将军饮马问题的11个模型及例题.doc

(完整word)将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4。垂线段最短.基本模型1。 已知:如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P，连接AP、BP, 在ABP中，AP+BPAB，即AP+BPAP+BPP为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2. 已知:如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或ABP的周长最小)解：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于P, 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA的中垂线，由中垂线的性质得:PA=PA，要使PA+PB最小，则需PA+PB值最小,从而转化为模型1。3. 已知:如图,定点A、B分布在定直线l的同侧(A、B两 点到l的距离不相等)要求:在直线l上找一点P，使PA-PB的值最大 解:连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时PAPB=AB，在l上任取异于点P的一点P， 连接AP、BP，由三角形的三边关系知PA-PBAB, 即PA-PBPA-PB4. 已知：如图,定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使PAPB的值最大解：作点B关于直线l的对称点B，连接BA并延长交于点P，点P即为所求;理由：根据对称的性质知l为线段BB的中垂线,由中垂线的性质得：PB=PB,要使PAPB最大,则需 PA-PB值最大 ，从而转化为模型3.典型例题11如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_，此时PC+PD的最小值为_.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小,由条件知CD为BAO的中位线,OP为 CDD的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算。【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小令y=x+4中x=0，则y=4，点B坐标（0,4);令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=6，点A的坐标为（6，0)点C、D分别为线段AB、OB的中点，CD为BAO的中位线， CDx轴，且CD=AO=3，点D和点D关于x轴对称，O为DD的中点,D(0，1）,OP为CDD的中位线，OP=CD=，点P的坐标为（，0）在RtCDD中，CD=5，即PC+PD的最小值为5。【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变 化,C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD的解析 式，再求其与x轴的交点P的坐标。典型例题12如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，1）,点B 的坐标为(，2),点P在直线y=x上运动，当|PAPB|最 大时点P的坐标为_,PAPB的最大值是_。【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=x对称点C， 连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=x的 交点P的坐标；此时|PAPB|=PCPB=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值。【解答】作A关于直线y=x对称点C，易得C的坐标为（1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y=x,与直线y=x联立解得交点坐标P为(4，4）;此时PAPB=|PCPB=BC取得最大值,最大值BC=；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点。变式训练1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0）， OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短 时,点P的坐标为（）A（0,0） B(1，) C（,） D(，)变式训练12如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2, BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的 最小值为_.变式训练1-3如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为（1,0）（1)求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M,使AMMC的值最大，求出点M的坐标. 拓展模型1. 已知：如图，A为锐角MON外一定点； 要求:在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使 AP+PQ的值最小. 解：过点A作AQON于点Q，AQ与OM相交于点P，此 时，AP+PQ最小; 理由：AP+PQAQ,当且仅当A、P、Q三点共线时， AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短，当 AQON时，AQ最小。2. 已知：如图，A为锐角MON内一定点； 要求:在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q，使 AP+PQ的值最小。 解:作点A关于OM的对称点A,过点A作AQON 于点Q,AQ交OM于点P，此时AP+PQ最小； 理由：由轴对称的性质知AP=AP，要使AP+PQ最小， 只需AP+PQ最小，从而转化为拓展模型13. 已知：如图，A为锐角MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使 APQ的周长最小 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点P和点Q即为所求,此时APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由:由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线 时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角MON内两个定点;要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A，作点B关于直线ON的对称点B，连接AB交OM于P，交ON于Q,则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的 最小值即为线段AB和AB的长度之和；理由：AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA，将QB转化为QB,当A、P、Q、B四点共线时，PA+PQ+ QB的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小。5。搭桥模型 已知：如图，直线mn，A、B分别为m上方和n下方的定 点,(直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。 分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小,可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A，使得AA=PQ,连接AB交直线n于点Q，过点Q作PQn，交直线m于点P,线段PQ即为所求,此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA为平行四边形，则QA=PA,当B、Q、A三点共线时，QA+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6. 已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧,长度为a (a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边） 要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移,使P、Q“接头，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A，使AA=PQ=a，连接AB交直线l于点Q,在l上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为AB+PQ，即AB+a理由：易知四边形APQA为平行四边形，则PA=QA,当A、Q、B三点共线时，QA+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。7. 已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置,使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点关于l的对称点,转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A，将点A沿着平行于l的方向，向右移至A，使AA=PQ=a，连接AB交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边)，线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为AB+AB+PQ,即AB+AB+a典型例题21如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E，再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度。【解答】作点B关于AC的对称点E，再过点E作ENAB于N，则BM+MN=EM+MN,其最小值即EN长；AB=10，BC=5，AC=5，等面积法求得AC边上的高为=2,BE=4，易知ABCENB，,代入数据解得EN=8即BM+MN的最小值为8【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，AOB=60，点P是AOB内的定点且OP=，点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是（)A B C6 D3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知OCD是顶角为120的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD。【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N,如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，BOP=BOD,AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120,此时PMN周长最小，作OHCD于H，则CH=DH，OCH=30，OH=OC=， CH=OH=，CD=2CH=3即PMN周长的最小值是3；故选：D【小结】根据对称的性质，发现OCD是顶角为120的 等腰三角形，是解题的关键，也是难点。典型例题23如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点,OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，A=60，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点，PMx轴于点M点，点E与E关于x轴对称，连接BP、EM（1）请直接写出点A坐标为 ，点B坐标为 ；（2）当BP+PM+ME的长度最小时,请求出点P的坐标。【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；(2）符合“搭桥模型的特征；首先证明四边形OPME是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标;【解答】（1）在RtADO中，A=60，AD=2，OD=2tan60=2,A（2,2），四边形ABCO是平行四边形，AB=OC=6，DB=62=4,B（4，2）（2）如图，连接OPEF垂直平分线段OD，PMOC，PEO=EOM=PMO=90，四边形OMPE是矩形，PM=OE=，OE=OE，PM=OE，PMOE，四边形OPME是平行四边形,OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME的长度最小，当O、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小，直线OB的解析式为y=x，P（2,)【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型。典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中,RtAOB的顶点坐标分别为A(2，0），O（0，0）,B（0,4），把AOB绕点O按顺时针方向旋转90，得到COD(1）求C、D两点的坐标;（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3)在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1,使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标。【解答】（1)由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4，C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 4a-2b+c=0由题意,得 16a+4b+c=0 c=4解得a=b=1,c=4，所求抛物线的解析式为y=；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（2，1）,则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4,1）,连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-,当x=1时，y=，点E的坐标为(1,),点F的坐标为（1,)【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练21几何模型：条件:如图1，A，B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，即为所求。（不必证明)模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，1）和B(2，1)，P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是 ,此时PA+PB= （2）如图3,正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是 （3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10,DAB=60，P是对角线AC上一动点，E,F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是 （4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6，B=60,点G是边CD边的中点，点EF分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 变式训练22 如图，矩形ABCD中,AD=15，AB=10,E为AB边上一点，且 DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长 的最小值是_.变式训练2-3如图，已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的距 离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4，在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B，满足ABl2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=变式训练24如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3,过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1)中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方）,且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标 中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3)，B点坐标为（6，5)，则A、B两点到奶站距离之和的最小值是 2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A（0，）B（0，)C（0，2）D（0,）3.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足SPAB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（)ABC5D4。已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（,3)，P是抛物线y=x2+1上一个动点,则PMF周长的最小值是（）A3B4C5D6 5.如图，点A(a,3）,B(b，1)都在双曲线y=上，点C,D，分别是x轴，y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为(）ABC D6。如图，在RtABC中,C=90，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（)ABC5D7。如图，RtABC中，BAC=90,AB=3,AC=6，点D,E分别是边BC，AC上的动点,则DA+DE的最小值为8.如图，等腰ABC的底边BC=20，面积为120,点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CDF周长的最小值为9.如图，菱形ABCD的边长为6，ABC=120,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）ABCD 10.如图，在RtABC中，ACB=90,AC=6，BC=8，AD平分CAB交BC于D点，E,F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为(）ABCD611。如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M,N 两点OMN的面积为10若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）A6B10C2D212。如图，ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到ABD，则四边形ADBC的形状 是 形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是 13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A（0，3），C（3，0）（1）求此抛物线的解析式；（2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值；（3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 14.如图，在四边形ABCD中，B=C=90，ABCD，AD=AB+CD（1)用尺规作ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；(2）在(1）的条件下，证明：AEDE；若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值15。如图,抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（1，0）,B（3,0）,C（0,3）三点（1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;（2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBC=SABC时，求N点的坐标;（3）在（2)问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P（m，3）在直线l上,动点Q（m，0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN和的最小值 16。如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点,作NDx轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M（4，m）是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标 17。如图1，已知抛物线y=(x2)(x+a）（a0）与x轴从左至右交于A，B两点,与y轴交于点C（1)若抛物线过点T(1，），求抛物线的解析式；（2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与 ABC相似？若存在,求a的值；若不存在，请说明理由（3）如图2,在（1）的条件下，点P的坐标为（1，1)，点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点,且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时,四边形PQNM的周长最小?请直接写出符合条件的点M的坐标18。如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0)，C（0,5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0),F（a+1，0）,P是第一象限内抛物线上的动点（1)求此抛物线的解析式；（2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x，y）P的坐标公式：x=，y= （1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：(2)已知点M(2，1），N（3,5），则线段MN长度为；直接写出以点A(2，2），B（2，0），C（3，1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：;拓展：（3）如图3,点P(2，n）在函数y=x(x0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使PEF的周长最小，简要叙述作图方法,并求出周长的最小值20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，3），抛物线y=x2+2x+1与y轴交于点C(1）求直线y=kx+b的函数解析式;（2）若点P（x，y)是抛物线y=x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值21。如图，在平面直角坐标系中,OA=6,以OA为边长作等边三角形ABC,使得BCOA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上（1)求这条抛物线的解析式;（2）在图中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动,同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动,在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQAB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由;（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小,并求出周长的最小值 本人所著初中几何模型与解题通法已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。2。包含79个中考热门模型,约500道优质中考原题；3。包含18个中考热门专题，每个专题包括模型介绍、方法原理、例题精讲、变式训练和中考真题，做到理论联系实际，讲练结合。4.例题精讲具有启发性，包括解题思路的分析，解答过程，易错点和技巧的总结,使读者触类旁通。