大一下册高数习题册答案第9章.doc
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第9章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设. 二、求下列函数的定义域: 1、 2、 三、求下列极限: 1、 (0) 2、 () 四、证明极限 不存在. 证明:当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着趋于(0,0)时,极限为, 二者不相等,所以极限不存在 五、证明函数 在整个xoy面上连续。 证明:当时,。当时, ,所以函数在(0,0)也连续。所以函数 在整个xoy面上连续。 六、设且当y=0时,求f(x)及z的表达式. 解:f(x)=,z § 2 偏导数 1、设z= ,验证 证明:, 2、求空间曲线在点()处切线与y轴正向夹角() 3、设, 求 ( 1) 4、设, 求 , , 解: , 5、设,证明 : 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续?是否可导(偏导)?说明理由 连续; 不存在, 7、设函数 f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求 (2fx(a,b)) § 3 全微分 1、单选题 (1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________ (A) 必要条件而非充分条件 (B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 (2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续,则全微分必不存在 (B)偏导数连续,则全微分必存在 (C)全微分存在,则偏导数必连续 (D)全微分存在,而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分: 1) 2) 解: 3) 解: 3、设, 求 解: = 4、设 求: 5、讨论函数在(0,0)点处 的连续性 、偏导数、 可微性 解: 所以在(0,0)点处连续。 ,所以可微。 §4 多元复合函数的求导法则 1、 设,求 解:= 2、 设,求 3、 设, 可微,证明 4、 设,其中具有二阶连续偏导数,求,, 解: , , = , 5、 设,其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数,求 解: , 6、 设,,,求 解:。 7、设,且变换 可把方程=0 化为 , 其中具有二阶连续偏导数,求常数的值 证明: 得: a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,, 又, 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3) § 5 隐函数的求导公式 1、 设,求 解:令, 2、 设由方程确定,其中可微,证明 3、 设由方程所确定,其中可微,求 4、 设,求, ( ,) 5、 设由方程所确定,可微,求 解:令 ,则 6、设由方程所确定,求 () 7、设z=z(x,y)由方程 所确定,求, , , § 6 微分法在几何中的应用 1、 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程 解:切线方程为 法平面方程 2、 求曲线 在(3,4,5)处的切线及法平面方程 解:切线方程为 ,法平面方程: 3、 求曲面在(1,-1,2)处的切平面及法线方程 解:切平面方程为 及法线方程 4、 设可微,证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行 证明:令,则 ,所以在()处的切平面与定向量()平行。 5、 证明曲面)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为 证明:令,则 在任一点处的切平面方程为 在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为 证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点 7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t, 总有 k为自然数,试证:曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 : 两边对t 求导,并令t=1 设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为: ++=0 此平面过原点(0,0,0) § 7 方向导数与梯度 1、 设函数, 1)求该函数在点(1,3)处的梯度。 2)在点(1,3)处沿着方向的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向 解:梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为,方向导数达到 最小值的方向为。 2、 求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。 解::方向导数 为,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 ,此时最大值为 3、 求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导数。 解::,,该函数在点(1,1,-1)处的方 向导数为, 4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。 解::, § 8 多元函数的极值及求法 1、求函数的极值。 答案:(,)极小值点 2.求函数的极值 答案:极小值 3. 函数在点(1,1)处取得极值,求常数a (-5) 4、 求函数在条件下的条件极值 解: ,极小值为 5、 欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。 (长和宽2米,高3米) 6、 在球面()上求一点,使函数 达到极大值,并求此时的极大值。利用此极大值证明 有 证明:令 令,解得驻点。所以函数在处达到极大值。极大值为。即,令得。 7、求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的 长度 解: ,, 长半轴 , 短半轴 第八章 自测题 一、选择题:(每题2分,共14分) 1、设有二元函数 则 [ ] A、存在; B、不存在; C、存在, 且在(0,0)处不连续; D、存在, 且在(0,0)处连续。 2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[ ] A、必要条件; B、充分条件; C、充要条件; D、既非必要也非充分条件。 3、函数 在(0,0)点处 [ ] A、极限值为1; B、极限值为-1; C、连续; D、无极限。 4、在处,存在是函数在该点可微分的 [ ] (A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (D)既非必要亦非充分条件。 5、点是函数的 [ ] (A)极小值点; ( B)驻点但非极值点; (C)极大值点; (D)最大值点。 6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ] (A); (B); (C); (D) 7、已知函数均有一阶连续偏导数,那么[ ] (A); (B) ; (C) ; (D) 二、填空题:(每题3分,共18分) 1、 ( 0 ) 2、设,则( ) 3、设则( 0 ) 4、设,则在点处的全微分. 5、曲线在点处的切线方程为( ) 6、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( ) 三、计算题(每题6分) 1、设,求的一阶偏导数 , 。 2、设,求此函数在点处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P到方向的方向导数 ( ,) 3、设具有各二阶连续偏导数,求 解: 4、设 求和。 不存在,故不存在,同理,也不存在。 当时,有 5、设由方程所确定,求 ( ) 6、设,具有连续的二阶偏导数,可导,求 7、设确定函数,求。 8、设,式中二阶可导,求 解:记,则 , 类似地,有 四、(10分)试分解正数为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小。 设三个正数为,则,记,令 则由 解出。 五、证明题:(10分) 试证:曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线,式中连续可导。 证明:曲面在任一点处的切平面的法向量为 定直线L的方向向量若为,则 ,即 则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。- 配套讲稿:
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