二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础).doc

(完整版)二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础）

【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

要点诠释:
(1)公式成立的条件是：在公式中,角可以为任意角，但公式中,只有当及时才成立；
（2)倍角公式不仅限于是的二倍形式,其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的。要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键。 如：；
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时,就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式:
升幂公式:
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用"，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向,准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用,尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）;(2）；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】(1）（2）（3)
【解析】 （1）．
（2)．
（3）．
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近,然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
(2）原式=；
（3）原式=．
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．
方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式,利用进行化简．
【答案】
【解析】方法一：
．
∴
方法二：原式
．
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式,使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余(补)的关系,从而使最终的结果为实数．利用上述思想,我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若,则．
举一反三:
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式

．
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
(1）
【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角,再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角,利用平方差公式进行化简．
【答案】(1）（2）
【解析】（1）
(2)

【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式:．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．
例4．化简：．
【解析】 原式

．
【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．

举一反三：
【变式1】(1）的化简结果是 ．

(2）已知,且α∈( ，π)，则 的值为 ．
【答案】(1）（2)
【解析】
(1）原式=
=
=
=
（2）因为,且α∈( ,π)，所以，原式=．
类型四:二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．求值：
（1)已知，求．
(2)已知，求．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】（1）（2)
【解析】
（1)
=
=
=
（2）=
=
=
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系,考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
【变式1】 已知，且，求，，的值．
【答案】
【解析】由,得，
即，∴
由,得，
∴．
即．
整理得．
解得或（舍去）．
∴．
∴．
【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．

【变式2】已知，(1）求tan的值;（2）求的值．
【解析】 （1），解得．
（2)
．
【总结升华】 第(1）问中利用了方程的思想求tan的值;对于第(2)问的题型,一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解．
类型五：二倍角公式的综合应用
例6．已知,求：
（1）f (x）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f （x)的单调区间．
【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．
【答案】（1） （2）单增区间 单减区间
【解析】
(1）原式=
=
=
则当即时,

（2)f （x)的单调递增区间为：，则

f （x)的单调递减区间为：,则

【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．(2）扩角降幂公式,．
例7． 已知向量，，求函数．
（1）求的最大值及相应的x值；
（2）若，求的值．
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f（x)关系式．
【答案】（1） （2）
【解析】 (1）因为，，
所以．
因此，当,即时，取得最大值．
(2)由及得,两边平方得，即．因此，．

举一反三：
【变式1】已知函数。
(Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ）求函数在上的最小值。
【答案】（Ⅰ），,（Ⅱ）
【解析】(Ⅰ）

所以函数的最小正周期为.
由，,则。
函数单调递减区间是，。
(Ⅱ）由，得.
则当，即时，取得最小值。
【变式2】已知向量m=(sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
(1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】（1)由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
(2）由（1）知,
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3,所以所求函数的值域是．

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