第四章随机变量的数字特征-.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途第四章 随机变量的数字特征第三部分 1。 (方案的决定)某城市流行某种疾病,患者约占10,为开展防治工作,要对全城居民验血。现有两种方案:(1)逐个化验;(2)将4个人并为一组,混合化验.如果合格,则4个人只要化验一次;若发现有问题再对这组4个人逐个化验一次,恭化验5次,文这两种方案哪一种为好?(例题、数学期望)解:所谓方案好坏,在这里指的是化验次数的多少。这个问题的解决可以用两种方法来解决。为计算方便,设该城居民有 人,其中患者占 人,对方案(1),显然要化验 次。因此下面只考虑方案(2)的化验的次数。解法一:不使用概率的方法来解决。可以这样来设想,即从最坏处着想,
2、在分组时,每一组至多有一个患者,于是 人共分为 组,每组化验一次,共需化验 次;但其中有 组正好各有一个患者,因此每组需多化验4次,共需多化验 次。故总的化验次数为即方案(2)至多化验 次,故方案(2)为佳。解法二:使用概率的方法来解决。既不是从最坏处着想,也不是从最好处考虑,而是考虑平均的次数,也就是考虑化验次数的数学期望.因此,首先要提出一个随机变量 来描述这个问题。设 表示每组的化验次数,由于分组是随机的,所以每组的化验的次数是一个随机变量,且具有相同的分布律。令 表示总的化验次数。显然,某组4人中均无患者,此时只需要化验一次,故 。它的概率为,当 很大时,近似地有 。若化验不合格,则总
3、共需要化验5次,即 ,其概率为 ,于是 的概率分布为 ,从而每组化验次数的数学期望为 。于是对方案(2),化验次数的数学期望为。可见方案(2)优于方案(1),平均地来看,方案(2)的化验次数仅约为方案(1)的60.2。 (电梯问题) 个人在一楼进入电梯,楼上有 层。设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同,试求直到电梯中的乘客出空为止时,电梯需停次数的数学期望.(例题、数学期望)解:定义随机变量 表示电梯在第 层停的次数,即注意到,每个人在任何一层出电梯的概率均为 .若 个人同时不在第 层出电梯,那末电梯在该层就不停,而此时的概率为 ,故 。这样,电梯需停的总次数 ,故其数学期望为。电梯问题有它的
4、实际意义,曾经有人把它联系到热力学和宇宙射线计数器上去。但是,重要的是它的反问题你电梯问题,即在一个有 层楼(不计一楼)的房子中,假定我们从指示灯观察到电梯停止了 次,且如果每个人以等概率在任一层出电梯,那么关于在一楼进入电梯的乘客人数 ,我们可以做怎样的猜想,这是一个很有趣的问题。(有奖储蓄问题)在10万张有奖有息存款单中有各种奖如表所列,共2114个奖,每年2月、5月、8月、11月个开奖一次,假定开各种奖是独立的,问:(1)买一张存单,在一次开奖中能得825元奖金的概率多大?(2)买一张存单,其中奖概率是多大? 解:(1)如果某人买一张存单,而他的“运气特别好,各种奖都“中”了,就得奖金8
5、25元。比如说,此存单号码为90432,某次开奖时,头奖号码90432,副头奖号码也是90432,二等奖号码0342,三等奖号码342,四奖号码42,这样此人得奖金500200100205825(元)。为方便设表中得代号就是中相应奖得事件,于是l , , , , 。由于开各种奖是独立的,于是买一张存单中奖825元的概率为l 。可见这个概率非常之小,大约一千亿亿次才能遇到一次。l (2)用 表示中奖事件,则 ,注意到 是相容事件,所以应该利用广义加法来计算,但是这样计算过于复杂。因此,我们改用对立事件来计算。于是有,ll 这便是买一张存单在一次开奖中,“中奖”的概率,而“不中将”的概率为l3.
6、(试验的期望次数)设一个试验有 个等可能的结局,求至少一个结局接连发生 次的独立试验的期望次数。(例题、数学期望、试验的期望次数)解:显然独立是啊一年的次数 是随机变量, 的取值为 。如果我们把“至少一个结局接连发生 次”这一事件所需要的试验次数 ,一一写出来,然后相应求出 的概率,那是相当困难的.于是,迫使人们不得不想别的办法,下面用递推方法来解决这一问题,避免了求概率的困难,是求数学期望的一个很巧妙的方法.设 是所求的数学期望,即 .那么 就是表示“至少一个结局接连发生 次时所需试验次数的数学期望。但是注意到“至少一个结局发生 次”的事件与“至少一个结局接连发生 次”事件有这样的关系:在“
7、至少一个结局接连发生 次”的条件下,或者继续试验一次,该结局又发生了,这便导致“该结局接连发生 次”,其概率为 ;或者继续试验一次,该结局不发生了(其概率为 ),而是另外结局发生了,这样要做到至少一个结局连续发生 次,就等于从头做起一样,它的期望次数是 。综合上述分析得到:即 。注意到 ,故由递推关系最后得到试验次数的数学期望为 .4. (组织多少货源才能使国家收益最大)假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 (单位吨)。它服从 上的均匀分布。设每售出这种商品一吨,可为国家挣得外汇3万元,但假如销售步不出而囤积于仓库,则每吨需花费保养费用1万元,问需要组织多少货源,才能使国家
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