求不定积分的几种基本方法.ppt
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1、5.2 求不定积分的几种基本方法求不定积分的几种基本方法一、第一类换元法(凑微分法)第一类换元法(凑微分法).上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出先看下例:例例1 求解解设则.一般地,如果是的一个原函数,则而如果又是另一个变量的函数且可微,那么根据复合函数的微分法,有由此得.是具有原函数于是有如下定理:定理定理1 设可导,则有换元公式(5-2)由此可见,一般地,如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算,而其被积表达式能表示为的形式,且较易计算,那么可令.代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法第一类换元法.由于在积分过程中,先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法
2、也称为凑微分法凑微分法.例例2 求解解.再以代入,即得例例3 求 解解 被积函数 可看成 与 构成的复合 函数,虽没有 这个因子,但我们可以凑出这个因子:,如果令 便有.,一般地,对于积分 总可以作变量代换,把它化为.,例例4 求 解解 令 则.,例例5 求 解解 令,则,有 凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤.例例7 求 例例6 求 解解 解解.解解 例例8 求.例例9 求 解解 类似地可得.例例10 求 解解 .例例11 求 解解 类似地可得.类似地可得例例12 求 解解 例例13 求 解解.第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式
3、:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10).二二、第二类换元法第二类换元法 第一类换元法是通过变量代换,将积分 化为积分 第二类换元法是通过变量代换,将积分 化为积分 在求出后一个积分后,再以 反函数 代回去,这样换元积分公式可表示为:上述公式的成立是需要一定条件的,首先等式右边的不定积分要存在,即被积函数 的.有原函数;其次,的反函数 要存在.我们有下面的定理 定理定理2 设函数 连续,单调、可导,并且,则有换元公式(5-3)下面举例说明公式(5-3)的应用.例例14 求 解解 遇到根式中是一次多项式时,可先通过适当的换元将被积函数有理化,然后再积分 令,则,故.例例1
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