数字控制器的离散化设计.ppt
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1、常规及复杂控制技术(二)数字控制器的离散化设计数字控制器的离散化设计.主要内容主要内容 1、采样系统基础、采样系统基础 2、数字控制器离散化设计步骤、数字控制器离散化设计步骤 3、最少拍控制器的设计、最少拍控制器的设计 4、最少拍无波纹控制器的设计、最少拍无波纹控制器的设计 5、数字控制器的程序实现方法、数字控制器的程序实现方法.数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计的基本思想是在连续的基本思想是在连续时间域设计出满足控制性能要求的模拟控制器,时间域设计出满足控制性能要求的模拟控制器,再通过某种近似将模拟控制器转换成数字控制再通过某种近似将模拟控制器转换成数字控制器。器。这种方法一般要求
2、采样周期尽量小(这种方法一般要求采样周期尽量小(T越小,越小,离散系统越接近连续系统)。对控制品质要求离散系统越接近连续系统)。对控制品质要求不高,且模拟控制器比较简单时,该方法有效。不高,且模拟控制器比较简单时,该方法有效。.当计算机控制系统对控制品质要求比较高,当计算机控制系统对控制品质要求比较高,或者由于控制任务的需要选择比较大的采样或者由于控制任务的需要选择比较大的采样周期时,则必须从被控对象的特性出发,将周期时,则必须从被控对象的特性出发,将被控对象进行离散化变成离散系统,根据计被控对象进行离散化变成离散系统,根据计算机控制理论算机控制理论(采样控制理论采样控制理论)来设计数字控制来
3、设计数字控制器,这类方法称为数字控制器的器,这类方法称为数字控制器的离散化设计离散化设计或数字控制器直接设计或数字控制器直接设计。离散化设计比连续化设计更具有一般意义,离散化设计比连续化设计更具有一般意义,它完全是根据离散控制系统的特点进行分析它完全是根据离散控制系统的特点进行分析和综合,并得出相应的控制规律和算法。和综合,并得出相应的控制规律和算法。.5.2.1 采样系统基础采样系统基础1、采样系统的、采样系统的Z变换变换 对连续信号对连续信号x(t)进行周期为进行周期为T的采样,可以得到采样信号的采样,可以得到采样信号x*(t),它也可以看作是连续信号对脉冲系列,它也可以看作是连续信号对脉
4、冲系列的调制,即的调制,即 对上式进行拉氏变换,可以得到对上式进行拉氏变换,可以得到引入记号引入记号 由上式可以定义一种新的变换由上式可以定义一种新的变换它称为采样信号的它称为采样信号的Z变换变换.典型信号的典型信号的Z变换变换(1)单位脉冲函数)单位脉冲函数(2)单位阶跃函数)单位阶跃函数(3)单位速度函数)单位速度函数(4)单位加速度函数)单位加速度函数(5)典型输入函数)典型输入函数.Z变换的性质变换的性质线性定理线性定理延迟定理延迟定理超前定理超前定理初值定理初值定理终值定理终值定理卷积定理卷积定理.2、Z传递函数传递函数 设离散系统的输入脉冲系列为设离散系统的输入脉冲系列为xi,输出
5、脉冲系列为,输出脉冲系列为yi,它们的,它们的Z变换分别为变换分别为X(z)和和Y(z),则可定义该离散系,则可定义该离散系统的统的Z传递函数为传递函数为 Z传递函数也称为脉冲传递函数传递函数也称为脉冲传递函数,它表征了离散系统对,它表征了离散系统对采样信号的输入输出传递性能。采样信号的输入输出传递性能。Z传递函数的求解步骤(已知系统的连续传递函数传递函数的求解步骤(已知系统的连续传递函数G(s))(1)根据)根据G(s)求出系统脉冲响应函数求出系统脉冲响应函数(2)确定系统脉冲响应函数在采样时刻)确定系统脉冲响应函数在采样时刻t=iT的值的值gi(3)根据)根据Z变换定义得到系统的变换定义得
6、到系统的Z传递函数传递函数.3、采样系统的稳定性、采样系统的稳定性如果采样系统如果采样系统Z传递函数传递函数 G(z)的极点的极点 zi 在在Z平面的平面的单单位圆内位圆内,则采样系统是,则采样系统是稳定稳定的,对于有界的输入,系的,对于有界的输入,系统的输出收敛于某一有限值;统的输出收敛于某一有限值;如果某一极点如果某一极点 zj 在在单位圆上单位圆上,则系统,则系统临界稳定临界稳定,对于,对于有界的输入,系统的输出持续地等幅振荡;有界的输入,系统的输出持续地等幅振荡;如果如果 G(z)的极点至少有一个在的极点至少有一个在单位圆外单位圆外,则采样系统,则采样系统是是不稳定不稳定的,对于有界的
7、输入,系统的输出发散的,对于有界的输入,系统的输出发散.4 差分方程差分方程l采样系统的数学模型用差分方程描述。采样系统的数学模型用差分方程描述。l差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。的函数关系。l差分方程由输出序列差分方程由输出序列y(k),及其移位序列,及其移位序列y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)、,以及输入序列,以及输入序列u(k),及,及其移位序列其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、,所,所构成。(构成。(k=0,1,2,)l序列中序列中 k 即即 kT,k=0T为研究开始时刻,为研究开始时刻,kT 可以
8、理解为当前时刻,而可以理解为当前时刻,而(k-1)T为前一采样时为前一采样时刻。刻。.差分方程的建立:差分方程的建立:l数字系统中,由算法决定。数字系统中,由算法决定。l连续系统被采样时:连续系统被采样时:首先在时域内求出微分方程首先在时域内求出微分方程将采样序列代入方程将采样序列代入方程用差分代替求导用差分代替求导用求和代替积分用求和代替积分例:惯性系统例:惯性系统 被采样后的差分方程:被采样后的差分方程:.5.2.2 数字控制器离散化设计步骤数字控制器离散化设计步骤1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件,确定所需、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件,确定所需的闭环脉冲传递函数的
9、闭环脉冲传递函数(z)2、求广义对象的脉冲传递函数、求广义对象的脉冲传递函数G(z)3、求取数字控制器的脉冲传递函数、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z).4、根据、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式求取控制算法的递推计算公式 设数字控制器设数字控制器D(z)的一般形式为:的一般形式为:数字控制器的输出数字控制器的输出U(z)为:为:将上式进行将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器反变换得到差分形式的公式得到数字控制器D(z)的计算机控制算法为:的计算机控制算法为:按照上式,就可编写出控制算法程序。按照上式,就可编写出控制算法程序。.5.2.3 最少拍控制器的设计最少拍控制器的
10、设计所谓最少拍控制,就是要求所得到的闭环系统对于某种特定所谓最少拍控制,就是要求所得到的闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态,且其闭环脉的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态,且其闭环脉冲传递函数式有如下的形式:冲传递函数式有如下的形式:式中式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在脉冲响应在N个采样周期后变为零,输出保持不变,从而意味个采样周期后变为零,输出保持不变,从而意味着系统在着系统在N拍之内达到稳态。拍之内达到稳态。最少拍控制实质上是时间最优控制,最少拍控制系统也称为最少拍控制实质上是时间
11、最优控制,最少拍控制系统也称为最小调整时间系统或最快响应系统。最少拍控制常应用于随最小调整时间系统或最快响应系统。最少拍控制常应用于随动系统,伺服系统、运动控制中。动系统,伺服系统、运动控制中。.最少拍控制系统设计的要求最少拍控制系统设计的要求(1)对特定的参考输入信号,在到达稳态后,)对特定的参考输入信号,在到达稳态后,系统系统在采样点在采样点的输出值准确跟随输入信号,的输出值准确跟随输入信号,不存在静差不存在静差 (2)在各种使系统在有限拍内到达稳态的设)在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中,系统准确跟踪输入信号所需的控制周计中,系统准确跟踪输入信号所需的控制周期数最少期数最少(3)数字
12、控制器必须在物理上可以实现)数字控制器必须在物理上可以实现(4)闭环系统必须是稳定的)闭环系统必须是稳定的.设计步骤设计步骤(1)求广义对象的脉冲传递函数)求广义对象的脉冲传递函数G(z)(2)确定所需要的闭环脉冲传递函数确定所需要的闭环脉冲传递函数(z)(3)确定数字控制器的脉冲传递函数确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)(4)根据根据D(z)求取控制算法的递推计算公式求取控制算法的递推计算公式.1最小拍数字控制器设计最小拍数字控制器设计误差误差E(z)的脉冲传递函数为:的脉冲传递函数为:典型输入函数典型输入函数 对应的对应的z变换变换.根据根据z变换的终值定理,系统的变换的终值定理,系统的
13、稳态误差稳态误差为为 由于由于B(z)没有没有(1-z-1)因子,因此要使稳态误差因子,因此要使稳态误差e()为零,为零,必须有必须有 e(z)=1-(z)=(1-z-1)q F(z)(z)=1-e(z)=1-(1-z-1)q F(z)这里这里F(z)是关于是关于z-1的待定系数多项式。的待定系数多项式。为了使为了使(z)能够实现,能够实现,F(z)中的首项应取为中的首项应取为1,即:,即:F(z)=1+fz-1+f2z-2+fpz-p.显显然然,(z)具具有有z-1的的最最高高幂幂次次为为N=p+q,这这表表明明系系统统闭闭环环响响应在采样点的值经应在采样点的值经N拍可达到稳态。拍可达到稳态
14、。特特别别当当P=0时时,即即F(z)=1时时,系系统统在在采采样样点点的的输输出出可可在在最最少少拍拍(q拍拍)内内达达到到稳稳态态,即即为为最最少少拍拍控控制制。因因此此最最少少拍拍控控制制器器设设计计时选择时选择(z)为:为:(z)=1-e(z)=1-(1-z-1)q F(z)=1-(1-z-1)q最少拍控制器最少拍控制器D(z)为:为:.2、典型输入下的最少拍控制系统分析、典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶跃输入()单位阶跃输入(q=1)输入函数输入函数r(t)=1,其其z变换为:变换为:由最少拍控制器设计时选择的系统闭环传函为:由最少拍控制器设计时选择的系统闭环传函为:误差函
15、数:误差函数:进一步得到系统输出为:进一步得到系统输出为:上两式说明系统只需上两式说明系统只需1拍(一个采样周期)输出就能跟踪输拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入,误差为零,系统进入稳态。入,误差为零,系统进入稳态。.(2)单位速度输入()单位速度输入(q=2)输入函数输入函数r(t)=t,其其z变换为:变换为:由最少拍控制系统闭环传函为:由最少拍控制系统闭环传函为:误差函数:误差函数:进一步得到系统输出为:进一步得到系统输出为:以上两式说明,只需两拍以上两式说明,只需两拍(两个采样周期两个采样周期)输出就能跟踪输入,输出就能跟踪输入,达到稳态,过渡过程结束。达到稳态,过渡过程结束。.(2)单
16、位加速度输入()单位加速度输入(q=3)输入函数输入函数r(t)=(1/2)t,其其z变换为:变换为:由最少拍控制系统闭环传函为:由最少拍控制系统闭环传函为:误差函数:误差函数:系统输出为:系统输出为:以上两式说明,上式说明,只需三拍以上两式说明,上式说明,只需三拍(三个采样周期三个采样周期)输出就能输出就能跟踪输入,达到稳态。跟踪输入,达到稳态。.例1:已知被控对象为:采样周期T=1s,输入为单位速度求:最少拍数字控制器解:对象广义的脉冲传递函数为:.在单位速度输入下,最少拍控制系统闭环传函为:在单位速度输入下,最少拍控制系统闭环传函为:最少拍控制器最少拍控制器D(z)为:为:结果分析:结果
17、分析:系统的误差为:系统的误差为:系统输出为:系统输出为:.单位速度输入下输出和误差变化波形单位速度输入下输出和误差变化波形单位阶跃输入时:单位阶跃输入时:单位加速度输入时:单位加速度输入时:.单位斜坡输入仿真 误差 输出响应.单位阶跃输入仿真 误差 输出响应.单位加速度输入仿真 误差 输出响应.最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍,但对于其它典型输入不一定为最少拍,应为最少拍,但对于其它典型输入不一定为最少拍,甚至会引起大的超调和静差。甚至会引起大的超调和静差。一般来说,针对一种典型的输入函数一般来说,针对一种典型的输入函数R(z
18、)设计,得设计,得到系统的闭环脉冲传递函数到系统的闭环脉冲传递函数(z),用于,用于次数较低次数较低的的输入函数输入函数R(z)时,系统将出现时,系统将出现较大的超调,响应时较大的超调,响应时间也会增,但在采样时刻的误差为零间也会增,但在采样时刻的误差为零。反之,当一种典型的最少拍特性用于反之,当一种典型的最少拍特性用于次数较高次数较高的输的输入函数时,输出将不能完全跟踪输入以致入函数时,输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态产生稳态误差。误差。由此可见,一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数由此可见,一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。只适应一种特定的输入而
19、不能适应于各种输入。.3、最少拍控制器设计的限制条件、最少拍控制器设计的限制条件 前面的关于最小拍控制器的设计要求广义对象前面的关于最小拍控制器的设计要求广义对象的脉冲传递函数的脉冲传递函数G(z)是稳定的,在单位圆上和单位圆是稳定的,在单位圆上和单位圆外没有零、极点,并且没有纯滞后因子。外没有零、极点,并且没有纯滞后因子。(1)最少拍控制的物理实现问题最少拍控制的物理实现问题数字控制器的脉冲传递函数中,不能有数字控制器的脉冲传递函数中,不能有z的正幂的正幂次项,即不能含有超前环节。否则在控制算法中,将次项,即不能含有超前环节。否则在控制算法中,将出现未来时刻的偏差值。出现未来时刻的偏差值。.
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