二项式定理练习.doc

一、单选题
1．若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　　)

A. 0.2 B. －0.2 C. 0.8 D. －0.8
2．已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)
A. B. C. 4 D.
3．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）
A. ﹣90 B. ﹣30 C. 30 D. 90
4．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为(　　)
A. 270x－1 B. 270x
C. 405x3 D. 243x5
5．在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个,它们大小相同,现在从盒中任意摸出3个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为
A. 36 B. 108 C. 216 D. 648
7．若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6等于(　　)
A. 112 B. 28
C. -28 D. -112
9．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）
A. 310 B. 25 C. 12 D. 35
10．等比数列的公比为， 成等差数列，则值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题
12．若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为________．
13．展开式中， 项的系数为__________．
14．有6名学生做志愿者服务,将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服务,每一个地方至少有一人,则不同的分配方案有___________种（用数字作答）.
15．展开式中常数项为10，则实数__________．
16．市内某公共汽车站6个候车位(成一排)现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是__________.
17．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是________．
18．编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为__________．
19．省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．
20．安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．
21．数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．
22．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球， 2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ．
24．等差数列的前项和为， ，则__；满足的最大整数是__．

25．已知是等比数列，且， ，则__________， 的最大值为__________．
26．已知等差数列的前项和为，若， ，则__________， 的最大值为__________．
28．设等差数列的前项和为，若，则的最大_____，满足的正整数______ ．
29．等比数列的前项和为，已知， 成等差数列，则数列的公比__________．

一、单选题
1．已知的展开式中常数项为-42，则（ ）
A. 10 B. 8 C. 12 D. 11
2．若展开式中含项的系数为-80，则等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）
A. 310 B. 25 C. 12 D. 35
5．在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各个,它们大小相同,现在从盒中任意摸出个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为
A. B. C. D.
6．若,则的值为
A. B. C. D.
7．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）
A. A×A种 B. A×54种 C. C×54种 D. C×A种
9．从名同学（其中男女）中选出名参加环保知识竞赛，若这人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）．
A. B. C. D.
10．从6名团员中选出4人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是（　　　）
A. 280 B. 240 C. 180 D. 96
11．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（　）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36

二、填空题
12．展开式中常数项为10，则实数__________．
13．在二项式的展开式中，只有第4项的系数最大，则展开式中
项的系数为__________（用数字作答）．
14．二项式展开式中的常数项是__________．
16．在的展开式中的系数为__________．
18．在的二项式中,所有项的二项式系数之和为,则常数项等于___________.
19．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________．
22．的展开式中的系数为_____________．
试卷第3页，总3页
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参考答案
1．B
【解析】易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
故选B.
2．B
【解析】由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
故选B.
3．D
【解析】的展开式中通项公式： ，令，解得 ， ， 的系数，故选D．
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
4．B
【解析】令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3， 展开式中共有6项，其中奇数项为正数，偶数项为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为 (3x)5＝243x5， (3x)3=270x， (3x) ＝ ，所以系数最大的项为270x.
故选B.
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数和问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
5．B
【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：
C43×3×3×3=4×27=108种.
本题选择B选项.
6．D
【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：
Tr+1=Cnr3x3n-r1xr=3n-rCnrx3n-72r，
展开式中含有常数项，则：3n-72r=0有正整数解，
满足题意的最小的正整数为：r=6,n=7.
本题选择D选项.
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
7．A
【解析】∵(x-1)8=[(x+1)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,
∴a6= (-2)2=4=112.
本题选择A选项.
8．C
【解析】
∵ ax+1x2x-15的展开式中各项系数的和与x无关，故令x=1，可得展开式中各项系数的和为a+1=2,∴a=1，故ax+1x2x-15 =x+1x2x-15=x+1x
C50⋅2x5⋅-10+C51⋅2x4⋅-11+...+C55⋅2x0⋅-15，故该展开式中的常数项为C54⋅21=10，故选C.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式Tr+1=Cnran-rbr；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
9．D
【解析】由题得总的基本事件个数为C53=10,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有C32C11=3种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有C22C21=2
种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得P(A)=610=35，故选D.
10．C
【解析】由题意得化简得，解得，选C.
11．60.
【解析】二项式(x+2y)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(2y)r=2rC6rx6-ryr.
令6-r=4，则r=2.
∴展开式中x4y2的系数为22C62=4×6×52=60
故答案为60.
12．200
【解析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙所选的课程全不相同，有＝20种选法；②甲、乙所选的课程有1门相同，有 ＝180种选法．
∴甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有20＋180＝200种．
故答案为：200.
点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
13．
【解析】 ∴二项式展开式中，含项为 ∴它的系数为70．
故答案为70．
14．1560
【解析】可能的人数分配方案为：3+1+1+1或者2+2+1+1，
采用方案3+1+1+1分配时，分配方案有C63A44种，
采用方案2+2+1+1分配时，分配方案有C62C42A22×A44种，
不同的分配方案有C63A44+C62C42A22×A44=1560种.
点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
15．2
【解析】展开式的通项为，又令，得将 代入可得， ，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
16．72
【解析】根据题意，先把三名乘客全排列，有种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有种排法，则共有种候车方式．
故答案为：72．
17．
【解析】8个球，从中取出3个，共有 种基本事件
其中取出的编号互不相同的有 种基本事件，
所以概率为
18．1724
【解析】编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，共有A44=24 种基本事件，
其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（1，2，4，3），（1，4，3，2），（1，3，2，4），（4，2，3，1），（3，2，1，4），（2，1，3，4），共6种
其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（4，3，2，1）
因此至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为1-6+124=1724.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19．42;
【解析】分两类
(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；
(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．
故结果为42．
20．
【解析】根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：
①、五人分为2、2、1的三组，有 种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案，
②、五人分为3、1、1的三组，有种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案，
则共有 种不同的安排方案；
学生甲被单独安排去金华时，共有种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是
21．小乐，小强，小明．
【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；
其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；
其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．
22．．
【解析】试题分析：用分别表示1个红球， 2个白球和3个黑球．从袋中任取两个球，用列举法得所有的可能情况： ，共15种，两球颜色一白一黑： ，共6种，所以所求概率为．
考点：古典概型概率的计算．
23． -14 4
【解析】由S2=S6得S6-S2=a6+a5+a4+a3=2(a5+a4)=0 ∴a5+a4=0 ∴2a1+7d=0
由S55-S44=2得52(a1+a5)5-42(a1+a4)4=12（a5-a4)=2 ∴d=4
所以a1=-14，故填（1）-14（2）4.
24． 0 6
【解析】由可知，所以，由及，所以，所以，即的最大整数是6.填(1). 0 (2). 6。
25． 5
【解析】
，即的最大值为
26． 5 4.
【解析】，因为，又的最小值为2，可知的最大值为4.
27．32
【解析】试题分析：q2-q-2=0,q=2，am⋅an=16a12,a12qn+m-2=16a12,m+n-2=4,m+n=6，所以1m+4n=16(1m+4n)⋅(m+n)=16(5+nm+4mn)≥16⋅9=32.
考点：基本不等式.
28． 6 12
【解析】依题意， ， ，则， ，
，所以，即满足的正整数．
29．2
【解析】由题意得.
30． 3 48
【解析】由等差数列的前n项和公式得4a1+12×4×3d=20，即2+6d=20，解之得d=3；所以S6=6a1+12×6×5d=3+45=48，应填答案3和48。
31．4
【解析】由等差数列的定义可得a22+2a2(a2+6d)+(a2+4d)(a2+8d)=16，即4a22+24a2d+32d2=16，也即a22+6a2d+8d2=4，则(a2+2d)(a2+6d)=4，所以a4a6=4，应填答案4。

参考答案
1．B
【解析】设的展开式中的第r+1项为项为当n为偶数时，令n-2r=0,得令n-2r=-2，得故原式展开式中常数项为代入下面的选项检验得n=8，显然当n为奇数时，不存在常数项，故可得n=8. 故选B.
2．A
【解析】 由二项式的展开式为，
令，即，
经验证可得，故选A.
点睛：根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
3．D
【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为
Tr+1=C20r(3x)20-r(13x)r=C20r320-r2x20-43r，由题得20-43r为整数，所以r=0,3,6,9,12,15,18.故选D.
4．D
【解析】由题得总的基本事件个数为C53=10,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有C32C11=3种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有C22C21=2
种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得P(A)=610=35，故选D.
5．B
【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：
种.
本题选择B选项.
6．C
【解析】令可得： ，令可得： ，
则： .
本题选择C选项.
7．C
【解析】因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有种情况，其余年级均有种选择，所以共有种情况，根据分步计数乘法原理可得共有种情况，故选C.
8．D
【解析】令x=0，得a0=24=16，令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=34=81，
所以a1+a2+a3+a4=65．
故选D．
9．A
【解析】从名同学选出名同学共有种情况，
其中，选出的人都是男生时，有种情况，
因女生有人，故不会全是女生，
所以人中，即有男生又有女生的选法种数为．
故选．
10．B
【解析】根据题意，从6人中任选4人，担任4种不同的职务，有A46=360种不同的情况，
其中甲担任书记的有A53=60种，乙担任书记的有A53=60种；
故若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数360−60−60=240种；
故选B.
11．B
【解析】第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有C41C31=12种，
第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有C41C31=12种，
第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有C41=4种，
根据分类计数原理可得，12+12+4种，
故选：B.
12．2
【解析】展开式的通项为，又令，得将 代入可得， ，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
13．20
【解析】因为在二项式的展开式中，只有第4项的系数最大，所以展开式有7项，所以n=6. 所以展开式的通项为
所以展开式中项的系数为故填20.
14．5
【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.
15．60.
【解析】二项式(x+2y)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(2y)r=2rC6rx6-ryr.
令6-r=4，则r=2.
∴展开式中x4y2的系数为22C62=4×6×52=60
故答案为60.
16．160
【解析】展开式的通项为： ，
令，所以系数为：
故答案为：160
17．15
【解析】∵二项式x-1xn的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n=6 ，
则展开式中的通项公式为Tr+1=C6r⋅（-1）rx6-32r ．
令6-32r=0，求得r=4 ，故展开式中的常数项为C64⋅（-1）2=15. ，
故答案为15.
18．112
【解析】由题意可得： ，
结合二项式展开式通项公式可得： ，
令可得： ，则常数项为： .
19．18
【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为
故答案为：18.
20． 1 60
【解析】令x=0 得：1=a0+a1+a2+⋯+a6
因为(2x+1)6=[-1+2(x+1)]6 ，
所以Tr+1=C6r(-1)6-r2r(x+1)r∴a2=C62(-1)6-222=60.
点睛：赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.
21．6
【解析】∵(x+2)n=[(x-1)+3]n∴Cn232=135∴n(n-1)2=15∴n=6. (负舍)
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
22．1
【解析】，所以展开式中的系数为
．

答案第9页，总10页