推导椭圆周长初等公式.doc

如何推导椭圆周长初等公式四川省美姑县中学 周钰承 关键词：函数模型，椭圆周长。 内容提要：如何推导出一个简单而又精确椭圆周长公式？利用信息技术，搜集准确的数据；建立恰当的函数模型并求解；对函数模型进行检验、评价和应用。有一个困惑笔者多年的现象：一些小学生常常追问老师，椭圆周长是怎样计算的？而到了高中，他们已经学习了椭圆的方程式，却再也没有一个学生问到这个问题。是多年的应试教育，吞噬了他们的求知欲吗？兴趣是最好的老师，当前的信息技术足以让高中学生重回小学时代。利用信息技术构建函数解决实际问题，通常需要三个步骤：搜集数据代表；构建函数模型并求解；检验、评价与应用。第一步，搜集数据代表。椭圆的标准方程是。其中表示椭圆的长半轴长及短半轴长。在因特网搜索“椭圆周长”，可以很快找到椭圆积分的表达式。但由于该公式中的被积函数的原函数不是初等函数，所以迄今为止，尚没有准确的椭圆周长的初等函数公式。打开不同的网页，我们可以找到椭圆周长著名的项名达公式：（1）其中e为离心率。根据（1）式，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到表1： Private Sub Form_Click ( ) a = 1 : 长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值b = 0.15 : 短半轴长度，应不大于a，否则两者互换 e = sqr(1-b*b/a/a) : 椭圆离心率 k0 = 0.25*e2 : （1）式括号中的第二项 s = 1-k0 : （1）式括号中的前二项 for I = 2 to 1000000 : 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟 k = k0*(2*I-1)2/(2*I)2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e : (1) 式括号中的某一项 s = s k : 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值 k0 = k : 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0 next I : 循环 print 2*3.1415926535*a*s : 打印或显示计算结果 End Sub 椭圆周长 1 0.00 4.0000000000 1 0.01 4.0010983297 1 0.10 4.0639741801 1 0.25 4.2892108875 1 0.50 4.8442241100 1 0.75 5.5258730400 1 0.90 5.9731604325 1 0.99 6.2518088479 1 1.00 6.2831853070表1第二步，构建函数模型并求解。项名达公式虽然易于设计程序，但不利于函数建模。另一个级数公式更容易被高中学生理解： （2）其中。如果利用这个公式来计算椭圆周长，当与的值比较接近时，只需要级数前两项就可以达到相当高的准确率，但当与的取值相差较大时，即使是用到级数第十项，误差还相当大。我们可以根据这个级数公式，构建一个新的函数模型。在公式（2）中，设：（3）则（2）变形为：（4）我们改造函数模型，考虑到函数（3）具有三个重要特征：1.各项均含有因式；2.当时，椭圆周长趋近于圆周长，此时；3.当时，椭圆周长趋近两倍长轴长，即，此时。因此，我们构建函数模型：（5）（5）式中是自变量，为待定系数。为了使函数（5）拟合函数（3），我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标：，依次代入函数（5），得到三个关于的一次方程。我们可以设计一个算法，或者用计算器解这个一次方程组，得到的比例关系。为了帮助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：。把上述值依次代入函数（5）、（4），得：，再把代入并化简得到椭圆周长近似公式：，（6） 第三步，检验、评价与应用。笔者取3.141592654验证这个公式，得到表2。表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差，除以椭圆周长真值所得的商。 公式（6）C 椭圆周长真值 误差 1 0.003.992440664 4.0000000000 -0.0019 1 0.01 3.995390384 4.0010983297 -0.0014 1 0.10 4.063151007 4.0639741801 -0.00020 1 0.25 4.289158624 4.2892108875 -0.000012 1 0.50 4.844223672 4.8442241100 -0.00000009 1 0.75 5.525873040 5.5258730400 -0.0000000001 1 0.90 5.973160433 5.9731604325 -0.0000000000 1 0.99 6.251808848 6.2518088479 -0.0000000000 1 1.00 6.283185307 6.2831853070 0.00000000000表2接下来处理表2中特别是当时的误差。根据椭圆标准周长公式（2）的函数模型，我们只需要在函数（6）表达式乘上（1+）即可。由时，椭圆周长趋近两倍长轴的长，即，容易求得；我们取时的椭圆周长真值进行运算，解指数方程，取对数求，并取为最接近的整数得：，于是公式（6）转化为更精确的椭圆周长公式（7）：（7）值得注意的是，通常情况下我们用公式（6）即可。因为的椭圆在生活与工程中实为罕见；并且，当时，这部分的值非常小，没有计算的必要。公式（7）计算椭圆周长的误差一般低于百万分之一，见表3： 公式（7）C 椭圆周长真值 误差 1 0.004.000000000 4.0000000000 0.0000000000 1 0.01 4.001461330 4.0010983297 +0.000090 1 0.10 4.063997174 4.0639741801 +0.0000057 1 0.25 4.289188087 4.2892108875 -0.0000053 1 0.50 4.844223724 4.8442241100 -0.00000008 1 0.75 5.525873040 5.5258730400 -0.0000000001 1 0.90 5.973160433 5.9731604325 -0.0000000000 1 0.99 6.251808848 6.2518088479 -0.0000000000 1 1.00 6.283185307 6.2831853070 0.00000000000表3例1 如图，椭圆长半轴是3，短半轴是2，计算阴影部分的面积和弧AB的长(保留)。 椭圆面积公式是一个标准公式。我们可以用截面斜截一个圆柱，然后割补圆柱，使底面变为椭圆，由于底面积乘高是一个不变量，根据这个不变量列出等式，只需要初中九年级的三角形相似的比例性质就可以解出这个公式。阴影部分面积是四分之一椭圆面积减去一个三角形面积，弧AB的长度是椭圆周长的四分之一。故： 面积： 因为，可用公式（6）。，得： 。 若取3.141592654，则用计算器可以求得AB弧长为：3.966359892，这个数误差约为十亿分之一。5 / 5