南邮电磁场第3章习题解答.doc

第3章习题解答3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)； (2)；(3)； (4)。解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。(1) (2) (3) (4) 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为的面电荷。试求球心处的电位。解：上顶面在球心产生的电位为下顶面在球心产生的电位为侧面在球心产生的电位为 式中。因此球心总电位为 3.6有和的两种介质分别分布在和的半无限大空间。已知时，。试求时的。解：由电场切向分量连续的边界条件可得 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 于是有3.9 如题3.9图所示，有一厚度为的无限大平面层，其中充满了密度为的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。解：由对称性可知，即。设各区域中的电位和电场强度分别为，和，。由电位所满足的微分方程 解得 由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为时 时 又根据对称性可知，在的平面上，电场强度是为零的，即时，。最后再选择零电位参考点使得时，。联立解得 。只要利用就可以得到时， 时 时， 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。 根据对称性只需求出的解，即和。3.10 位于和处的两个无限大导电平面间充满了的体电荷。若将处的导电平板接地，而将处的导电平板加上电压。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，且满足一维泊松方程其通解为 由 而由 因此板间电位分布为 板间电场强度为 从该式可以求出电场强度为零的位置为由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为3.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和。当两极板之间外加电压时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为根据已知条件和，解得和，即平板电容器中的电位分布为根据，可以得到平板电容器中的电场分布为 对平板上，面电荷密度分别为总电量为 电容器的电容为 对于图b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为 和 根据已知条件和，以及分界面处的边界条件和可以解得 和 根据，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为 和 对平板上，面电荷密度为 总电量为 电容器的电容为 3.12 已知在半径为的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为和。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。解：取定圆柱坐标系，使轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知与和无关。圆柱体内外的电位和满足的微分方程分别为 和 它们的通解可以分别表示式为 和 由轴线上的电位应为有限值可得。而由圆柱体的表面电位为零可得 和 即 和 于是有 和 代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件得到，即。最后得到圆柱体内外的电位分别为 和 而圆柱体内外的电场强度分别为 和 3.13 如题3.13图所示，半径为的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为。其一半埋于介电常数为的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。解：根据题意，空间中电位分布与和无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为 和 根据不同介质分界面电位的连续性可知和，即 若设无限长导体圆柱上电位为0，也即，可得，即导体圆柱的面电荷密度为 单位长度导体圆柱的电量为 即 于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为 和 3.14 如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质，其余是空气。当外加电压时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。解：根据题意，空间中电位分布与和无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为 和 根据不同介质分界面电位的连续性可知和，即由和可得到 和 可以解得 和 因此电容器内电位和电场强度的分布分别为 和 利用可以计算出电容器内面电荷密度分布为 和 那么单位长度总电荷为 因此单位长度的电容为 3.15在介电常数为的无限大介质中，均匀分布体密度为的电荷。若在该介质中挖了一个半径为的球形空腔（腔中的介电常数可视为）。利用直接积分法求出各处的电位分布和电场强度。（以球面为零电位参考点）解：根据场的对称性可知，即。设球形空腔内外的电位分别为和。解和得 和 考虑到时，场应是有界的，即。再利用边界连续条件时，以及给定的零电位参考点，即时，联立解得 ,和由此可得 ，3.16 顶端夹角为的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标的函数，满足一维的拉普拉斯方程 即 将上述方程分别直接积分两次，得出通解为 利用边界条件和解得 和 由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为 和 3.17如题3.17图所示，由两块形状相同的不相连矩形导体槽构成的无限长的矩形管，内填空气，但两者之间有一缝隙。当外加电压时，利用直角坐标系分离变量法求出矩形管内的电位分布。解：定解问题为，以及 和 设，其中和的满足的定解问题分别为，和，和由定解问题的边界条件和很容易得到 由，则，因此上式变成 代入边界条件，则得到 利用正弦函数的正交性可以得到积分得到 由定解问题，可知代入边界条件，则得到 最后得到电位分布为3.18 求题3.18图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：（1），；（2），；（3），；（4），。解：（1）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件可以得到 和 即 为了求解方便可以将上式改写为 如此一来，由边界条件可以直接得到，于是有式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成最后，将边界条件 代入上式，得 利用三角函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 （2）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件和可以得到由边界条件可以得到 式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成最后，将边界条件 代入上式，得 利用三角函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 （3）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件可以得到由边界条件可以得到 式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成最后，将边界条件 代入上式，得比较系数可以得到 和 其余的系数均为零。最后得到电位分布为 （4）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件和可以得到 由边界条件可以得到 式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成 最后，将边界条件 代入上式，得 利用三角函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 321两平行的无限大导体平板，距离为，其间有一薄片，如题3.21图所示。当上板电位为，下板电位为零，薄片电位为时，利用直角坐标系中的分离变量法求板间区域的电位分布。解：定解问题为，以及设，则其中的满足的定解问题为， 由定解问题的边界条件和很容易得到由有限，则，因此上式变成 代入边界条件，则得到 利用正弦函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 3.22 如题3.22图所示，已知矩形导体盒子顶面的电位分布为，其余的面上电位均为零。试求盒内的电位分布。解：利用分离变量法，根据盒子四个侧壁的齐次边界条件可以求出，式中。由于，所以该边值问题解的形式应为最后，根据盒子顶部的非齐次边界条件由可以得到 比较系数得到，因此问题的解为3.23 半径为的无限长圆柱面上分布着密度为的面电荷。试求圆柱面内、外的电位分布。解：取定圆柱坐标系，使轴与圆柱体的轴相重合。在此坐标系下，诸场量均与坐标无关，圆柱内部电位和圆柱外部电位均满足二维的拉普拉斯方程，其通解表示式可分别写为上列两式的待定系数可以利用下列的边界条件来确定：（1）在圆柱体的轴线上，电位为有限值，即（2）圆柱体表面的电荷在的地方所建立的电场已减弱至零，故时的电位边界条件为（3）在介质圆柱体的表面上满足电位边界条件，即 和 由于边界条件（1）和（2）可得， 和 ，即 代入边界条件（3）得到 和 首先比较上两式中常数项以及和项对应的系数，得出，将这些式子联立求解，得到 ，。再比较和()各项的系数，得出，将这些式子联立求解，得到 最后得到圆柱内外的电位分布函数分别为 和 3.24 如题3.24图所示半径为、长为的圆柱形空间，其内的场是轴对称的，试求该空间的电位分布，已知其边界条件为：（1），； （2），；（3），。解：(1)问题的解与无关，因此，定解问题为解法一：首先把上下边界齐次化，也即令，其中的满足定解问题为由分离变量法可得 由于，为有限的，那么。则上式变成 由侧面的边界条件可得 由三角函数的正交性可得 即 解法二：直接由侧面的边界条件将电位的通解写成由于，为有限的，那么，则上式变成 。由底面的边界条件可得 而由侧面的边界条件，可得 式中为零阶Bessel函数第个零点值。因此 利用顶面的边界条件可得 两边同乘，并对积分，那么 式中 于是得到由此可得空间的电位分布为 (2)问题的解与无关，根据边界条件可将通解选为 由于，为有限的，那么。则上式变成 由侧面的边界条件可得 利用三角函数的正交性可得 由此可得 (3)问题的解与无关，根据边界条件可将通解选为 由于，为有限的，那么。则上式变成 由侧面的边界条件可得 由三角函数的正交性可得 由此可得 3.25 如题3.25图所示横截面为扇形的柱形空间，场沿轴线方向不变。已知，试求此扇形区域内的电位分布。解：定解问题为。解法一：由于问题解与无关，则，则问题的通解可以选为由得到，则 由得到，即 ，于是有 由和分别得到下列 利用正弦函数的正交性可以得到系数和。解法二：根据场的叠加性，可设，其中的和满足的定解问题分别为和 的通解可以选为 由得到，则 由得到，即 ，于是有 由得到，即 最后利用三角函数的正交性，由得到 类似地，可以得到 即3.34如题3.34图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为处有一个点电荷，利用镜像法求导体以外的电位分布。解：由导体平面和导体球面的镜像法可知，为了满足所有的边界条件，需要有三个镜像电荷，和。它们分别位于，和。于是所要求的电位分布为其中13