高考数学一轮复习 新课标版 文科 第3章 导数及其应用.pdf

导数及其应用课内导航。O O OO课前自助餐授人以渔课外阅读第棵时导数的概念与运算复习要求1.了解导数的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意 义3能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.课前自助餐【回归教材】1导数的概念（1）函数=尔）在=师处的导数就是在=回处的瞬时变化率,记作 y I%=沏或/（沏），即/)=l i m-x-OyA%=l i m广o/(%()+Ax)fix。)Ax当把上式中的用看成变量X时，/（X）即为Ax）的导函数，简称导数,即 7=f(x)=l i mA x-0f(x-Ax)r(x)A x导数的几何意义函数作)在=沏处的导数就是曲线y=/U)在点P&，厩)处的切线的斜率，即曲线y=r)在点尸),次的)处的切线的斜率k=f 5),切线方程为 y-/Uo)=/(Xo)(x-%).闻基本初等函数的导数公式(1)，=，(C 为常数);(2)(%)=a(a*)；(3)(si n%丫=cos x；(4)(cos x)f=sin x；(5)(，)=泗 go,且 qWI);(6)(e)=E；(7)(l og)=而(0,且 qWI)；1(8)(l n x)f=x.o导数的四则运算法则若】(%),o(x)的导数都存在，则(1)(0)/=土;(2)(.4=+收：(、/DIW,(3)-r=q 2_QWO)；(4)(c)=CM(C 为常数).【夯实双基】1.判断下列说法是否正确（打“J”或 X”）.叶。）与/（的）（沏为常数）表示的意义相同.（2）曲线y=/（x）在点2（沏，死）处的切线与过点尸（沏，）的切线相同.曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（兀）Ji（5）si n 不=cos 与.（6）（3）=3xl og3e.（2=上答案(1)X(2)X(3)J(4)X(5)X(6)X(7)V2.计算：(*y=e-+xe.(2)(si n x cos x)=cos2xr i)_1(3)1 =X(Inx)：In x)-3.（1）函数x）=%2在区间1,2上的平均变化率为3_，在x=2处的导数为 4.22-12解析 函数x）=d在区间1，2上的平均变化率为二丁=3；因为/=2x,所以八%）在x=2处的导数为2义2=4.(2)设正弦函数y=si nx在x=0和=方处的瞬时变化率为左1，k?,贝！J3k2 的大小关系为(A)A.%i k2B.kik2.4.(1)(2020课标全国I,文泄线尸l n-1的一条切线的斜率为2,则 该切线的方程为y=2x.解析 设切点坐标为(沏，l nxo+%o+l).由题意得，=1+1，则该切线的斜(1 1 一、率=；+1|尤=沏=1+1=2,解得尤o=l,所以切点坐标为(1,2),所以该切线 的方程为 2=2(%1),即 y=2x.(2)(2022.南通市西亭高中调研)若曲线y=(ax+l)e”在(0,1)处切线的斜率为，贝(J a=2.解析 y=(办+l)e,y|-0=。+1=-1,.a=2.5.（2022.武汉三中月考）一质点做直线运动，由始点经过t秒后的距离为s=t3-t2+2t,贝卜=2秒时的瞬时速度为（B）A.8 m/s B.10 m/sC.16 m/s D.18 m/s解析 求出路程s对时间t的导函数，求出导函数在t=2时的值即为t=2 时的瞬时速度./=3一2/+2,/（2）=124+2=10,：.t=2时的瞬时速 度为10 m/s.故选B.授人以渔题型一 导数的概念(自主学习)例1设兀x)=%2%,贝!Jf(2+Ax)-/(2)3hm=-；/(2 A%)f(2)l i m -7-=_Z3;广 o%/(X)/Q1 J J Ql i m-.l2%2状元笔记导数定义的探究判断一个函数在某点是否可导就是判断当九一0时该函数的平均变化率A vU的极限是否存在.A v(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Ay,再算比值寸=f(%+A%)f(%)Ay，再求极限y=l i m砥.(3)导数定义中，尤在沏处的增量是相对的，可以是工,%等，做题时要将分子分母中增量统一为一种.口 s、,a 八 f(尤o+Ax)f(%o),(4)导数定义 l i m Ax-0 1Q-1=ffA%Jf 3-f(沏)(%o)-也可以是2A%,(%o)，也即 l i m尤f%oXXq题型二导数的基本运算例2求下列函数的导数:(l)y=(3d4x)(2%+1)；【解析】(1)方法一：y=(3x3-4x)(2%+1)=6x4+3x3 8%24%，所以=24x3+9x216%4.方法二：=(3x3-4x)z (2%+1)+(3%3-4%)(2%+1)/=(9?-4)(2x+1)+(3 尤 34x)-2=24%3+9%2 16%4.【答案】(l)y=24%3+9?-16x-4(+也)2 一小)21X 1X2+2%41-%=1-2,4/(幻=(一0一4(1一九)(1X)24(1%)2.【答案】(2)/(%)=4(1X)2Inx+2X(3&)=1/V【解析】(3)/(尤)=(+营)=(今一%2Inx 2x x2%(l n2 2%)+(l 21nx)尤+(l n222%)2*121nx(In 2%2)2X【答案】(3/(%)=1 21nx+(In 2 九一2)2X(4)y=fsi n%.【解析】(4)y=(X2)si nx+x2(si nx)f=2xsi nx+x2cosx.【答案】(4)y1 2xsi n x+x2cos x状元笔记导数的计算方法(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导.(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.评思考题1求下列函数的导数:(l)y=3V-2x+e；【解析】=(3储)，(2)+e，=(3)e+3尤(e)(2)=3xl n3 ex+3V-2xl n 2=(l n 3+l)-(3e)x-2xl n 2.【答案】(1=(In 3+1)(3e)x-2xl n 2(2)y=tanx；【解析】(2)先变形：y=黑，再求导：,(si nx,(si n 九),cos%si nx (cos x)f 1 =-2=2-.(cos X)COS X COS X【答案】（2）y=-2-小一In-【解析】(l nx)y(x2+1)In%(f+1)(，+l)21(/+1)l n%2%2+_2fl nx(x2+l)2 x(x2+l)2小心、/2+l-2x2 Inx【答案】(3=)2例3已知函数作)的导函数为/(%),且满足x)=3%2+2%/(2),则/(5)6_.【解析】由已知得，f(x)=6x-2f(2),令=2,得/(2)=-12.再令=5,得/(5)=6X5+2fz(2)=30-24=6.1=1.ex e思考题2（2020.课标全国HI）设函数段）=?.若/（1）=是贝I a=.十八，e（x+q）e t,八,ea e 4力,口【解析】由于 f（x）=（尤+）2，故/6=（+）2=3 斛得 a题型三导数的几何意义(微专题)微专题1:求曲线的切线方程例4(2022-山西检测)已知函数火%)=/十%16.(1)求曲线y=危)在点(2,6)处的切线的方程；【解析】(1T(%)=(/+九一16)=3d+l,在点(2,6)处的切线的斜 率 为 k=f(2)=13,切线的方程为y(6)=13(X2),即尸 13%32.【答案】尸13x32(2)求曲线y=x)经过原点的切线方程及切点坐标；【解析】(2)方法一：设切点为(沏，州)，切线为/,则切线/的斜率为/(沏)=3沏2+1,.切线 I 的方程为 y=(3x()2+D(%0)+司3+沏6.又:切线/过点(0,0),.,.O=(3xo2+l)(-xo)+xo3+.xo-16,整理得沏3=8,*%0=-2,yo=(2)3+(-2)-16=-26,f(-2)=3X(-2)2+l=13,故切线/的方程为y=13羽 切点坐标为(一2,-26).方法二：设切线/的方程为y=丘，切点坐标为),先),贝!J k=先一0沏一0的+沏一16沏又%=/(沏)=3沏2+1,.Jo+：16=3%。2+1,解得沏=2,%0先=(2)3+(2)16=26，=3X(-2)2+l=13,切线/的方程为y=13心 切点坐标为(一2,-26).【答案】(2)y=13x,(-2,-26)(3)如果曲线y=x)的某一切线与直线y=%+3垂直，求切点坐标与切线 方程.【解析】(3)：曲线兀0的某一切线与直线y=今+3垂直，该切线的斜率左=4.设切点的坐标为8,%),则/S)=3x/+1=4,.，=1,%i=-I，修=1,.或E=-14 bi=-18.故切线方程为 y一(14)=4(%1)或 y(18)=4(%+1),即 y=4x18 或 y=4%14.【答案】(3)见解析状元笔记求曲线的切线方程的两种类型（1）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点尸处的切线方程和求曲 线过点尸的切线方程，在点尸处的切线，一定是以点尸为切点；过点尸的切线，不确 定点P在不在曲线上，点尸不一定是切点.（2）求曲线过点尸（沏，兆）的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P（Xp 1）；第二步，写出在（卬1Axi）处的切线方程为y（%i）（xxi）;第三步，将点尸的坐标（的，泗）代入切线方程，求出1；第四步，将的值代入方程y（xD（x芍）可得过点P（xo，yo）的切线方程.雅思考题3（2021.全国甲卷）曲线丁=幻、在点（1，一3）处的切线方 程为 5x-y+2=0【解析】2(x+2)(2x1)5(x+2)2=Cx+2)2所以，k-i=5.故切线方程为5%一）+2=0.1(2)(2022.安徽合肥月考)已知函数次x)=xl n x,过点A 一 j_ I e图象的切线，那么切线的方程为“十丁十晟=。.oj作函数y=x)【解析】(x)=l nx+l(x0),设切点为“孙 为)，则七产/(的)，二In 彳=In 即+1,即。2沏+口沏+1=0.沏+于设 h(x)=e2x+l n x+l(x0),则 Zz(X)=匕2+1，当10 时，h(x)0,X依)在(0,+8)上是单调递增函数，飘%)=0最多只有一个根.又 J=e2x+l n$+1=0,.*.%o=2.由/(沏)=1得切线方程是+y+9=0.V微专题2：导教几何意义的应用例5（1）（2022.沧衡八校联盟）已知点A在曲线y=l n%上，且该曲线在点A 处的切线经过点（一e,l）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是1）.【解析】设A（M光），由，=|（x0）,得点A处切线的斜率为=：,X A0所以在点A处的切线方程为ynxo=z（xx0）-因为切线经过点（一e,-1）,所以一1-l n%o=J（-e沏）.沏所以 In 沏=*,令 g(x)=l nx1(x0)%o X则 g(%)=；+，贝Ijg(%)0,g(x)在(0,+8)上为增函数.又 g(e)=0,Ai n%=三有唯一解 x=e.9%o=e.二点A的坐标为(e,1).（2）（2022.南昌市实验中学月考）已知直线=%+1与曲线y=l nQ+”）相切，则 a的值为（B）A.1 B.2C.-1 D.-2，【解析】设切点为尸（沏，兆），则yo=%o+l，yo=l n（xo+。），=%0=劭+.x（）+q=1,，先=0，沏=-1,，。=2.故选 B._ 4（3）（2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+;（x0）上的一个动点，则点P到直线x-y=0的距离的最小值是 4.4 4【解析】由尸+*0）,得y=1一？，4（如设斜率为一1的直线与曲线丁=%+二。0）切于点尸的十1，4 L L由 1 2=-1 M Xo=j2（xo=舍去），4 L LJ曲线y=x+;（x0）上，点P（啦,3也）到直线x-y=0的距离最小，最小值为出+3也|肝+=4.意思考题4（1）（2022.衡水中学调研卷）设aR,函数加）=e+t是偶函数,若曲线y=x）的一条切线的斜率是;，则切点的横坐标为【解析】7(%)为偶函数，易得a=l.9.f(x)=ex+exf f(x)=exe-x.3设切点为(的，%)，则/(xo)=exoex0=2,解得o=l n2.fl _9曲线y=l nx在点1-1处的切线在y轴上的截距为 7【解析】对函数尸In尤求导得，切线的斜率上=，|x=e,*X CU 、（1所以曲线y=l n尤在11处的切线方程为y+l=e九一二，即y=ex2,fl）因此，曲线y=l n尤在3一1处的切线在y轴上的截距为一2.B 7本课总结求曲线y=x）的切线方程的类型及方法1.已知切点尸（的,）,求y=/过点尸的切线方程：求出切线的斜率/（沏）,由点斜式写出方程.2.已知切线的斜率为k,求丁=危）的切线方程：设切点尸（沏，光），通过方 程左=/（%。）解得刘，再由点斜式写出方程.3.已知切线上一点（非切点），求丁=火幻的切线方程：设切点PQ）,%）,利 用导数求得切线斜率/（沏），再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得沏，最后由点斜式或两点式写出方程.4.若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程：先由平行或 垂直关系确定切线的斜率，再由左=/（沏）求出切点坐标（沏，光），最后写出切线 方程.5.（1）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P 一定在曲线上.（2）过点P的切线即切线过点P,P不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上.课外阅读重温高考1.(2020.课标全国I)函数作)=f2?的图象在点(1,八1)处的切线方程为(B)A.y=2xl B.y=12%+1C.y=2x-3 D.y=2x+l解析 9：f(x)=x4-2x：.f(x)=4?-6x2,(1)=2,又=1 2=1,所求的切线方程为y+l=2(%1),即 y=-2%+1.故选 B.2.（2020.课标全国III）若直线/与曲线丁=加和圆f+y2=1都相切，贝IJ/的方 程为（D）A.y=2x+B.y=2x+C.y=x+解析 易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为了=丘+乩则 5b5，设直线/与曲线y=出的切点坐标为（沏，3）（沏0）,贝！Jy x=Xq=Xo2=您,kxo+b,由可得b=yjxo,将，左=%（）；代入得沏=1或（）=；（舍去），所以=/?=；,故直线/的方程为y=%+；.3.（2019 课标全国II）曲线y=2si n%+cos%在点（”,一1）处的切线方程为（C）A.xy Ji 1=0 B.2xy2Ji 1=0C 2x+y2 n+1=0 D.x+y n+1=0解析 依题意得=2cos%si n x,y|x=n=2cos n si n=2,因此所求的切线方程为y+l=2（x兀），即2x+y2兀+1=0.故选C.4.(2019课标全国I)曲线y=3(f+%)砂在点(0,0)处的切线方程为上一解析 因为=3(2x+l)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3%+l)ex,所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率=，I户o=3,所以所求的切线方程为y=3x.请做：题组层级快练（十五）-衡水重点中学支谢谢观看-高考调研 O O OO课内导航。回课前自助餐 回授人以渔 国教师备选资料第薄时导数的应用（一）单调性复习要求1.了解函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单 调性3会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）.课前自助餐【回归教材】函数的单调性（1）设函数丁=危）在某个区间内里，若/则八%）在这个区间内为增函数；若/（%）-0,则作）在这个区间内为减函数.（2）求可导函数兀r）单调区间的步骤确定八%）的定义域；求导数,（%）;令/（%）_0（或（%）/_0），解出相应的X的范围；当r（x）0时,段）在相应区间上是增函数；当f（x）0 时,八%）在相应 区间上是减函数.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或 X”).(1)若函数危)在(，。)内单调递增，那么一定有/(%)0.解析 对于(1)，有可能/(%)=0，如危)=%)它在(一8,+8)上为增函数，但/(x)=3%2三0；答案(1)X(2)若函数y=4x)在(，内恒有/(%)20,则y=4x)在(m b)上一定为增函 数.解析对于(2),若y=)为常数函数，则f(x)=0,满足条件，但不具备 单调性；答案(2)X(3)如果函数八不)在某个区间内恒有/a)=o,则火幻在此区间内没有单调性.解析 对于(3),如果函数x)在某个区间内恒有(%)=0,则此函数本)在这个区间内为常数函数，则函数“X)在这个区间内没有单调性；答案(3)71 1 1(4)y=M7的导函数为(i nx)2,二工。，y。，因此，=而工的单 调递减区间为(o,+8).解析对于(4),y=定义域为(0,1)U(1,+8),因此它的单调递减区间为(0,1)和(1,+).答案(4)x2.（课本习题改编）函数y=3%221n%的单调递增区间为上上1，单调递 减区间为卜1.的卡二/久 2 6f2角牛析 y=6x=;.、/3;函数的定义域为（0,+8）,由y，0,得%.（、国）函数的单调递增区间为羊，+8.I 3 7由，0,得。取*-,1 5函数的单调递减区间为10,事.3.若函数y=x）的导函数在区间m/上是先增后减的函数，则函数y=x）在区间m加上的图象可能是（C）O a b x O a b x O a b x O a b xA B C D解析根据题意/在他，力上是先增后减的函数，则在函数段）的图象上,各点的切线斜率是先随的增大而增大，然后随的增大而减小，由四个选项的 图象对比可以看出，只有选项C满足题意.4.（2022衡水中学调研卷）函数y=xcos%si n x在下面哪个区间上是增函数（B）兀 3 H3兀 5兀、A.B.（兀，2 H）C.D.（2 兀，3 兀）解析方法一（分析法）：计算函数在各个端点处的函数值，列于下表:3T2JI3兀 22 3T5兀 23兀y1兀12兀13兀由表中数据大小变化易得B符合.方法二（求导法）：由0,且x0,得si n x0,只有B符合,故选B.(2)若丁=%+?(0)在2,+8)上是增函数，则 (0,22解析 由，=1一”20,得尤WQ或无.2=%+：的单调递增区间为(一8,，+8).;函数在2,+8)上单调递增，A 2,+8)口仅，4-oo),.W2.又0,：.Qa2.5.已知函数f(x)=x1(xa).(1)若x)在(2,3)上单调，则实数，的取值范围是9(-8,31 U+OO7L 2)(2)若火%)在(2,3)上不单调，则实数的取值范围是13,5)解析由 f(x)=x3ax,/得/(x)=3f2a2x=3x x 一 1.(1)若危)在(2,3)上单调,则有/(2)=12420 或/(3)=276W0,可9得或于(2)若本)在(2,3)上不单调，则易知?二2a 90,且 2不3,可得 3 0,得 8%一二0,1-8 3X:.令f(尤)0,解得 xe.由/(x)0,解得 040，得 cos x92 H 2兀即 2k 五一x2k+i，(ZZ)；令 f 令)0，得 cos x,2兀 4以即 2k 五+x0的区间为/(%)的单调递增区间，使/(%)0),xx当时，/(x)0,则函数加0在(0,+8)上单调递增.1 1(当 0,得 0 x,由/(x)一.所以“x)在 0,一二上 a ci ci)(1)单调递增，在一5+8上单调递减.【答案】当。三0时，危)在(0,+8)上单调递增；(八 1当a0,讨论火X)的单调性.0 尤2-zjjv I 2【解析】由题知，八)的定义域是(0,+8),/(x)=i+4-=?设g(%)=%2办+2,则二次方程g(x)=0的判别式/=28.当/vo,即0vv2诲时，对一切尤0都有/(犬)0.此时x)在(0,+8)上单调递增.当/=0,即=2啦时，仅对尤=也有/(%)=0,对其余的0都有/(球0.此时段)也在(0,+8)上单调递增.当/0,即。2啦时，方程ga)=0有两个不同的实根1=8,初 乙+-82，且 0%12.则%，fix),/(%)的变化情况如下表：此时段)在(),“一彳匚可上单调递增，在卜一“口,。+率上单调递 减，在”手8,+8)上单调递增.X(0,X1)X1(修，X2)%2(%2，+)f W+00+於)极大值极小值【答案】当00(或/(九)0)是函数人九)在此区间上为增(或减)函数的充 分不必要条件.(2)可导函数段)在(，加上是增(或减)函数的充要条件是：V%b),都 有/(%)20(或/G)WO),且/(%)在(，的任何子区间内都不恒为零.(3)由函数4x)在(m加上的单调性，求参数取值范围的问题，可化为/(%)20(或/(%)W0)恒成立的问题.要注意能否取到.r思考题i3(2022.山西太原期中)函数y=x+：+21n%的单调递减区间是(B)A.(-3,1)C.(-1,3)B.(0,1)D.(0,3)3 9 Cx 3)Cx1)【解析】函数的定义域是(0,+8),，=1-4+=-X-2-令，0,解得04Q,人力在R上为增函数，当0时，由/(%)=/2=0,解得x=l n(2)，而/(%)在R上单调递增，于是当工(8,如(20)时,f(x)0,x)在(l n(2)，+8)上为增函数.所以当时，/(%)的单调递增区间为R,当0时，x)的单调递减区间是(一8,l n(2)，单调递增区间是(l n(2)，+).【答案】当时，单调递增区间为R；当aQ时,单调递减区间为(一8,l n(2”),单调递增区间为(l n(2)，+8)【讲评】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响 进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.题型三 函数单调性的应用（微专题）微专题1:比较大小或解不等式例3小关系为（2022湖南省衡阳市模拟）已知函数段）=dcos心 则 4一（用“，连接）.（1，八。），,一/的大r n加）为偶函数，=/52J【解析】於）的定义域为R,且函数次一%）=（x）2cos（x）=fcos x=x）,，f（x）=2x+si n x,当 0cx0,函数在0,V上单调递增，的）勺；0.汉幻在(0,+8)上单调递增.又/(1%)=xsi n%+cos(x)+(1%)2=x),，府)为偶函数，於)=加|).(n则不等式加y/，即为加1%)勺.WnxIMl).|l n x|L 即一l l n xl.解得：x0时，（x）在（一8,干）和（0,+8）上都恒为正，.犹%）的单调递增区 间是（一8,一；），（0,+）.（%）在（一；，0）上恒为负，.7/（x）的单调递减区间是（一2 31，0）.2当QVO时，在（8,0）和（一铲，+8）上均有了，。）0,八X）的单调递增 2?区间是（一8,0）,（一吧，+8）；在（0,下）上，/（%）0时，单调 递增区间是（一8,一1），（0,+8）,单调递减区间是（一?，0）；当0且(一审0)一秒0),2 2，一彳或一彳，三1.即的取值范围为1,+).【答案】(2)1,+8)若函数加）的单调递减区间是一2【解析】（3）由知。0且（一个【答案】（3=12)y 0求Q的值.2.0)=(一当，0),IT思考题3(1)(2022.湖南长沙模拟)若函数x)=%3+依2+以在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围为【2,+8).【解析】火工)=x 贝!J/(x)=-3x2+26zx+4,若於)在区间(0,2)上单调递增，则一3d+2办+420在(0,2)上恒成立，3x 2 3x 2即?另一；在(0,2)上恒成立，令且(尤)=71,%(0,2),3 2贝！Jg(%)=5+/。，g(%)在(。，2)上单调递增,故g(x)vg(2)=2,故22,故实数的取值范围为2,+8).2(2)(2022.黔江区校级模拟)函数作)=fQ/n%在12上不单调，则实数a2 4 1的取值范围是一产，12+.【解析】f(x)=2x6i(l nx+l),Cr fr 若函数x)=foxl n尤在i 2上不单调，则方程/(x)=0在12上有根，2x(2 1即方程在2上有根且方程的根是函数/，的变号零点，1R X 1 K 7人/、2尤 e/、21nx令 g(尸而币则 g(x)=(l nx+1)2(2)当九11 时，g,。)0,g(x)K 7单调递增,4 4又 g(l)=2,gj=g(2)=i nqr p 4 4由且gej=l n3痂，2不是尸的变号零点，得4)g(%)2，l n2+l 1/故24)In 2+1/本课总结1.在某个区间3,与上，若f(%)o,则本)在这个区间上单调递增；若j(x)0,则x)在这个区间上单调递减；若/(%)=0恒成立，则#x)在这个区间 上为常数函数；若/(%)的符号不确定，则x)不是单调函数.2.若函数y=x)在区间(a,Z?)上单调递增，则/(%)20,且在(a,力的任意 子区间，等号不恒成立；若函数y=x)在区间(a,6)上单调递减，则/(%)W0,且在(a,力的任意子区间，等号不恒成立.3.使/(%)=0的离散的点不影响函数的单调性.请做：题组层级快练（十六）-教师备选资料构造法在导数中的应用此类涉及已知兀0与/(%)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可 通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解.例1 7(%)为定义在R上的可导函数，且/(%)次%),对任意正实数下列 式子成立的是(B)A.a)e7(0)f(0)C.仙)士Lf(0)D.八。)1-f(%)【解析】令ga)=%L,.f(%)ex/(x)ex f(x)f(%)w-号-L0-g。)在R上为增函数.又a0,J(。)f(0)口口”g(a)g(0),艮即加)取0).C/C1 1 2 In n+1例2 已知a=51n 2+疝b=,c=,贝m b,。之间的大小关系乙 一 C JL为（B）A.abc B.acbC.cab D.bc0,解得04V1,所以於）在（0,1）上单调递增，令/（九）1,所以火%）在（1,+8）上单调递减，1.1 21n2+l In 4+1=声 2+4=4=4=/),2 l ne+1 b=W=-=/(e),V/V/In 兀+1c=-n=火兀)，因为l e兀ca.故选B.例3（2022.湖南常德市中学临考冲刺）已知函数y=x）对任意的工（0,兀）,满足了（%）si nx次x）cosx,则下列不等式成立的是（B）f（%）j I j【思路】令尸=匕=，九（0,2,则该函数为增函数，再根据方寸SIU 1 y I O）可得舄号1f（%）【解析】令尸七，xe（o,H）,则 P(%)=(x)si nx-f(尤)cosx si n2%因为/（x）si n 1次尤）cos x,则/（x）si n xfix）cos 九0,（、所以尸 a）o,所以尸在（o,叮）上单调递增，所以尸丁尸1:TI、/五即即后）M故选B.si n-r si n4 on【讲评】解题关键是构造合适的函数，一般从两方面着手：（1）根据导函数 的“形状”变换进行构造；（2）若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函 数.【探究】解答导数问题常用的构造函数技巧：条件含有於）+/（%）,构造g（%）=eN%）；（2）条件含有加:）一/，构造g（x）J手；（3）条件含有如）+/（尤），构造g（光尸e2%）；（4）条件含有如）一f，构造.衡水重点中学支谢谢观看-高考调研课内导航OOOO9999OOOOI 01|课前自助餐 回授人以渔 回课外阅读第珊时导数的应用（二）极值与最值复习要求1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件2会用导 数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）.3.会求闭区间上的最大 值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.课前自助餐【回归教材】1i函数的极值(1)设函数八%)在点沏附近有定义，如果y=/(x)在点x=x0的函数值大沏)比它 在点X=%n附近其他点的函数值都 大,/(沏)=0,而且在点=沏附近的左侧 f 3 0,右侧/(x)0,那么xo)是函数x)的一个极大值，记作y极大值=/(%0)；如果y=/U)在点九=尤0的函数值八沏)比它在点X=Xo附近其他点的函数 值都工，/3)=0,而且在点=沏附近的左侧/(%)0,右侧/(%)0,那么八沏)是函数知)的一个极小值，记作y极小值=#%().极大值与极小值统称为极 值.（2）当函数段）在沏处连续时，判断加）是极大（小）值的方法：如果九沏有/（x）20,%沏有/（%）0,且/（沏）=0,那么火沏）是极 大值；如果1沏有/（%）V 0,%尤0有/（尤）二0,且/（%0）=0,那么火沏）是极 小值.求可导函数八%）极值的步骤“、求导数（X）（1）;（2）求方程，（x）=的根(3)检验/在方程/(x)=0的 根左右的值 的符号,如果在根的左侧附 近为正，右侧附近为负，那么函数尸而在这个根处取得极大值；如果在根的 左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得 极小值.闻函数的最值一般地，设函数丁=危)的定义域为/,如果存在实数M满足：Vx/,都有於)W(或2)M；(2)三沏/,使得危)=M.那么，称M是函数y=x)的最大(或最小)值.o求函数最值的步骤设函数y=x)在切上连续，在(a,A)内可导，求x)在a,切上的最值，可分两步进行：(1)求八工)在(m-内的极值;(2)将八%)的各极值与八a),人勿比较，其中最大的一个是最大值，最小的 个是 最小值.【夯实双基】1.判断下列说法是否正确(打“J”或“义”).函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.函数的极大值不一定比极小值大.导数等于0的点一定是函数的极值点.(4)若沏是可导函数的极值点，则一定有(沏)=0.(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(6)函数次%)=/si n x有无数个极值点.答案(1)X(2)V(3)X(4)V(5)V(6)V2.(课本习题改编)函数4x)=(d1K+2的极值点是(c)A.x=l B-x=-1C.x=l 或-1 或 0 D.x=0解析/(%)=f2d+3，由(x)=4x34x=4x(x+1)(%1)=0,得x=0 或x=或x=-l.又当 X1 时，f(%)o,当一l xo,当 0 xl 时，ff(x)l 时，f(x)0,.x=0,1,1都是本)的极值点.故选C.3.若函数作）的导函数/（x）的图象如图所示，则下面正确的是（C）A.%=1是最小值点B.%=0是极小值点.|2C.%=2是极小值点 0M77D.函数x）在（1,2）上单调递增解析 由导数图象可知，x=0,x=2为两极值点，%=0为极大值点，=2 为极小值点，/（%）在（1，2）上小于0,因此x）在（1，2）上单调递减，1不是最值点.故选C.4.已知函数六%)=%3+3%29x+l,若“X)在区间出2上的最大值为28,则实数左 的取值范围为(D)A.-3,+8)B.(-3,+8)C.(8,-3)D.(8,-3解析 由题意知/(%)=3X2+6%9,令f(x)=0,解得x=l或x=-3,所以f(x),r)随x的变化情况如下表：又八一3)=28,八1)=-4,八2)=3,/(%)在区间出2上的最大值为28,所以左WX(8,-3)-3(-3,1)1(1,+00)f W+00+於)极大值极小值3.故选D.授人以渔题型一求函数的极值例1(1)已知函数加)=：(%5)2+61nx,求火工)的极值.【解析】函数火幻的定义域为(0,+),6(x)=x-5+-=(x-2)(x-3)x令/(尤)=0，解得修=2,初=3,当%变化时，火幻，/(%)的变化情况如下表:9由上表可知当九=2时，极大值/(2)=5+61n2,X。2)2(2,3)3(3,+8)f(X)+00+危)极大值极小值当x=3时，极小值次3)=2+61n3.9【答案】极大值为5+61n 2,极小值为2+61n 32axa2-1(2)设函数於)=(0),求函数八X)的极值.JC-I-A【解析】定义域为R,f(%)=2d+2(2-1)x-2a(d+i)2令/(尤尸-2d+2(2一i)x-2a(x2+l)2=。,BP 212+2(2 1)尤+2=0,解得的=，%2=一；又因为0,则尤10.若qWO,则/(x)0恒成立，火x)不存在极值.若0,则%，f(%),危)的变化情况如下表：所以火犬)的极小值为八)=一。1口，无极大值.X(0,d)a(。，+)f(x)0+於)极小值【答案】当时，无极值；当0时，极小值为无极大值题型二利用极值求参数值例2(1)(2022.黑龙江大庆市模拟)已知函数=?+ax2+/?x+a2在x=l 处有极小值10,则a+b=A)A.-7 B.0C.7 或 0 D.15 或 6【解析】由函数八%)=尤3+依2+&+2有/(%)=3%2+2%+6.函数次划在冗=1处有极小值10.夕(1)=0,(1)=3+2+b=0,所以 j/(l)=10,即 j/(l)=l+a+6+/=10,解得q=4,Z?=11b=3.或9r=4,t 当=_时，ff(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11),令 f(x)0 得 xl 或 x一丁,令 f(x)0 得一可%1,(i n r i i)所以函数加)在一 8,一可上单调递增，在一,1上单调递减，在(1,+I D J I D)8)上单调递增.显然满足函数人幻在尤=1处有极小值10.r=-3,I,。当时，f(%)=3%26X+3=3(%1)220,b=3所以函数加)在区上单调递增，不满足函数加)在=1处有极小值10.所以 a+Z;=411=-7.故选 A.（2）（2022云南民族大学附中模拟）已知函数八%）=一的2+尔+9在r上无 极值，则实数加的取值范围为1.【解析】函数尤）=旭%2+相%+9在R上无极值Q/（尤）=尤2 2/nx+冽在R上无变号零点Q/=4m24m0O0m0.因为函数於)有两个不同的极值点九1，九2，所以一W+尤=o有两个不同的正实数根尤无4=1-40,则有 0,XyXo=0,1-4 Q 0)=尤33+3。在(0,1)内有极小值，贝!(A)A.0bl B.b0 D.【解析】於)在(0,1)内有极小值，则/(x)=3f3b在(0,1)上先负后正,(0)=-3匕0,：.0b0,f(1)=-20,:一2a0,得 1%2；令/(%)0,得 040,段)单调递增；当一i Wcosxvg时，f（x）0,火犬）单调递减.1、3所以火光)取得最小值时，cosx=5，此时si nx=，乙 乙、/小 33当 si n 尤=一方-时，fix)=si n xcos x+si n x=4；、/3J3当 si nx=4-时，f(x)=si n xcos x+si n x=4.所以X)的最小值是一乎.故选c.【探究】(1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得最值.(2)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值.状元笔记利用导数求函数最值的方法（1）当函数在一个区间内只有唯一的极小（大）值时，这个极小（大）值就是最小（大）值，这种情况下可以直接写出最值.（2）当函数在一个区间内的极值有多个时,就要把这些极值和区间端点处的函 数值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法.整思考题3（2021北京）已知函数危）=会三.（1）若=0,求y=/在（1,火1）处切线方程；32x 2（x3）【解析】（1）当=0时，危）=1,则/=一，火1）=1，f（1）=-4,此时，曲线y=/）在点（1,八1）处的切线方程为y1=4（九一1）,即4%十乎 5=0.【答案】4%+厂5=0(2)若函数r)在x=1处取得极值，求八%)的单调区间，以及最大值和最小值._ 3 2x n.2(f+a)-2x(3 1 2x)【解析】因为危)=不，则8=-FP-2(x2-3x)(f+a)2 2(4一)由题意可得/(1)=(2=0,解得，=4,x C4-I JL y/所以函数外)的单调递增区间为(一8,1,4).所以兀T)max=火-1)=1,7(