勾股定理知识点、经典例题.doc
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1、知识点及例题知识点一:勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知识点二:用面积证明勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。方法三:将四个全等的直角
2、三角形分别拼成如图(3)1和(3)2所示的两个形状相同的正方形。 在(3)1中,甲的面积=(大正方形面积)(4个直角三角形面积), 在(3)2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。知识点三:勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边;2已知直角三角形的一条边,求另两边的关系;3用于证明平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为的线段。2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,
3、z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的:3、4、55、12、13;8、15、17;7、24、25;10、24、26;9、40、41如果(a,b,c)是勾股数,当t0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法1、在RtABC中,C=90(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。解析:(1) 在ABC中,C=90,a=6,c=10,b=(2) 在ABC中,C=
4、90,a=40,b=9,c=(3) 在ABC中,C=90,c=25,b=15,a=总结升华:有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】ACD=90AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16AB= 4AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用2、如图,
5、已知:在中,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因,(的两个锐角互余)(在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中,. 根据勾股定理,在中,. . 总结升华:利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图,已知:,于P. 求证:. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三
6、角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析:连结BM,根据勾股定理,在中,. 而在中,则根据勾股定理有. 又 (已知),. 在中,根据勾股定理有,. 【变式2】已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析:延长AD、BC交于E。A=60,B=90,E=30。AE=2AB=8,CE=2CD=4,BE2=AE2-
7、AB2=82-42=48,BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三:勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。思路点拨:把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。解析:(1)过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已
8、知可得:BC=500m,AB= 由勾股定理可得: 所以(2)在RtABC中, BC=500m,AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向总结升华:本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD, 与地面交于H解:OC1米(大门宽度
9、一半),OD0.8米(卡车宽度一半)在RtOCD中,由勾股定理得:CD.米,C.(米).(米)因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门(二)用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论 解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为AB+BC
10、+CD3,AB+BC+CD3图(3)中,在RtABC中同理图(3)中的路线长为图(4)中,延长EF交BC于H,则FHBC,BHCH由FBH及勾股定理得:EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线总结升华:在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程解:如图
11、,在Rt中,底面周长的一半cm,根据勾股定理得(提问:勾股定理) AC (cm)(勾股定理)答:最短路程约为cm类型四:利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角ACB,使AB为斜边;(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为;(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、的长度就是 、。总结升华:(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的;(2)取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等
12、,我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析:可以把看作是直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作ACOA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。类型五:逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题:猫有四只脚(正确)2原命题:对顶角相等(正确)3原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等(正确)4原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等(正确)思路点拨:掌握原命题与逆命
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