两类特殊的双扭曲积埃尔米特流形.pdf
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1、两类特殊的双扭曲积埃尔米特流形张 辉1,卢晓英2,何 勇1*,韩江慧1(1.新疆师范大学 数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830017;2.陆军边海防学院乌鲁木齐校区 教学考评中心,新疆 乌鲁木齐 830002)摘要:设(M1,g)和(M2,h)是两个埃尔米特流形,双扭曲积埃尔米特流形(f2M1f1M2,G)是赋予了扭曲积埃尔米特度量G=f22g+f21h的乘积流形M1 M2,其中f1和f2分别是M1和M2上的正值光滑函数。文章给出双扭曲积埃尔米特流形的挠率表达式,得到双扭曲积埃尔米特流形是凯勒流形或平衡流形的充要条件,并在特定条件下给出双扭曲积埃尔米特流形满足弱爱因斯坦条件的充要条件。关键词:
2、埃尔米特流形;双扭曲积;平衡流形;弱爱因斯坦条件中图分类号:O186.1文献标识码:A文章编号:1008-9659(2024)02-0026-06Vol.43,No.2Jun.2024第43卷 第2期2024年6月新疆师范大学学报(自然科学版)Journal of Xinjiang Normal University(Natural Sciences Edition)收稿日期 2023-09-05 修回日期 2023-09-23 基金项目 国家自然科学基金项目(12661088;11761069)。作者简介 张 辉(1999-),男,硕士研究生,主要从事多复变与复几何方面研究,E-mail:.
3、*通讯作者 何 勇(1979-),男,教授,主要从事多复变与复几何方面研究,E-mail:.扭曲积是几何学中构造具有特殊曲率性质流形的重要方法。1969年,Bishop等人用扭曲积的方法构造了具有负截面曲率的黎曼流形1。2016年,何勇等人把扭曲积的概念推广到了复芬斯勒流形,并得到了双扭曲积复芬斯勒流形是凯勒芬斯勒流形的充要条件2。2018年,何勇等人把双扭曲积引入到了复几何,给出了双扭曲积埃尔米特流形满足第一或第二爱因斯坦条件的充要条件3。2022年,倪琪慧等人用双扭曲积给出了构造Levi-Civita Ricci平坦埃尔米特流形的有效方法4。埃尔米特几何在数学、物理、计算机等领域有着广泛应
4、用5-6,吸引了许多学者的关注和研究。当埃尔米特流形的挠率为零时,称其为凯勒流形7。1982年,Michelsohn提出了平衡流形的概念,平衡流形是凯勒流形的推广8。当埃尔米特流形的挠率(1,0)形式为零时,称其为平衡流形8。2014年,刘克峰等人给出了紧的埃尔米特流形是平衡流形的四个等价条件9。文章将探索并给出双扭曲积埃尔米特流形是凯勒流形或平衡流形的充要条件。1985年,Balas给出了埃尔米特流形满足爱因斯坦条件的概念10。若埃尔米特流形的第一或第二Ricci曲率张量系数等于倍的埃尔米特度量,则称埃尔米特流形满足第一或第二爱因斯坦条件,其中为实函数10。1987年,Kobayashi引入
5、了埃尔米特流形满足弱爱因斯坦条件的概念11。文章将在特定条件下研究双扭曲积埃尔米特流形满足弱爱因斯坦条件的充要条件。1 预备知识设(M,J,G)是一个复n维埃尔米特流形,J为复结构,G为埃尔米特度量。对于流形M中任意一个点p,复化切丛可分解为TpM=T1,0pMT0,1pM其中复结构J的特征值分别为-1.在局部全纯坐标系z=(z1,z2,zn)下,切丛T1,0pM由(z1,z2,zn)张成。陈联络在全纯切丛上是唯一的与度量G和复结构J相容的联络。在局部全纯坐标系下,陈联络系26张 辉,等:两类特殊的双扭曲积埃尔米特流形数为3=GGz(1)及其共轭。挠率张量为12T(X,Y)=XY-YX-X,Y
6、 其系数为T=-(2)(1,3)型的陈曲率张量K为11K(X,Y)Z=XYZ-YXZ-X,Y Z其系数为K=-z(3)对(1,3)型的陈曲率张量缩并可得平均曲率,其系数为11K=GK(4)下面回顾文章研究所需要的几个重要定义。定义110 设(M,J,G)是一个埃尔米特流形,若T=0(5)则称(M,J,G)是凯勒流形。定义28 设(M,J,G)是一个埃尔米特流形,若挠率(1,0)形式=0(6)则称(M,J,G)是平衡流形,其中=G T(7)T=G T(8)定义311 设(M,J,G)是一个埃尔米特流形,若平均曲率满足K=I,i.e.,K=(9)其中,是M上的一个函数,则称(M,J,G)满足弱爱因
7、斯坦条件。定义413 复拉普拉斯算子L=G2zz(10)是一个具有光滑系数的二阶偏微分算子。设(M1,g)和(M2,h)分别是复m维和复n维的埃尔米特流形,则M=M1 M2是一个复m+n维的埃尔米特流形。设1:M M1和2:M M2为自然投影,对任意的z=(z1,z2)M,z1=(z1,zm)M1和z2=(zm+1,zm+n)M2,有1(z)=z1和2(z)=(z2)成立。设d1:T1,0(M)T1,0M1,d2:T1,0(M)T1,0M2分别是由1和2诱导的全纯切映射。对于任意v=(v1,v2)Tz 1,0(M),v1=(v 1,v m)T 1,0 z1M 1,v2=(vm+1,vm+n)T
8、1,0z2M2,有d1(z,v)=(z1,v1)和d2(z,v)=(z2,v2)成立。定义53 设(M1,g)和(M2,h)是两个埃尔米特流形。设f1:M1(0,+)和f2:M2(0,+)是两个光滑函数。双扭曲积埃尔米特流形(f2M1f1M2,G)是赋予了如下埃尔米特度量G:M (0,+)的乘积流形M=M1 M2:G(z,v)=(f2 2)2(z)g(1(z),d1(v)+(f1 1)2(z)h(2(z),d2(v)(11)其中z=(z1,z2)M,v=(v1,v2)T1,0zM,f1和f2被称为扭曲函数。(M1,g)和(M2,h)被称为(f2M1f1M2,G)的分量流形。若f1 1与f2 1
9、有且仅有一个成立,则称(f2M1f1M2,G)是单扭曲积埃尔米特流形;若f1 1且f2 1都成立,则称(f2M1f1M2,G)是乘积埃尔米特流形;若f1和f2都不为常数,则称(f2M1f1M2,G)是非平凡的双扭曲27新疆师范大学学报(自然科学版)2024年积埃尔米特流形。在文章中,约定小写希腊字母指标,小写拉丁字母指标,带撇号的小写拉丁字母指标的取值范围分别为:1 ,m+n,1 i,j,k,l,t m,m+1 i,j,k,l,t m+n.与(M1,g)和(M2,h)有关的几何量,分别在其上方加指标1和2以示区别,如ijk1和ijk2分别表示埃尔米特流形(M1,g)和(M2,h)上的陈联络系数
10、。设(f2M1f1M2,G)是埃尔米特流形(M1,g)和(M2,h)的双扭曲积,记gi-j=2gvi-vj,hi-j=2hvi-vj(12)则G的基本张量矩阵为3(G)=(2Gv-v)=()f22gi-j00f21hi-j(13)其逆矩阵(G)为3(G)=()f-22gji00f-21h-ji(14)2 平衡的双扭曲积埃尔米特流形以下主要推导双扭曲积埃尔米特流形挠率的表达式,探索双扭曲积埃尔米特流形(f2M1f1M2,G)是凯勒流形或平衡流形的充要条件。引理13 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则陈联络系数为ijk=ijk1,ijk=2f-12f2zjik,ijk=2f-
11、11f1zjik,ijk=ijk2(15)ijk=ijk=ijk=ijk=0(16)命题1 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则T为Tijk=Tijk1,Tijk=Tijk2(17)Tijk=2f-12f2zjik,Tijk=-2f-12f2zkij(18)Tijk=-2f-11f1zkij,Tijk=2f-11f1zjik(19)Tijk=Tijk=0(20)证明 令式(2)中=k,=i,=j,并将式(15)的第一个等式代入可得Tijk=ijk-ikj=ijk1-ikj1=Tijk1同理,可得其余等式。定理1 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,(f2M
12、1f1M2,G)是凯勒流形当且仅当(M1,g)和(M2,h)都是凯勒流形,且f1和f2均为常数。证明 根据定义1,(f2M1f1M2,G)是一个凯勒流形当且仅当T=0,结合命题1,这等价于以下方程组成立。Tijk1=0Tijk2=0f1zk=0f2zk=0(21)28张 辉,等:两类特殊的双扭曲积埃尔米特流形式(21)中第一个和第二个方程分别意味着(M1,g)和(M2,h)是凯勒流形,式(21)中第三个和第四个方程分别意味着f1和f2均为常数,证毕。命题2 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则T 为Tjkl=f22Tjkl1,Tjk-l=f21Tjk-l2(22)Tjkl=
13、-2f2f2zkgjl,Tjkl=2f1f1zjhkl(23)Tjkl=2f2f2zjgkl,Tjkl=-2f1f1zkhjl(24)Tjkl=Tjkl=0(25)证明 令式(8)中=k,=j,=l,可得Tjkl=GlTjk=GilTijk+GilTijk(26)将式(17)的第一个等式和式(13)代入式(26),得Tjkl=f22gilTijk1=f22Tjkl1同理,可得其余等式。命题3 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则为j=j1+2f-11f1zj(27)j=j2+2f-12f2zj(28)证明 令式(7)中=j,可得j=G Tj=GlkTjkl+GlkTjkl+
14、GlkTjkl+GlkTjkl(29)将式(14)和命题2中各式代入式(29)有j=f-22glkf22Tjkl1+f-21h-lk2f1f1zjhkl=glkTjkl1+2f-11f1zj=j1+2f-11f1zj同理可证得式(28)。定理2 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则(f2M1f1M2,G)是平衡流形当且仅当以下方程组成立 j1+2f-11f1zj=0j2+2f-12f2zj=0(30)证明 根据定义2,(f2M1f1M2,G)是平衡流形当且仅当=0,这等价于j=0j=0(31)结合式(27)和式(28),式(31)等价于式(30)成立。推论1 设(f2M1f
15、1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形。若f1和f2是常数,则(f2M1f1M2,G)是平衡流形当且仅当(M1,g)和(M2,h)均为平衡流形。3 弱爱因斯坦条件以下主要推导双扭曲积埃尔米特流形的平均曲率表达式,并在特定条件下给出双扭曲积埃尔米特流形满足弱爱因斯坦条件的充要条件。29新疆师范大学学报(自然科学版)2024年引理23 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则陈曲率张量系数K为Ktkj-s=Ktkj-s1,Ktkj-s=-22lnf2zjz stk(32)Ktkj-s=Ktkj-s,2 Ktkj-s=-22lnf1zjz stk(33)Ktkj-s=Ktkj-s=K
16、tkj-s=Ktkj-s=Ktkj-s=Ktkj-s=0(34)Ktkj-s=Ktkj-s=Ktkj-s=Ktkj-s=Ktkj-s=Ktkj-s=0(35)命题4 设(f2M1f1M2,G)是一个双扭曲积埃尔米特流形,则平均曲率系数K为Ktk=f-22Ktk1-2f-21L2(lnf2)tk,Ktk=0(36)Ktk=f-21Ktk2-2f-22L1(lnf1)tk,Ktk=0(37)证明 令式(4)中=t,=k,则有Ktk=GKtk=G-s jKtkj-s+G-s jKtkj-s+G-s jKtkj-s+G-s jKtkj-s(38)把式(14),式(32)和式(33)的第一个式子代入式(
17、38)中,可得Ktk=f-22g-s jKtkj-s1-2f-21h-s j2lnf2zjz stk=f-22Ktk1-2f-21L2(lnf2)tk同理,可得其余等式。定理 3 设(f2M1f1M2,G)是 一 个 双 扭 曲 积 埃 尔 米 特 流 形。若L1(lnf1)=0和L2(lnf2)=0,则(f2M1f1M2,G)满足弱爱因斯坦条件当且仅当(M1,g)和(M2,h)均满足弱爱因斯坦条件。证明 由于L1(lnf1)=0和L2(lnf2)=0,根据命题4,易得Ktk=f-22Ktk1(39)Ktk=f-21Ktk2(40)根据定义3,(f2M1f1M2,G)满足弱爱因斯坦条件当且仅当
18、K=(z),这等价于Ktk=(z)tkKtk=(z)tkKtk=(z)tkKtk=(z)tk(41)由于Ktk=0和tk=0,式(41)的第三个方程明显成立,同理式(41)的第四个方程也自然成立,再应用式(39)和式(40),式(41)可化简为 Ktk1=f22(z)tkKtk2=f21(z)tk(42)式(42)的第一个方程中Ktk1和tk仅与(M1,g)有关,f22(z)就只能与(M1,g)有关。同理,由式(42)的第二个方程可知,f21(z)就只能与(M2,h)有关。因此可设f22(z)=1(z1)f21(z)=2(z2)(43)从而式(42)等价于 Ktk1=1(z1)tkKtk2=2
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