(2015)圆的有关性质练习及标准答案.docx

圆的有关性质【知识要点】1圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。由此得到推论：（1） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。5.圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。7弧的度数等于它所对的圆心角的度数。8.圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】一、选择题1平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014毕节地区）如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014珠海）如图，线段AB是O的直径，弦CD丄AB，CAB=20，则AOD等于（） A 160 B 150 C 140 D 1204.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD100，则BCD的度数为（ ）A、50B、80C、100D、1305.（2015上海）如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A、ADBD；B、ODCD；C、CADCBD；DOCAOCB6 如图：是小明完成的.作法是：取O的直径AB，在O上任取一点C引弦CDAB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，OCD的平分线与O的交点P必（ ）A。 平分弧AB B。到点D和直径AB的距离相等C三等分弧ABD.到点B和点C的距离相等O7如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为（ ）度 A 10 B 15 C 25 D 308下列语句中正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧；等弧所对的圆心角相等A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对9（2015湖北荆州）如图，A，B，C是O上三点，ACB=25，则BAO的度数是（）A55 B60 C65 D7010（2015甘肃兰州,）如图，经过原点O的P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则ACB=A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定#11（2015威海）如图，已知AB=AC=ADCBD=2BDC，BAC=44，则CAD的度数为（）A68 B88 C90 D112#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ ）A B9 C D二填空13 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_.14(2015江苏南昌,)如图，点A, B, C在O上，CO的延长线交AB于点D,A=50,B=30则ADC的度数为 .15(2015江苏南京)如图，在O的内接五边形ABCDE中，CAD=35，则B+E= _ 16（2015江苏徐州）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，连接AC若CAB=22.5，CD=8cm，则O的半径为 cm17(浙江省绍兴市）如图，已知点A（0，1），B（0，1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则BAC等于 18（2015江苏泰州,）如图，O的内接四边形ABCD中，A=115，则BOD等于_. 19. 如图，点A、B、C、D在O上，O点在D的内部，四边形OABC为平行四边形，则OAD+OCD=_.20(2015贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R 米21（2015浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 m22（2014菏泽）如图，在ABC中A=25，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，ADCPBO则的度数为 ADCPBO23如图O中，弦的延长线相交于点，如果，那么三 解答题24AB为O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半径.25.如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点EK为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD求证：AKD=CKF；26 在半径为1的O中，弦AB、AC分别是、，求BAC的度数的多少27如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?28如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E（1）求ACB的度数；（2）求证：AECE；29（2015浙江滨州）如图,O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，ACB的平分线交O于点D.（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长.四、附加题30. (2014年天津市)已知O的直径为10，点A，点B，点C在O上，CAB的平分线交O于点D（1）如图，若BC为O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（2）如图，若CAB=60，求BD的长30. 如图，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O交AB、AC于D、E.(1) 求证：DOE是等边三角形.(2)若A=60，ABAC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.解：（1）BAC是等边三角形，B=C=60OD=OB=OE=OC，OBD和OEC都是等边三角形BOD=COE=60DOE=60ODE是等边三角形（2）结论（1）仍成立证明：连接CD，BC是直径，BDC=90ADC=90A=60，ACD=30DOE=2ACD=60OD=OE，ODE是等边三角形32.如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,垂直AB,垂足为E，BD交CE于点F,(1)求证：CF=BF (2) 若AD=2，圆O的半径为3，求BC的长证明：(1)连接AC，则ACB=90，易证BCF=BACC是弧BD的中点弧BC=弧CDBAC=CBFCBF=BCFBF=CF(2) 连接OC，交BD于点MC是弧BD的中点OCBD则OM=1/2AD =1CM =2根据勾股定理BD=42BM=22CM=2BC=2333已知：等边内接于O，点是劣弧BC上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如左图，请你判断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如右图，又是什么三角形？为什么？解：（1）ABC为等腰三角形，AC=BC，BAC=60，AP过圆心O，AP平分CAB，AP为直径，CAP=30，ACP=90，CP=AP=10=5（cm），在CAP和CBD中，CAPCBD，CP=CD，CPD=CAB=60，PCD为等边三角形，CD=PC=5cm； (2)先证APCBDC(过程同上) PC=DCBAP+PAC=60 BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC=BAP+PAC=60 PC=DC PDC为等边三角形圆的有关性质【知识要点】1圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。由此得到推论：（2） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。5.圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。7弧的度数等于它所对的圆心角的度数。8.圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】一、选择题1平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ C ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014毕节地区）如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ B ）A 6 B 5 C 4 D 34. （ 2014珠海）如图，线段AB是O的直径，弦CD丄AB，CAB=20，则AOD等于（ C） A 160 B 150 C 140 D 1204.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD100，则BCD的度数为（ D ）A、50B、80C、100D、1305.（2015上海）如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ B ）A、ADBD；B、ODCD；C、CADCBD；DOCAOCB6 如图：是小明完成的.作法是：取O的直径AB，在O上任取一点C引弦CDAB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，OCD的平分线与O的交点P必（ A ）A。 平分弧AB B。到点D和直径AB的距离相等C三等分弧ABD. 到点B和点C的距离相等O7如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为（ B）度 A 10 B 15 C 25 D 308下列语句中正确的有（ C ）相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧；等弧所对的圆心角相等A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对9（2015湖北荆州）如图，A，B，C是O上三点，ACB=25，则BAO的度数是（C）A55 B60 C65 D7010（2015兰州,）如图，经过原点O的P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则ACB=(B )A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定#11（2015威海）如图，已知AB=AC=ADCBD=2BDC，BAC=44，则CAD的度数为（B）A68 B88 C90 D112#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ C ）A B9 C D二填空13 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_2.5或6.5cm_.14(2015江苏南昌,)如图，点A, B, C在O上，CO的延长线交AB于点D,A=50,B=30则ADC的度数为 110 .15(2015江苏南京)如图，在O的内接五边形ABCDE中，CAD=35，则B+E= _21516（2015江苏徐州）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，连接AC若CAB=22.5，CD=8cm，则O的半径为4 cm17(浙江省绍兴市）如图，已知点A（0，1），B（0，1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则BAC等于 6018（2015江苏泰州,）如图，O的内接四边形ABCD中，A=115，则BOD等于_130_. 19. 如图，点A、B、C、D在O上，O点在D的内部，四边形OABC为平行四边形，则OAD+OCD=_60_.20(2015贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R 25 米21（2015浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 16 m22（2014菏泽）如图，在ABC中A=25，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，ADCPBO则的度数为 50 ADCPBO23如图O中，弦的延长线相交于点，如果，那么 35 三 解答题24AB为O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半径.25.如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点EK为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD求证：AKD=CKF；证明：连接AD、ACCKF是圆内接四边形ADCK的外角，CKF+AKC=180，AKC+ADC=180CKF=ADC；AB为O的直径，弦CDAB，= BCADC=AKD，AKD=CKF；26 在半径为1的O中，弦AB、AC分别是、，求BAC的度数的多少27如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?28如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E（1）求ACB的度数；（2）求证：AECE；解：（1）AB为O的直径，ACB=90（2）证明：连接AG，AB为直径，且ABCG，AC=AG，又AC=CF，AG=CF，ACG=CAF，AE=CE29（2015浙江滨州）如图,O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，ACB的平分线交O于点D.（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长.（2）连接OD.CD平分ACB，ACD=BCD, AOD=BOD，AD=BD，BAD=ABD=45在RtABD中，BD=.四、附加题29. (2014年天津市)已知O的直径为10，点A，点B，点C在O上，CAB的平分线交O于点D（1）如图，若BC为O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（2）如图，若CAB=60，求BD的长27. 如图，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O交AB、AC于D、E.(2) 求证：DOE是等边三角形.(2)若A=60，ABAC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.解：（1）BAC是等边三角形，B=C=60OD=OB=OE=OC，OBD和OEC都是等边三角形BOD=COE=60DOE=60ODE是等边三角形（2）结论（1）仍成立证明：连接CD，BC是直径，BDC=90ADC=90A=60，ACD=30DOE=2ACD=60OD=OE，ODE是等边三角形28.如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,垂直AB,垂足为E，BD交CE于点F,(1)求证：CF=BF (2)若CD=6，AC=8，求圆O的半径和CE的长证明：连接AC，则ACB=90，易证BCF=BACC是弧BD的中点弧BC=弧CDBAC=CBFCBF=BCFBF=CF连接OC，交BD于点MC是弧BD的中点OCBD则OM=1/2AD =1CM =2根据勾股定理BD=42BM=22CM=2BC=2330已知：等边内接于O，点是劣弧BC上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如左图，请你判断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如右图，又是什么三角形？为什么？(1) ABC为等边三角形 AC=BC， 又在O中PAC=DBCAP=BD APCBDC PC=DC 又AP过圆心O，AB=AC，BAC=60BAP=1/2PAC=BAC=3O BAP=BCP=30，PBC=PAC=30 CPD=PBC+BCP=30+30=60 PDC为等边三角形 (2)先证APCBDC(过程同上) PC=DCBAP+PAC=60 BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC=BAP+PAC=60 PC=DC PDC为等边三角形31如图，是O的内接三角形，为O中弧AB上一点，延长至点，使（1）求证：；（2）若，求证：证明：（1）CA=CB，弧CA=弧CB，CDE=CAB又CE=CD，CA=CB，ACB=ECD,ECA=DCB，又，CE=CD,CA=CB，CAECBD（SAS）AE=BD,(2)由（1）AE=BD,AD+BD=AD+AE=DEACB=ECD=90，即为等腰RTCEDAD+BD=AD+AE=DE1.如图，已知CA=CB=CD,过三点A,C,D的o交AB于点F.求证：CF平分角BCD证明：连接AD，CA=CD，D=CADD=CFA，CAD=CFACFA=B+FCB，CAF+FAD=B+FCBCA=CB，CAF=B，FAD=FCB，FAD=FCD，FCB=FCD，CF平分BCD 2.如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，BFC=BAD=2DFC求证：（1）CDDF；（2）BC=2CD令CFD=x,则BAD=BFC=2x四边形ABCD是圆O的内接四边形，BAD+BCD=180，即BCD=180-2x又AB=AD，有图中1=2，即有1=2=90-xCDF中，CFD+1=x+(90-x)=90CDF=90，即CDDF(2)过F做FG垂直BC因为ACB=ADB又BFC=BAD所以FBC=ABD=ADB=ACB则FB=FC所以FG平分BC，G为BC中点，GFC=1/2BAD=DFC证明三角形FGC全等于三角形DFC（GFC=DFC,FC=FC,ACB=ACD）所以CD=GC=1/2BCBC=2CD31、如图，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长23如图，AB是O的直径，C是O上的一点，CE平分DCO，交O于E，弧AE=弧EB求证： CDAB24如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米时，是否要采取紧急措施?25如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ACCF，CDAB于D，且交O于G，AF交CD于E（1）求ACB的度数；（2）求证：AECE；(2014年天津市，第21题10分)已知O的直径为10，点A，点B，点C在O上，CAB的平分线交O于点D（）如图，若BC为O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（）如图，若CAB=60，求BD的长解：（）如图，BC是O的直径，CAB=BDC=90在直角CAB中，BC=10，AB=6，由勾股定理得到：AC=8AD平分CAB，=，CD=BD在直角BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，易求BD=CD=5；（）如图，连接OB，ODAD平分CAB，且CAB=60，DAB=CAB=30，DOB=2DAB=60又OB=OD，OBD是等边三角形，BD=OB=ODO的直径为10，则OB=5，BD=526如图，是O的内接三角形，为O中弧AB上一点，延长至点，使（1）求证：；（2）若，求证：证明：（1）因为CA=CB，所以弧CA=弧CB，所以CDE=CAB又因为CE=CD，CA=CB，ACB=ECD,ECA=DCB，又因为，CE=CD,CA=CB，所以CAE全等于CBD（SAS）所以AE=BD,(2)由（1）AE=BD,所以AD+BD=AD+AE=DEACB=ECD=90，即为等腰RTCEDAD+BD=AD+AE=DE=根号2CD27已知：等边内接于O，点是劣弧BC上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如左图，请你判断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如右图，又是什么三角形？为什么？(2) ABC为等边三角形 AC=BC， 又在O中PAC=DBCAP=BD APCBDC PC=DC 又AP过圆心O，AB=AC，BAC=60BAP=1/2PAC=BAC=3O BAP=BCP=30，PBC=PAC=30 CPD=PBC+BCP=30+30=60 PDC为等边三角形 (2)先证APCBDC(过程同上) PC=DCBAP+PAC=60 BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC=BAP+PAC=60 PC=DC PDC为等边三角形四、附加题28.如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度数为120，连接PB（1）求BC的长；（2）求证：PB是O的切线2如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC（1）求证：AC是O的切线：（2）若BF=8，DF=，求O的半径r31、如图，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长（1）解：连接OB，弦ABOC，劣弧AB的度数为120，弧BC与弧AC的度数为：60，BOC=60，OB=OC，OBC是等边三角形，BC=OC=2；（2）证明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等边三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，点B在O上，PB是O的切线解答：（1）证明：连接OA、OD，D为弧BE的中点，ODBC，DOF=90，D+OFD=90，AC=AF，OA=OD，CAF=CFA，OAD=D，CFA=OFD，OAD+CAF=90，OAAC，OA为半径，AC是O切线；（2）解：O半径是r，当F在半径OE上时，OD=r，OF=8r，在RtDOF中，r2+（8r）2=（）2，r=，r=（舍去）；当F在半径OB上时，OD=r，OF=r8，在RtDOF中，r2+（r8）2=（）2，r=，r=（舍去）；即O的半径r为（1）证明：连结OC，如图，C是劣弧AE的中点，OCAE，CGAE，CGOC，CG是O的切线；（2）证明：连结AC、BC，AB是O的直径，ACB=90，2+BCD=90，而CDAB，B+BCD=90，B=2，AC弧=CE弧，1=B，1=2，AF=CF；（3）解：在RtADF中，DAF=30，FA=FC=2，DF=AF=1，AD=DF=，AFCG，DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，AG=2CAB在中，分别以.为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）解：如图阴影部分面积=阴影1+阴影3+阴影5大半圆的面积=阴影1+空白2+阴影3=2小半圆的面积=阴影3+空白4+阴影5=0.5三角形的面积=空白2+阴影3+空白4=4所以有阴影部分面积=大半圆的面积+小半圆的面积-三角形的面积=1.5-4# 24. 如图，AB是圆O的直径AB=2,OC是圆O半径OC垂直AB点D在弧AC上，弧AD=2弧CD,P是OC上的动点，则AP+PD最小值是 16 / 16