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第六章． 样本及抽样分布

概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用.
数理统计学: 收集数据-—统计模型--数据分析--估计，判断。
§1。 随机样本
总体:研究对象的某项数量指标的植的全体.（有限和无限总体）
个体：总体中的每个元素
样本：总体中抽出的部分个体
例：
1) 华北电力大学全体大学生的高数成绩
2） 华北电力大学全体大学生的身高
总体：相同条件下对总体X进行n次独立的观察——实验次序—-是与随机变量X同分布的几个相互独立的随机变量-—是来自总体的一个简单随机样本，n为样本容量。
的观察值————样本值
个体总数N，样本容量n。当N时， 不放回抽样放回抽样
定义：设X是具有同分布函数的随机变量，当是具有同一分布函数的相互独立的随机变量，则称是从分布函数F（或总体F，或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本。它的观察值称为样本值.又称为X的n个独立的观察值。
注：若为F的一个样本,则的联合分布函数为

又若X的概率密度为f，则的联合概率密度为
.
§2。 抽样分布
定义：总体X，是来自总体X的样本,是连续且无任何参数，则是一统计量。
当是的观察值，则是的观察值。
一、 几个常用的统计量：
总体X，样本，观察值
1．样本平均值： 观察值

2．样本方差：

3．样本标准差：
，
4．样本k阶（原点）矩：

5．样本的k阶中心矩:

命题1。 若总体X的k阶矩存在,则
解 独立同分布独立同分布

命题2. 若连续，则
例，设总体X已知，未知，是样本，则以下不是统计量的有④
①，②，③， ④
二、来自正态总体的n个常见统计量的分布：
1. 分布
①定义：若是来自正态总体的样本,
则称统计量

服从自由度为n的分布，记为.
②概率密度的共同形：（）

③性质：
A。
B。
事实上:

④分布的上分位点:
称满足：

的点为的上分位点。
时，，是标准正态分布上上分
位点。
例:

2．分布
1）定义：设。且与相互独立，则称
随机变量

服从自由度为的分布，记为. （学生氏（Student)分布)
2）概率密度及其图形
.
3）t-分布的上分位点：
称满足：

的点为分布的上分位点。
4)性质：
A： 即,
B：的图形关于纵轴对称：
C：时
3．分布:
1)定义：设（)，且相互独立，则
称随机变量

服从自由度为（)的分布，记为
2)概率密度及其图形

3）分布的上分位点：
称满足：

的为分布的上分位点。
4）性质：
A：
B:
C：

［B. 若则

又，从而
所以］
例 （）
4．正态总体的某些常用统计量的分布:
定理1： 总体，样本，分别是样本的均值与方差,则:
1）相互独立；
2）；
3)；
4）。
{ 2)，3)4)

｝
定理2: 总体，样本，总体，样本，相互独立，:
则
1）；
2）当时 ，
其中
证明：
1）由Th1 .
由独立可知，
即
2）
（可加性）
可证独立（附录2）因此：

证毕.
例 设是其样本，则（3)正确
1）， 2),
3) , 4)
例 设总体,。求的概率分布。
解:

又：

从而：。