初3第4讲圆专题1.doc

名师堂屈老师数学 传递 唤醒 激励。 春季班专用教材（4） 初三（下）数学 第四讲 圆的证明与计算专题解析 圆的证明与计算是中考的一类重要的考题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是证明比例式或等积式成立，或证明三角形相似；第3问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D点，求证：CD为O的切线；（2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是O的切线.（3）如图，以等腰ABC的一腰为直径作O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点），求证：DE是O的切线.（4）如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是O的切线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结论有：1、 2、 （3）如图（4）：若CKAB于K，则： ADCACB （4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图5），则： 图形2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有：（1） （2） （3） （4） 图形3：如图：RtABC中，ABC=90,以AB为直径作O交AC于D，基本结论有：如右图：（1） （2）若DE切O，则： ； D、O、B、E四点共圆 图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则： ; 图形4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1） （2）在DEAC或DE切O下，有： ；D是 的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。图形5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有：（1） （2）如图2，连AE、CO，则有： (与基本图形2重合)（3）如图3，若EFAB于F，交AC于G，则： 图形6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：（1） ；（2） ；（3） 图形7：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：（1）如图1， ； ;（2）如图2，若BAC=60，则： .图形8：已知，AB是O的直径，C是 中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：（1） (反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)（2） （3） （4）若D是OB的中点，则： ； 四、范例讲解：例1、（2011贵州安顺）已知：如图，在ABC中，BC=AC，以BC为直径的O与边AB相交于点D，DEAC，垂足为点E求证：点D是AB的中点；判断DE与O的位置关系，并证明你的结论；若O的直径为18，cosB =，求DE的长例2、（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为O的切线，A为切点过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交O于点B延长BO与O交于点D，与PA的延长线交于点E（1）求证：PB为O的切线；（2）若tanABE=，求sinE的值 【巩固训练】1、（2011杭州模拟）如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PA=PBABCOP(1)求证：PB是O的切线； (2)已知PA=，BC=1，求O的半径2、（2011四川宜宾）已知：在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧上到一点E使EBC=DEC，延长BE依次交AC于G，交O于H（1）求证：ACBH；（2）若ABC=45，O的直径等于10，BD=8，求CE的长4