将军饮马问题-(2).doc

(完整版)将军饮马问题 (2)将军饮马问题问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1。两点之间,线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4。垂线段最短.基本模型1。 已知:如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小解:连接AB交直线l于点P，点P即为所求， PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P，连接AP、BP, 在ABP中，AP+BPAB，即AP+BPAP+BPP为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2. 已知：如图,定点A和定点B在定直线l的同侧要求:在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小（或ABP的周长最小）解:作点A关于直线l的对称点A,连接AB交l于P， 点P即为所求; 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA的中垂线,由中垂线的性质得：PA=PA，要使PA+PB最小，则需PA+PB值最小,从而转化为模型1.3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使PAPB的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由:此时PAPB=AB，在l上任取异于点P的一点P， 连接AP、BP，由三角形的三边关系知PAPBAB， 即PAPBPA-PB4. 已知:如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两 点到l的距离不相等) 要求:在直线l上找一点P，使PA-PB的值最大解：作点B关于直线l的对称点B,连接BA并延长交于点P,点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB的中垂线,由中垂线的性质得：PB=PB,要使PAPB最大，则需 PAPB值最大 ，从而转化为模型3。典型例题1-1如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点,当PC+PD最小时，点P的坐标为_，此时PC+PD的最小值为_.【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为BAO的中位线，OP为 CDD的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式,实质相同)计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小令y=x+4中x=0，则y=4,点B坐标(0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=6，点A的坐标为(6，0）点C、D分别为线段AB、OB的中点，CD为BAO的中位线,CDx轴，且CD=AO=3，点D和点D关于x轴对称,O为DD的中点,D（0,-1）,OP为CDD的中位线，OP=CD=，点P的坐标为（,0）在RtCDD中，CD=5，即PC+PD的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变 化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD的解析 式，再求其与x轴的交点P的坐标。典型例题12如图，在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为（0，1），点B 的坐标为(，2），点P在直线y=x上运动,当PAPB|最 大时点P的坐标为_，|PAPB|的最大值是_。【分析】符合基本模型4的特征,作A关于直线y=x对称点C， 连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y=x的 交点P的坐标；此时PAPB=|PCPB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值。【解答】作A关于直线y=x对称点C,易得C的坐标为（1，0）;连接BC，可得直线BC的方程为y=x，与直线y=x联立解得交点坐标P为（4,4）;此时|PAPB=|PCPB|=BC取得最大值，最大值BC=；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0)， OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短 时,点P的坐标为（）A(0,0） B（1，) C（,) D（，）变式训练12如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O,AC=2， BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的 最小值为_.变式训练13如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）(1）求该抛物线的解析式;(2）在抛物线的对称轴上找一点M，使AMMC的值最大,求出点M的坐标。 拓展模型1. 已知：如图，A为锐角MON外一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q,使 AP+PQ的值最小. 解：过点A作AQON于点Q,AQ与OM相交于点P，此 时，AP+PQ最小； 理由：AP+PQAQ，当且仅当A、P、Q三点共线时， AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当 AQON时，AQ最小.2. 已知：如图，A为锐角MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q,使 AP+PQ的值最小. 解:作点A关于OM的对称点A，过点A作AQON 于点Q，AQ交OM于点P，此时AP+PQ最小； 理由：由轴对称的性质知AP=AP，要使AP+PQ最小， 只需AP+PQ最小，从而转化为拓展模型13. 已知:如图，A为锐角MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使 APQ的周长最小 解:分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求,此时APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线 时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角MON内两个定点；要求:在OM上找一点P，在ON上找一点Q,使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A，作点B关于直线ON的对称点B，连接AB交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的 最小值即为线段AB和AB的长度之和；理由:AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA，将QB转化为QB,当A、P、Q、B四点共线时，PA+PQ+ QB的值最小,即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型 已知：如图，直线mn,A、B分别为m上方和n下方的定 点,（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小. 分析：PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A，使得AA=PQ，连接AB交直线n于点Q，过点Q作PQn，交直线m于点P，线段PQ即为所求,此时AP+PQ+BQ最小。理由：易知四边形QPAA为平行四边形，则QA=PA,当B、Q、A三点共线时,QA+BQ最小,即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6. 已知:如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a (a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边) 要求:确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值,只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向,向右移至A，使AA=PQ=a，连接AB交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为AB+PQ，即AB+a理由：易知四边形APQA为平行四边形，则PA=QA，当A、Q、B三点共线时，QA+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7. 已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧,长度a（a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小,通过作A点关于l的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A，将点A沿着平行于l的方向，向右移至A，使AA=PQ=a，连接AB交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边）,线段PQ即为所求,此时四边形APQB周长的最小值为AB+AB+PQ，即AB+AB+a典型例题21如图,在矩形ABCD中，AB=10，BC=5,若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E,再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度。【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENAB于N，则BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长;AB=10，BC=5,AC=5，等面积法求得AC边上的高为=2，BE=4,易知ABCENB，代入数据解得EN=8即BM+MN的最小值为8【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题22如图，AOB=60，点P是AOB内的定点且OP=，点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是（)A B C6 D3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N，此时PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知OCD是顶角为120的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120，此时PMN周长最小，作OHCD于H，则CH=DH，OCH=30，OH=OC=， CH=OH=，CD=2CH=3即PMN周长的最小值是3；故选：D【小结】根据对称的性质，发现OCD是顶角为120的 等腰三角形,是解题的关键，也是难点.典型例题23如图，已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，A=60,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点,PMx轴于点M点,点E与E关于x轴对称，连接BP、EM(1)请直接写出点A坐标为 ，点B坐标为 ;（2）当BP+PM+ME的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD,BD的长即可解决;（2）符合“搭桥模型的特征；首先证明四边形OPME是平行四边形,可得OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点,结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】(1)在RtADO中，A=60，AD=2，OD=2tan60=2，A（2，2），四边形ABCO是平行四边形，AB=OC=6，DB=62=4，B（4，2)(2)如图，连接OPEF垂直平分线段OD，PMOC，PEO=EOM=PMO=90，四边形OMPE是矩形，PM=OE=，OE=OE，PM=OE,PMOE，四边 形OPME是平行四边形OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，当O、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小，直线OB的解析式为y=x，P（2,）【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移(构造平行四边形)的方法，转化为基本模型。典型例题24如图所示,在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（2，0),O（0，0）,B(0，4)，把AOB绕点O按顺时针方向旋转90，得到COD（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方）,且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,C点的坐标是（0，2)，D点的坐标是(4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 4a2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0 c=4解得a=-b=1,c=4,所求抛物线的解析式为y=；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=的对称轴为x=1,将点A向上平移至A1（2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4,1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-，当x=1时，y=，点E的坐标为（1,),点F的坐标为(1，）【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线；其中，作对称和平移的顺序可互换。变式训练2-1几何模型:条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，即为所求。（不必证明）模型应用:（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，1）和B（2，1）,P为x轴上一动点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是 ，此时PA+PB= （2）如图3，正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 （3)如图4，在菱形ABCD中，AB=10，DAB=60，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是 （4）如图5,在菱形ABCD中，AB=6，B=60，点G是边CD边的中点，点EF分别是AG，AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是 变式训练2-2 如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且 DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点,连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长 的最小值是_.变式训练23如图，已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距 离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B,满足ABl2,且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=变式训练24如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3,过点B作BDBC,交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长;（3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标 中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为(0，3），B点坐标为（6,5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是 第1题 第2题 第3题2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点,当ADE的周长最小时,点E的坐标是（）A（0，）B（0，）C（0，2）D（0，）3.如图,在矩形ABCD中,AB=5，AD=3,动点P满足SPAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（)ABC5D4。已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等,如图，点M的坐标为（，3)，P是抛物线y=x2+1上一个动点,则PMF周长的最小值是（）A3B4C5D6 第4题 第5题5.如图，点A（a，3),B（b，1)都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为()ABC D6.如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（)ABC5D 第6题 第7题 第8题7。如图，RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为8。如图，等腰ABC的底边BC=20，面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CDF周长的最小值为9。如图，菱形ABCD的边长为6，ABC=120，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时,PM的长是（）ABCD第9题 第10题 第11题 10.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8,AD平分CAB交BC于D点，E，F分别是AD,AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）ABCD611.如图,在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M，N 两点OMN的面积为10若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是(）A6B10C2D212.如图，ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到ABD,则四边形ADBC的形状 是 形,P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是 13。如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点,连接AC、BC，已知A(0，3）,C(3，0)（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MBMD的值最大，并求出这个最大值;（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQPA交y轴于点Q,问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 14.如图,在四边形ABCD中，B=C=90,ABCD，AD=AB+CD(1）用尺规作ADC的平分线DE,交BC于点E，连接AE(保留作图痕迹，不写作法)；（2）在（1)的条件下，证明：AEDE；若CD=2,AB=4,点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值15.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0）经过点A（1,0），B(3，0）,C（0，3）三点（1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBC=SABC时，求N点的坐标;（3）在（2）问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P（m,3)在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上,连接PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN和的最小值 16。如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B(1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E,使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标 17。如图1，已知抛物线y=(x2）（x+a）（a0)与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C（1）若抛物线过点T（1,），求抛物线的解析式;(2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由（3）如图2,在（1）的条件下，点P的坐标为(1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标18。如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1,0），C（0，5)两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1)，E(a,0），F(a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点（1)求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3)若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2,y2)，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y= （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用:（2）已知点M（2，1），N（3，5），则线段MN长度为；直接写出以点A(2，2），B（2，0），C（3,1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：;拓展：（3)如图3，点P(2，n）在函数y=x（x0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值20.如图，直线y=kx+b(k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，3），抛物线y=x2+2x+1与y轴交于点C（1）求直线y=kx+b的函数解析式；(2）若点P（x，y）是抛物线y=x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值21。如图，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BCOA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上(1)求这条抛物线的解析式；（2）在图中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t,使得PQAB，若存在，求出t的值,若不存在,请说明理由；（3)在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值