有,必须有(2.16(2.16)代入代入(2.14)(2.14)得得(2.7)因此,在因此,在01230123坐标系下的坐标系下的应力应力-应变关系为:应变关系为:在在01230123坐标系下的坐标系下的应力应力-应变关系为:应变关系为:这样由式这样由式(2.7)(2.7)可得可得(2.13)(2.13)同理,可以得到同理,可以得到(
8、2.17)(2.17)这样这样单对称材料的应力单对称材料的应力应变应变关系就可以表示为关系就可以表示为(2.18)(2.18)显然,显然,单对称材料单对称材料的式的式(2.18)(2.18)和一般各向异性材料的式和一般各向异性材料的式(2.7)(2.7)相比,独立的相比,独立的弹性常数由弹性常数由2121个减少到个减少到1313个个。(2.19)(2.19)与式与式(2.18)(2.18)相对应,其相对应,其应变应变-应力应力的关系为的关系为:材料的独立弹性常数材料的独立弹性常数也是也是1313个个为了讨论为了讨论材料弹性对称性的物理意义材料弹性对称性的物理意义,取,取单对称材料单对称材料,仅
9、在,仅在3 33 3 方向加正方向加正应力,即应力,即 ,其他应力分量均为零,得到,其他应力分量均为零,得到(2.20)(2.20)由式由式(2.20)(2.20)可以得到该应力状态下的应变分量,即可以得到该应力状态下的应变分量,即这表明垂直于这表明垂直于弹性对称面弹性对称面的的正应力只引起正应力只引起3 3个方向的正应变和垂直于正应力平面的剪应个方向的正应变和垂直于正应力平面的剪应变变。因此,。因此,材料的弹性对称性的存在,可以材料的弹性对称性的存在,可以降低正应力和剪应变或是剪应力与正应变的降低正应力和剪应变或是剪应力与正应变的耦合程度,降低材料的各向异性。耦合程度,降低材料的各向异性。(
10、2.21)(2.21)321s3s3具有具有3 3个相互正交的弹性对称面个相互正交的弹性对称面的材料称为的材料称为正交各向异性材料正交各向异性材料。当图。当图2.22.2中的中的1 1O O2 2,1 1O O3 3和和2 2O O3 3平面均为弹性对称面平面均为弹性对称面时,时,按单对称材料的分析方法按单对称材料的分析方法可以得到式可以得到式 于是可得到于是可得到正交各向异性正交各向异性材料应力材料应力-应变关系应变关系:三、正交各向异性材料的应力三、正交各向异性材料的应力-应变关系应变关系因此与单对称材料的因此与单对称材料的1313个独立弹个独立弹性常数相比,性常数相比,正交各向异性材料正
11、交各向异性材料的独立弹性常数只有的独立弹性常数只有9 9个个。中的中的(2.22)(2.22)(2.23)(2.23)应变应变-应力关系式为应力关系式为(2.24)(2.24)由式由式(2.24)(2.24)可知,可知,对于正交各向异性材料,正应力只引起正应变,剪对于正交各向异性材料,正应力只引起正应变,剪应力只引起剪应变应力只引起剪应变,正应力和剪应变或是剪应力与正应变之间没有耦正应力和剪应变或是剪应力与正应变之间没有耦合,这一点是和各向同性材料相同的。合,这一点是和各向同性材料相同的。正交各向异性材料三个相互垂正交各向异性材料三个相互垂直的弹性对称面的法线方向称为该材料的直的弹性对称面的法
12、线方向称为该材料的主方向主方向。独立弹性常数也是9个四、横向各向同性材料的应力四、横向各向同性材料的应力-应变关系应变关系 横向各向同性材料是正交各向异性材料的特例,其三个相互垂直的弹性对横向各向同性材料是正交各向异性材料的特例,其三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同性的。如单向纤维增强复合材料称面中有一个是各向同性的。如单向纤维增强复合材料(见图(见图2.32.3),垂直于),垂直于纤维方向纤维方向(1(1方向方向)的的2 2O O3 3平面是各向同性的。所以,正交各向异性材料应力应变平面是各向同性的。所以,正交各向异性材料应力应变关系式关系式(2.23(2.23)中的刚度系数中的下标中
13、的刚度系数中的下标2 2、3 3交换,系数数值不应改变,交换,系数数值不应改变,即有即有:图图2.3 2.3 单向纤维增强复合材料单向纤维增强复合材料另外,通过进一步的另外,通过进一步的分析,还可以得到:分析,还可以得到:即有即有:因此因此横向各向同性材料横向各向同性材料的的应力应力-应变应变关系为:关系为:独立的弹性常数由独立的弹性常数由9 9个减少到个减少到5 5个个(2.28)(2.28)而而应变应变应力应力关系为:关系为:材料的独立弹性常数材料的独立弹性常数也是也是5 5个个。五、各向同性材料的应力五、各向同性材料的应力应变关系应变关系 具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材料。这
14、种材料对于三个相互具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面的弹性性能完全相同,垂直的弹性对称面的弹性性能完全相同,正交各向异性材料正交各向异性材料应力应变关系式:应力应变关系式:中的刚度系数满足中的刚度系数满足所以,所以,各向同性材料各向同性材料的应力的应力应变关系为:应变关系为:各向同性材料各向同性材料只有只有2 2个个独立独立的弹性常数(的弹性常数(C11,C12)。)。同理,同理,应变应变应力应力关系为关系为(2.31)(2.31)也只有也只有2 2个个独立的弹性常数(独立的弹性常数(S11,S12)。2.2 2.2 正交各向异性材料的正交各向异
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