万有引力-拓展专项-答案.doc

(完整版)万有引力 拓展专项 答案

一、单项选择（注释）

1、宇宙空间有一些星系与其它星体的距离非常遥远，可以忽 略其它星系对它们的作用．如图所示，今有四颗星体组成一稳定星 系,在万有引力作用下运行，其中三颗星体 A、 B、 C 位于边长为a 的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四 颗星体 D 位于三角形外接圆圆心,四颗星体的质量均为 m,万有 引力常量为 G，则下列说法正确的是（ ）

A．星体 A 受到的向心力为
B．星体 A 受到的向心力为
C．星体 B 运行的周期为
D．星体 B 运行的周期为

【答案】A
【解析】
试题分析：每颗星做匀速圆周运动，靠另外三颗星万有引力的合力提供向心力，故：Fn=FABcos30°+FAD+FACcos30°== ①,故A正确,B错误;万有引力提供向心力，故： ②；联立①②解得：,故C D错误；故选A．
考点：万有引力定律的应用；圆周运动
【名师点睛】此题是万有引力定律的应用及圆周运动问题；解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式,才能正确解答题目。
2、如图甲所示,地球半径为R，a是地球赤道上的一栋建筑,b是与地心的距离为nR的地球同步卫星,c是在赤道平面内作匀速圆周运动．与地心距离为nR的卫星，b、c运行方向和地球自转方向相同（图甲中均为逆时针方向)．某一时刻b、c刚好位于a的正上方，则经过60h，a、b、c的相对位置是图乙中的(　　）

A． B． C． D．

【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查同步卫星，近地卫星及赤道上的物体间的追赶问题．
对于不同轨道上的追赶问题，我们要从不同卫星的角速度或周期关系出发去解决问题
【解答】解：由于a物体和同步卫星b的周期都为24h．所以60h后运动两圈半,且b始终在a的正上方,故BD错误；
根据开普勒第三定律：
代入数据：
解得：
经过60h,c运动5圈回到原位置，故A正确，C错误；
故选：A
【点评】利用题目提供的物理量找出不同卫星的角速度或周期关系,根据圆周运动知识求出转过的圈数

3、理想状态的“日地——拉格朗日点"是只在太阳和地球对人造卫星引力作用下（忽略其它星体引力）,使人造卫星围绕太阳运行的周期与地球围绕太阳运行的周期相同的 点．其中两个“日地——拉格朗日点”L1、L2在日地连线上，L1在地球轨道内侧，L2在地球轨道外侧,如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．人造卫星在L1处线速度大于地球的线速度
B．人造卫星在L1处角速度大于地球的角速度
C．人造卫星在上L1处加速度小于地球的加速度
D．同一人造卫星在L1处所受万有引力大于在L2处所受万有引力

【答案】C
【解析】A、两个“日地——拉格朗日点”的角速度与地球公转的角速度相等,根据v=rω知，人造卫星在L1处的轨道半径小于地球的公转半径，则人造卫星在L1处线速度小于地球的线速度，故A错误，B错误．
C、两个“日地——拉格朗日点"的角速度与地球公转的角速度相等，根据a=rω2知,人造卫星在L1处的轨道半径小于地球的公转半径,则人造卫星在上L1处加速度小于地球的加速度，故C正确．
D、人造卫星靠地球和太阳引力的合力提供向心力，根据F=mrω2知，两个“日地—-拉格朗日点”的角速度相等,在L1处的轨道半径小，则同一人造卫星在L1处所受万有引力小于在L2处所受万有引力,故D错误．
故选：C．
4、地球和月球连线上有一个拉格朗日点L1，任意位于该点的小物体在地球和月球引力的共同作用下,都可以刚好保持与地球和月球的相对位置不变，从而和月球一起以相同的周期绕地球运动,如图所示。有人想利用拉格朗日点L1的特性，在该点设一探月中转站，若以a1、a2、a3分别表示该中转站、月球和地球同步卫星绕地运转的向心加速度大小，则（ )
A．a2＞a3＞a1
B．a2＞a1＞a3
C．a3＞a1＞a2
D．a3＞a2＞a1

【答案】D
【解析】在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，
根据向心加速度an= ，
由于拉格朗日点L1的轨道半径小于月球轨道半径,所以a2＞a1，
同步卫星离地高度约为36000公里，故同步卫星离地距离小于拉格朗日点L1的轨道半径，
根据a= 得a3＞a2＞a1，
故选:D．
5、“夸父”计划是我国继“嫦娥”计划之后于2003年提出的又一重大空间计划,目前理论论证早已通过,已处于筹备实施阶段.“夸父”计划原理简化如右图所示，它由三颗卫星组成：始终处于日地连线上的A卫星，常年累月地远距离观测地球；位于同一个极地轨道并始终关于地心对称的两颗卫星B1和B2，近距离观测地球不间断.这三颗卫星构成对地球观测的立体网络，实时观测和预报地球磁层变化及太阳活动对地球的影响.关于这个计划，下列说法错误的是（ ）

A。A星的向心力由地球和太阳对它引力的合力提供。
B。地球上A星的发射速度不会超过第二宇宙速度.
C.B1和B2两颗卫星在稀薄气体阻力作用下动能会增大轨道会降低。
D。如果B1和B2的周期是6小时，则它们每天经过赤道共16次，对南、北极可各观测8次。
【答案】B
【解析】本题考查万有引力定律
A星绕太阳做圆周运动，A星的向心力由地球和太阳对它引力的合力提供；
第二宇宙速度是物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度,地球上A星的发射速度会超过第二宇宙速度;
B1和B2两颗卫星在稀薄气体阻力作用下速度减小,轨道半径减小，卫星轨道降低，势能转化为动能，动能会增大;
如果B1和B2的周期是6小时，一周经过两次赤道，每颗卫星一天经过8次赤道，则它们每天经过赤道共16次，对南、北极可各观测8次；
故选项B正确
二、多项选择（注释）

6、我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通讯，如图为“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星的张角分别为和（图中未标出），卫星a的轨道半径是b的4倍，已知卫星绕地球同向运行，卫星a的周期为T,在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通讯的盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略，下列分析正确的是（ )

A．卫星的速度之比为
B．卫星b的周期为
C．卫星b每次在盲区运行的时间
D．卫星b每次在盲区运行的时间

【答案】BC
【解析】
试题分析：根据，则，由于卫星a的轨道半径是b的4倍，故二者线速度之比为，故选项A错误；由，可得，可得．则得卫星b星的周期为，故B错误；如图，A、B是卫星盲区两个边缘位置，由几何知识可得，则,解得，b每次在盲区运行的时间为，故C正确，D错误。

考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；万有引力定律及其应用
【名师点睛】根据几何关系求解张角和满足的关系，由万有引力提供向心力，列式求解卫星b的周期，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，由几何关系得到卫星b在盲区有两个边缘相对于地球的张角，再求解在盲区运行的时间；本题既要掌握卫星问题的基本思路：万有引力提供向心力，更重要的是画出示意图，运用几何知识解答
7、嫦娥一号是我国研制的首颗绕月人造卫星,设嫦娥一号贴着月球表面做匀速圆周运动，经过时间t (t小于嫦娥一号的绕行周期），嫦娥一号运动的弧长为s，嫦娥一号与月球中心的连线扫过角度为θ(θ为弧度制表示），引力常量为G，则下面描述错误的是( )
A．航天器的轨道半径为
B．航天器的环绕周期为
C．月球的质量为
D．月球的密度为

【答案】CD
【解析】A、在t时间内穿过的弧长为s，转过的角度为θ，根据s=rθ知,航天器的轨道半径r= ,故A正确．

8、宇宙中存在一些智力相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用,如图，设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R,四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G，关于四星系统（忽略星体自转的影响），下列说法正确的是（ )

A．四颗星的向心加速度的大小为
B．四颗星运行的线速度大小是
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为
【答案】 BC

【解析】

9、某月球探测器每天在月球表面上空绕月球圆周运动数周．若以T表示探测器在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则（　　）

A．
探测器运行时的向心加速度为

B．
月球表面的重力加速度为

C．
探测器运行时的向心加速度为

D．
月球表面的重力加速度为

【答案】CD
【解析】
考点： 万有引力定律及其应用． 。
专题： 万有引力定律的应用专题．
分析： 根据圆周运动公式a=r( ）2求向心加速度．根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求月球表面重力加速度
解答： 解：A、向心加速度a=r（ ）2，其中r为匀速圆周运动的轨道半径．
所以探测器运行时的向心加速度为，故A错误，C正确．
B、根据万有引力提供向心力得=,r=R+h
万有引力等于重力得：G=mg
得：月球表面的重力加速度g=故B错误，D正确
故选：CD．
点评: 万有引力与航天类的题目把握两点：（1）物体在星球上或在星球附近利用万有引力等于重力求解；（2)物体围绕星球做圆周运动，利用万有引力提供向心力求解．

10、北京时间2013年12月2日凌晨1时30分，我国自行研制的常娥三号月球探测器在西昌卫星发射中心发射升空,并已于14日21时11分成功实施软着陆，这标志着我国成为世界第三个实现地外天体软着陆的国家，图示是常娥三号飞行的轨道示意图，变轨过程是先从地月转移轨道经过修正进入环月圆轨道,然后再通过近月制动进入环月椭圆轨道，则以下说法正确的是 ( )

A．常娥三号从地月转移轨道修正进入环月圆轨道过程中机械能守恒
B．常娥三号在环月圆轨道和环月椭圆轨道上运行时，在切点P处的加速度a相同
C．常娥三号在环月圆轨道上运行的周期比在环月椭圆轨道运行的周期大
D．常娥三号近月制动完毕关闭发动机后，向近月点运行的过程中,势能减少,动能增加，机械能增加

【答案】BC
【解析】【知识点】人造卫星的加速度、周期和轨道的关系;万有引力定律及其应用．
【答案解析】 BC 解析： A、嫦娥三号从地月转移轨道进入环月圆轨道的过程中需要近月制动，此过程中发动机使嫦娥三号减速让月球引力“捕捉”到嫦娥三号，故此过程中嫦娥三号的机械能不守恒，故A错误；B、在切点P处都是由万有引力使嫦娥三号产生加速度，因为同一位置P引力相同，不管在哪个轨道上卫星的加速度相同,故B正确;C、根据开普勒第三定律＝k，知嫦娥三号在环月轨道上的半长轴比椭圆轨道上的半长轴大，故其周期来得大，C正确；D、嫦娥三号近月制动后关闭发动机，向近月点运行过程中，嫦娥三号仅受月球引力作用,由于高度降低引力做正功，势能减小，动能增加,而总的机械能保持不变．故D错误．故选:BC．
【思路点拨】 嫦娥三号从地月转移轨道修正至进入环月圆轨道的过程中有近月制动过程，此过程中发动机对卫星做负功，卫星的机械能减小，在不同轨道上的P点卫星的加速度都由万有引力产生，在同一位置万有引力大小相同产生的加速度大小相同,根据开普勒行星运动定律根据半长轴关系求解周期关系,关闭发动机后向近月点运动过程中，只有月球重力做功，势能减小动能增加,而总的机械能保持不变．熟悉卫星变轨原理,并能由此判定此过程中卫星机械能的变化关系，知道卫星轨道与周期的关系是解决本题的关键．

四、计算题（注释）

11、在有“科学界奥斯卡”之称的美国《科学》杂志2003年度世界科技大突破评选中，物理学中的“证明宇宙是由暗物质和暗能量‘主宰’”的观点名列榜首，成为当今科技突破中的头号热点．世界科技的发展显示,暗物质、暗能量正成为天体物理学研究的重点．宇宙中的暗物质是不能直接观测到的东西,存在的依据来自子螺旋转的星系和星团，这些星系和星团以自身为中心高速旋转而没有飞散开去，仅靠自身质量产生的引力是远不足以把它们集合在一起的，一定存在暗物质,它的吸引力足以把这些旋转的星系牢牢抓住．根据对某一双星系统的光学测量确定该双星系统中每一个星体的质量都是M,两者相距L(L远大于星体的直径），它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
（1）若没有其他物质存在,试推算该双星系统的运动周期T．
（2）若实验上观测到的运动周期为T′，且T′:T=1：（N＞1），为了解释观测周期T′和(1）中理论上推算的双星运动的周期T不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜也观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．
【答案】（1）该双星系统的运动周期T为πL；
(2）该星系间这种暗物质的密度为．

【解析】【考点】万有引力定律及其应用
【分析】（1）双星系统围绕两者连线的中点做圆周运动，相互间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期T；
(2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，双星系统就由相互间的万有引力的暗物质的引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出暗物质的质量,再求解其密度．
【解答】解:（1)双星均绕它们的连线中点做圆周运动,设运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有：
解得周期为：T=πL
(2）根据观测结果，星体运动的周期T′＜T，说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它还受到其他指向中心的作用力．由题意知，这一作用力来源于均匀分布的暗物质．均匀分布在球内的暗物质对双星系统的作用与一个质量等于球内暗物质的总质量M′而位于中点处的质点相同，考虑到暗物质作用后双星的运动周期即为T′，则有：
，
由题设条件可知：T′:T=1:
联立解得:M′=M
设所求暗物质的密度为ρ,有：
ρ？π?=M
解得：
答:（1）该双星系统的运动周期T为πL；
（2）该星系间这种暗物质的密度为．
【点评】对于双星问题和暗物质问题，关键都要建立模型,确定向心力的来源．若双星圆周运动的圆心不在连线的中点，要采用隔离法研究．

12、2016年1月5日上午，国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的嫦娥三号探测器着陆点周边区域命名为“广寒宫”，附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天市”、“太微”．此次成功命名，是以中国元素命名的月球地理实体达到22个．已知地球半径为R，表面重力加速度为g,质量为m的嫦娥三号卫星在地球上空的万有引力势能为EP=﹣(以无穷远处引力势能为零）,r表示物体到地心的距离．求:
(1）质量为m的嫦娥三号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，求此时卫星距地球地面高度h1？
(2）要使嫦娥三号卫星上升，从离地高度h1(此问可以认为h1为已知量)再增加h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做的功W为多少？

【答案】(1）此时卫星距地球地面高度为．
（2)卫星发动机至少要做的功W为
【解析】【考点】万有引力定律及其应用
【分析】（1）由万有引力提供向心力结合黄金代换可求的高度．
(2）由所给的引力势能的表达式写出两个状态下的势能，由万有引力提供向心力求出速度，确定出动能，由功能关系确定做功量．
【解答】解：（1）设地球质量为M，万有引力恒量为G，卫星距地面高度h1时速度为v
对卫星有：，
对地面上物体有：，
解以上两式得：．
（2）卫星在距地面高度h1的轨道做匀速圆周运动有:
,
此时卫星的动能为：
万有引力势能为：,
则卫星在距地面高度h1时的总机械能为：
同理，卫星在距地面高度h1+h时的总机械能为:
由功能关系,卫星发动机至少要做功为：
故答案为:（1)此时卫星距地球地面高度为．
（2）卫星发动机至少要做的功W为．
【点评】（1）考查万有引力提供向心力所决定的速度，周期的表达式，结合黄金代换解题．（2）明确功能关系，准确写出各位置的能量是解题的关键．

13、我国于2008年9月25日成功发射了围绕地球做圆周运动的“神州7号”载人飞船,宇航员翟志刚顺利进行了太空出舱活动．
（1）已知飞船质量为m，点火后，火箭竖直匀加速升空，T秒末，火箭上升的高度为H处，求火箭匀加速升空的过程中，座椅对宇航员的支持力约为其重力的多少倍？
（2)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g．假设“神州7号”载人飞船上的宇航员离开飞船后身上的速度计显示其对地心的速度为v，宇航员及其设备的总质量为M,求该宇航员距离地球表面的高度．
（3）已知宇航员及其设备的总质量为M,宇航员通过向后喷出氧气而获得反冲力，每秒钟喷出的氧气质量为m．为了简化问题，设喷射时对气体做功的功率恒为P且喷出气体的速度远远大于飞船的速度,在不长的时间t内宇航员及其设备的质量变化很小，可以忽略不计．求喷气t秒后宇航员获得的动能．
【答案】（1）座椅对宇航员的支持力约为其重力的倍
（2）该宇航员距离地球表面的高度．
（3)喷气t秒后宇航员获得的动能

【解析】【考点】万有引力定律及其应用;动能定理
【分析】（1）根据牛顿第二定律和运动学公式求解
（2）根据万有引力提供向心力和重力等于万有引力联立求解
（3）根据动能定理和动量守恒定律联立求解
【解答】解：（1）点火后火箭竖直匀加速升空，由得加速度．设座椅对宇航员的支持力约为其重力的n倍，
对宇航员由牛顿第二定律得nmg﹣mg=ma
解得：
(2)设地球质量为，在地球表面，对于质量为m的物体有，
离开飞船后的宇航员绕地球做匀速圆周运动，有
联立解得：
该宇航员距离地球表面的高度
（3)因为喷射时对气体做功的功率恒为P，而单位时间内喷气质量为m，故在t时间内，据动能定理

可求得喷出气体的速度为:，
另一方面探测器喷气过程中系统动量守恒，则:0=mt？v﹣Mu
又宇航员获得的动能，
联立解得：
答:(1）座椅对宇航员的支持力约为其重力的倍
（2）该宇航员距离地球表面的高度．
(3）喷气t秒后宇航员获得的动能
【点评】本题考查了天体运动和动能定理的知识，处理这类题目的主题思路是万有引力提供天体圆周运动所需要的向心力，根据需要选择合适的向心力公式．

14、随着科技的迅速发展,将来的某一填，同学们也许会在火星上享受荡秋千的乐趣．已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，地球表面重力加速度是g，可将人视为质点，秋千质量不计，摆长不变，摆角小于90°，忽略星体自转的影响，则
（1）该星球表面附近的重力加速度g火等于多少？
(2）若某同学荡秋千经过最低位置的速度为v0,其能上升的最大高度是多少？

【答案】（1）该星球表面附近的重力加速度g火等于g；
（2）若某同学荡秋千经过最低位置的速度为v0，其能上升的最大高度是．

【解析】【考点】万有引力定律及其应用．
【分析】(1）根据在星球地面附近重力近似等于万有引力求解星球表面的重力加速度；
（2)根据机械能守恒定律求上升的最大高度．
【解答】解：（1）设人的质量为m，地球半径为R，质量为M，火星半径R火，质量M火
星球表面附近的重力等于万有引力，则有=mg①
=mg火②
联立并代入已知量解得g火=g ③
(2)设人能上升的最大高度为h，由功能关系得mg火h=mv02 ④
联立③④解得h=
答：（1）该星球表面附近的重力加速度g火等于g；
(2）若某同学荡秋千经过最低位置的速度为v0,其能上升的最大高度是．

15、如图所示，“神舟”十号宇宙飞船控制中心的大屏幕上出现的一幅卫星运行轨迹图，它记录了飞船在地球表面垂直投影的位置变化；图中表示在一段时间内飞船绕地球圆周飞行四圈,依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①、②、③、④，图中分别标出了各地点的经纬度（如：在轨迹①通过赤道时的经度为西经157。5°,绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时经度为180°…），若地球质量为M，地球半径为R,万有引力恒量为G．请完成以下问题：

①飞船轨道平面与赤道平面的夹角为　 　；
②飞船绕地球运行的周期（写出分析原因及计算过程）
③飞船运行轨道距地球表面的高度(写出计算过程)．

【答案】①飞船轨道平面与赤道平面的夹角为42.4°．
②飞船绕地球运行的周期为1。5h．
③飞船运行轨道距地球表面的高度为3。43×105 m．

【解析】【考点】万有引力定律及其应用
【分析】(1）在轨迹①通过赤道时的经度为西经157。5°，绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时经度为l80°,即“神舟十号”转一圈，地球自转转过22.5°,可求出“神舟六号”与地球自转周期的关系，从而可求出“神舟十号”的周期．
（2）根据万有引力提供向心力，通过周期关系，得出轨道半径关系，从而求出“神舟十号”离地面的高度．
【解答】解：①从图中可知卫星轨道平面与赤道平面的夹角为42.4°．
②飞船每运行一周，地球自转角度为180°﹣157。5°=22。5°
则神舟飞船运行的周期T为×24×3600S=5400S=1.5h．
③由万有引力提供向心力，即
在地球表面处
可求得飞船的轨道半径：=
则轨道高度﹣R=3.43×105 m
答：①飞船轨道平面与赤道平面的夹角为42。4°．
②飞船绕地球运行的周期为1。5h．
③飞船运行轨道距地球表面的高度为3。43×105 m．
【点评】解决本题的关键通过“神舟十号"转一圈,地球转过的角度，得出他们的周期关系,通过万有引力提供向心力，得出轨道半径关系．

16、质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（R为月球半径）的圆周运动．当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接．已知月球表面的重力加速度为g月．科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．试求：
(1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道长轴为8R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？

【答案】（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是6π
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是4π（4n﹣）（其中,n=1、2、3、…）

【解析】【考点】人造卫星的加速度、周期和轨道的关系；万有引力定律及其应用
【分析】（1）登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行，根据万有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力列出等式求解
（2）对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律列出等式,为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，根据周期关系列出等式求解
【解答】解:（1）设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有:
G=m（)3R…①
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力,即：
G=mg月…②
联立①②解得：T=6π…③
(2）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2．对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有:
…④
…⑤
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：
t=nT2﹣T1 （其中，n=1、2、3、…）…⑥
联立③④⑤⑥得：t=4π（4n﹣）（其中，n=1、2、3、…)
答：（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是6π
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是4π（4n﹣）（其中，n=1、2、3、…）
【点评】该题考查了万有引力定律及圆周运动相关公式的直接应用，对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律，属于中档题

17、宇航员登上某一星球并在该星球表面做实验．用一根不可伸缩的轻绳跨过轻质定滑轮，一端拴一吊椅,另一端被坐在吊椅上的宇航员拉住，如图所示．宇航员的质量m1=65kg，吊椅的质量m2=15kg,当宇航员与吊椅以加速度a=1m/s2匀加速上升时，宇航员对吊椅的压力为175N．（忽略定滑轮摩擦）
（1）求该星球表面的重力加速度g0；
（2）若该星球的半径为R0=6×106m，地球半径为R=6.4×106m,地球表面的重力加速度为g=10m/s2，求该星球的平均密度与地球的平均密度之比．

【答案】(1）求该星球表面的重力加速度为6m/s2;
（2）该星球的平均密度与地球的平均密度之比为

【解析】【考点】万有引力定律及其应用;牛顿第二定律．
【分析】(1）对整体以及隔离对宇航员受力分析，根据牛顿第二定律求出重力加速度的大小．
（2)根据密度公式以及万有引力等于重力这一理论,求出星球的平均密度和地球的平均密度之比．
【解答】解：(1）设宇航员受到绳向上的拉力为F，由于跨过定滑轮的两段绳子拉力相等,吊椅受到绳的拉力也是F，对他和吊椅整体进行受力分析如图所示，则有：
2F﹣（m1+m2）g=（m1+m2）a
设吊椅对宇航员的支持力为FN，压力为FN′，根据牛顿第三定律得：FN=FN′．
对宇航员，由牛顿第二定律得，F+FN﹣m1g=m1a
代入数据解得：g=6m/s2．
（2）由星球密度和得：
该星球的平均密度与地球的平均密度之比=
代入数值解得： =
18、我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化．卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M和m,地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)．
【答案】在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间为得t=

【解析】【考点】万有引力定律及其应用
【分析】根据题意画出地球和月球的平面示意图,作出地月球面的公切线,找出卫星运动时发出的信号被遮挡所在的圆弧．
根据万有引力定律求出探月卫星绕月球转动的周期．
由几何关系求出发出的信号被遮挡所在的圆弧所对应的圆心角,再结合周期求出信号被遮挡的时间．
【解答】解：
如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点．根据对称性,过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在BE弧运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
G=mr
G=m0r1
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期．
得　　　
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，
令∠CO′A=α，∠CO′B=β；则
由几何关系得rcosα=R﹣R1　
r1cosβ=R1　　
得 t=　　
答:在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间为得t=

19、2014年3月8日马航客机MH370失联，多国卫星在搜寻中发挥了重要作用．如图所示为某两颗搜寻卫星的运行示意图,A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内,离地面高度为h，己知地球半径为R，地球自转周期为T．地球表面的重力加速度为q，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行角速度ω;
（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）,则至少经过多长时间,它们再一次相距最近？

【答案】（1）卫星B的运行角速度ω为;
（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）,则至少经过时间，它们再一次相距最近．

【解析】【考点】万有引力定律及其应用；向心力．
【分析】研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出角速度．卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于2π时，卫星再一次相距最近．
【解答】解：（1）由万有引力定律和向心力公式得：

地球表面物体重力等于万有引力
，
联立解得
（2）由，又由题意得
联立解得：
答：(1)卫星B的运行角速度ω为；
（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）,则至少经过时间，它们再一次相距最近．

20、我国火星探测器计划于2020年前后由长征五号运载火箭在海南发射场发射人轨，直接送入地火转移轨道。假设探测器到了火星附近,贴近火星表面做匀速圆周运动,现测出探测器运动的周期为T以及运行速率为v，不计周围其他天体的影响,万有引力常量为G。
（1)求火星的质量;
（2)设某星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r处具有的引力势能公式为（取物体离该星球无穷远处势能为零）。若一颗质量为m'的卫星绕火星做半径为r1的匀速圆周运动，后来因为需要卫星的轨道半径变为r2，且r1：r2 =1：2,求该卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比.

【答案】(1) (2)
【解析】（1)由T＝
可得火星半径约R＝
由＝m
可得火星的质量M＝
(2）由
可得动能为：
引力势能：EP=﹣
故物体的机械能为：
可见：
故卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比:
21、已知地球半径为R,地面的重力加速度为g．假设近地卫星I离地面的高度可以忽略，圆轨道卫星II离地面的高度为3R,求：
(1)卫星I和II的运行速度之比；
（2）已知两卫星绕地运行的轨道平面重合且绕行方向相同，某时刻两卫星的间距最近,以该时刻为计时起点，求：哪些时刻两卫星间的距离会最远?

【答案】（1) 1∶2 (2） （2n＋1)（n＝0，1，2，……)
【解析】（1)由万有引力提供向心力有：
可得线速度　　，所以v1∶v2＝（r2∶r1）-1/2＝1∶2——--————-—(4分）
（2）（12分)设卫星I的角速度为ω1、在卫星II的角速度为ω2,
由mg＝mω12R得:ω1＝ --——-—-———-—-——-(4分）
由G＝mω12R得：ω2＝ω1＝ ----—---—-———---(4分)
设t时刻两卫星相距最远，则有：ω1t－ω2t＝(2n＋1）？(n＝0，1，2，……)
所以t＝（2n＋1）（n＝0，1，2，……） ————-—---——--—--（4分）
答：(1）卫星I、II的速度之比为1∶2.
（2）t＝（2n＋1）（n＝0，1，2，……）时卫星间的距离都会最远
22、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.（取地球表面重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1:4，求该星球与地球质量之比和两星球第一宇宙速度之比.

【答案】（1）该星球表面附近的重力加速度g′为2m/s2；
（2)该星球与地球质量之比为1：80,两星球第一宇宙速度之比为1：2。
【解析】考点： 万有引力定律及其应用；向心力.
专题: 万有引力定律的应用专题。
分析: （1）运用运动学公式求出时间t与初速度之间的关系，求出地球表面重力加速度g与星球表面附近的重力加速度g′间的关系.
(1)根据万有引力等于重力表示出质量，求出星球的质量与地球质量之比。再根据万有引力等于向心力列式，即可求解.
解答： 解:（1）小球竖直上抛运动的时间：
在地球上有：，星球上有：
得：
（2）根据，
解得：
又 由有：
可得
答:（1）该星球表面附近的重力加速度g′为2m/s2;
(2）该星球与地球质量之比为1：80，两星球第一宇宙速度之比为1：2.
点评: 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量。求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来,再根据表达式进行比较.
23、如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球的半径为R．不考虑其它可能存在的阻力．求该星球上的第一宇宙速度．

【答案】该星球上的第一宇宙速度为．
【解析】
考点： 平抛运动．.
专题： 平抛运动专题．
分析： 根据小球的平抛运动求出星球表面的重力加速度．星球的第一宇宙速度即为近地轨道圆周运动的线速度，根据重力与万有引力相等知，近地轨道运动重力提供圆周运动向心力求解即可．
解答： 解：小球做平抛运动则：
水平方向有：x=ν0t﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
竖直方向有:﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由几何关系得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
联立得:﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④
设星球的质量M，近地卫星的质量 m，近地卫星的速度即为第一宇宙速度,设为v,则：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤
在星球表面上一质量为m0的物体有：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑥
联立④⑤⑥得:
答：该星球上的第一宇宙速度为．
点评： 本题关键是抓住能从斜面上平抛落到斜面上得到平抛物体位移的关系，这是正确解题的关键，知道第一宇宙速度是近地卫星的运行速率，由重力提供圆周运动向心力．

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