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(完整word)量子力学29
第七章 自旋与全同粒子
§7—1 电子自旋
一、电子自旋的实验依据
玻尔的量子论的提出，使人们对光谱规律的认识深入了一大步。后来人们又发现了光谱的精细结构和反常塞曼效应，这些新的实验结果又给理论提出了新问题.例如，在碱金属钠原子光谱中，起初看到一条波长为的黄光，后来由于光谱仪分辨率的提高,人们发现它是由两条谱线组成,波长分别为和，这就是碱金属光谱的双线结构。另外，在弱磁场中,一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常塞曼效应。原有量子理论无法解释这些新现象。
1925年，为解释上面现象，乌伦贝克和古德斯密特提出了电子自旋的假设。最初,他们认为自旋是电子的机械转动。实际上这种理论没有摆脱经典物理的束缚。后来人们发现,电子的自旋是电子的一个固有性质,就像电子具有质量和电荷一样.自旋具有角动量量纲,它的存在，标志着电子又有了一个新的自由度。
1921年的斯特恩—盖拉赫实验直接证实了电子自旋的存在。该实验的目的是测原子磁矩.实验现象是单价原子(如银原子和氢原子等）束流通过非均匀磁场后裂为两束.我们以氢原子为例介绍实验现象。
电炉H射出的处于态的氢原子束流通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相底片P上,实验结果是照片上出现两条分立线。
带有磁矩的中性原子进入磁场后,其势能为

其中为与（沿轴方向）之间的夹角；是原子磁矩的分量。
因为(），所以原子所受的力为

力的大小和指向要视的数值和正负而定。磁矩相对于磁场有不同取向的原子受到不同大小和指向的力的作用。当它们在磁场中飞行时，将发生不同程度和方向的偏转，通过磁场后,磁矩有不同取向的原子将落到照相底板上不同位置。
设炉子的温度为，它蒸发出的原子的平均速率为

原子通过磁场时的平均时间为

其中，为原子质量,为磁极长度。偏转距离是

值可由实验测得（测量方法：加上磁场，再撤消磁场,比较原子束打在屏上的痕迹），从而可以推算出磁矩的分量，得到的结果是
（为玻尔磁子）
转动装置，不变.
产生磁矩的原因:不是轨道磁矩，因为体系处于基态(态）,所以轨道磁矩为零；也不是核磁矩，因为核磁矩远远小于。所以一定有新的物理因素没有被考虑到，实验事实迫使我们承认电子有一个固有（内禀）磁矩(因而原子有磁矩），即自旋磁矩，它在任何方向上的分量可取两个数值,即

二、电子自旋的特点
1．电子自旋角动量在空间任意方向(比如方向)的投影只能取两个数值，即。
2．电子自旋磁矩与自旋角动量的关系是
（即朗德因子） （SI）
电子轨道磁矩与轨道角动量的关系是

注意:
（1）自旋角动量也具有其它角动量的共性,即满足同样的对易关系

（1927年Pauli把自旋引入量子力学)
（2）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性,它不可能用经典力学来解释.即
，而
所以自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无关.它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志了电子还有一个新自由度。
(3）电子自旋值是，而不是的整数倍。
（4)电子自旋的回转磁比率的定义:
乌伦贝克和哥德斯密脱最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似,电子一方面绕原子核运动,一方面又有自转.但把电子的自旋看成机械的自转是错误的。
解释：假定电子自转半径为米（经典半径），由不确定关系知，若取，则可得:

于是转动线速度（大大超过光速）。
这当然是不可能的，Lorentz抓住这一要害问题，否定了乌伦贝克和哥德斯密脱假设。乌伦贝克和哥德斯密脱当时年轻，投了论文就害怕了，想退稿，他们的导师说：“别害怕,允许青年人犯错误，有错改错，不要把研究成果一起抛掉".后来的事实却证明，电子的自旋概念是微观物理学最重要的概念，电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。
§7—2 电子的自旋算符和自旋函数
一、自旋算符及其性质
我们对比电子的轨道角动量和自旋角动量，会更容易掌握自旋的性质.
轨道角动量
自旋角动量

共个

共个
由于在空间任何方向的投影只能取两个数值，所以、、三个算符的可能值（本征值)都是，它们的平方都是,即

所以,都是常数算符(Constant Operators）与任何算符都对易(这导致了下面的反对易关系）。
显然，自旋量子数,自旋磁量子数。
为简单起见，引入Pauli算符，它与的关系为

即

性质：
1．、、三个算符的可能值（本征值）都是，它们的平方都是，即

或者
（单位算符）
2．满足对易关系

或统一写成

3．满足反对易关系

证明第一个式子:

因为，所以

4．满足。因为

所以

二、自旋算符的矩阵表示
在、表象中，有

设.因为它是厄米算符，所以

于是。因此

因为

所以。于是

又因为

所以，取。因此

利用对易关系式，可以解得

矩阵表示为

相应的自旋角动量矩阵表示为

小 结
一、电子自旋
电子自旋角动量在空间任意方向的投影只能取两个数值，即。
和

二、泡利算符及其性质

三、自旋算符的矩阵表示
矩阵表示为

相应的自旋角动量矩阵表示为

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