高考新教材数学一轮复习课件 第三章 一元函数的导数及其应用.pdf

第三章 一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及运算，课程标准（1）通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景；（2）通过函数图象直观理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义，求函物=C，y=x9 y=x29 J=X3,J=L，7=点的导数；（4）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；（5）能求简单的复合函数（形如/（依+力）的导数.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o重点很一点清重点一 平均变化率与瞬时变化率1.平均变化率定义式:实质：函数值的增量与自变量的增量之比;作用：刻画函数值在区间小，处上变化的快慢;(4)几何意义：已知P1(X1，%),尸2(血，72)是函数y=/(x)的图象上两点，则言=收)於),平均变化率表示割线p$2的斜率.注意Ax可以是正值，也可以是负值，但不为0.2.瞬时变化率对于函数y=/(x),设自变量x从劭变化到刖+Ax,相应地，函数值j就从/必)变 化到/Uo+A%),这时，X的变化量为Ax,y的变化量为Ay=/Uo+A%)一/(即)，如果当 Ax-0时，平均变化率R无限趋近于一个确定的值，则称这个值为y=/(x)在%=/处的瞬时变化率，记作 题鸣。将=题叫0 斯土竽)二二逐点清1.（选择性共修第二册62页练习3题改编）一质点运动的方程为s=5-3冷 若该质点 在时间段1,1+Ai内相应的平均速度为一3AL6,则该质点在%=1时的瞬时速 度是（）A.-3 B.3C.6 D.-6解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在=1时的瞬时速度为*=li m D（3Ar6）=6.答案：D重点二 导数的概念及其几何意义1.函数y=/(x)在x=%o处的导数：函数y=v)在工=斯处的瞬时变化率曾 叫做函数y=r)在x=xo处的导数，记作/(即)或y|x=日n，/、Rm 包 Jim 兀Vo+Ax)-/(Xo)即/(xo)=AxO=Ax-0-2.导数的几何意义：函数外)在“=劭处的导数/(孙)的几何意义是在曲线y=r)上点尸(Xo,%)处的切线的斜率.相应地，切线方程为V Vn=/(Xo)(X-M).3.函数/(x)的导函数：当x变化时，)=/(x)就是x的函数，f(x)称为/(x)的导函诙，F m 於+Ax)一/(x)数9 f(X)*-。A 4./(“)是一个函数，/(/)是函数r(幻在即处的函数值(常数)，贝！it(%)r=0注意Q）函数y=/u）的导数r（X）反映了函数/）的瞬时变化趋势，其正负号 反映了变化的方向，其大小If（孙反映了变化的快慢，/（*）|越大，曲线在这点处 的切线越“陡”；（2）曲线y=/（x）在点尸（刈，必）处的切线是指以尸为切点，斜率为岛=/。0）的切线，是唯一的一条切线.逐点清2.(选择性兴修第二册65页例1改编)如图，函数穴幻的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则依，*1铝二.解析：由导数的概念和几何意义知，AoX二*1)=/(l)=kAB=0-42=-2.答案：-2重点三导数的运算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导数於）=c（c为常数）f(x)=Xf(x)=xa(aQ,且a#0)f(x)=axg-1f(x)=sin xf(x)=cos Xf(x)=cos Xff(x)=sinxf(x)=exr(3)=区f(x)=ax(a 09 且a#l)f(x)=(fin af(x)=lnxr(%)=Jf(x)=logf lx(a0,且a W1)f(x)1J v 7 xln a2.导数的运算法则(1)函数和、差、积、商的导数苟*(%),g(%)存在,则有：/lx)g(x)=f(X)g(x)_；(Ax)ga)=f a)ga)+/u)g(幻；稿,.(2)简单复合函数的导数由函数y=/()和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它的导数与函数y=f(u),=g(x)的导数间的关系为(=/即y对”的导数等于y对的导数与对”的导数的乘积.逐点清3.（多选）（选择性必修第二册75页例1改编）下列结论中不正确的是（）A.j=cos 贝!=sin-J X J X XB.j=sin x2,贝=2xcos x2C.若y=cos 5x,贝！|y=sin 5xD.若y=xsin2x,贝!jy，=xsin 2x解析：对于A,j=cos 贝！=4sin 故错误;对于B,j=sin x29 则）/=2xcos x29 故正确；对于C,j=cos 5x,则旷=5sin 5x,故错误;对于D,j=|xsin 2x,则了=zsin 2x+xcos 2x,故错误.故选A、C、D.答案：ACD4.(易错题)曲线y=X+sin x+1在x=0处的切线方程为.解析：因为产x+sinx+1,所以x=0时，y=l,即切点为(0,1),yf=1+cosx,所以切线的斜率左=L=o=l+cos0=2,所以切线方程为y=2x+L答案：J=2x+1O祀秸裕娱1速度记结论1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.熟记以下结论：（i）e）=+；-1 T f（x）局=一届&），。）；(3)af(x)bg(x)z=aff(x)bgf(x).提速度观察(炉)，=2x9(x4)z=4x3,(cos x)=sin x9由归纳推理可得：若定义在R 上的函数八工)满足记g(x)为穴X)的导函数，则g(-%)=.解析：由结论1,偶函数的导函数为奇函数，因此当/(X)是偶函数时，其导函数应 为奇函数，故g(x)=g(x).答案：g(x)02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点平均变化率与瞬时变化率基础自学过关L（2020北京高考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污 水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间，的关系为用一的大小评价在口,用这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：在箱，罚这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在打时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在打时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0,4,4,引，L，闻这三段时间中，在0,打的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.解析：由题图可知甲企业的污水排放量在九时刻高于乙企业，而在打时刻甲、乙 两企业的污水排放量相同，故在殖，W这段时间内，甲企业的污水治理能力比 乙企业强，故正确；由题图知在打时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值 大于乙企业的，故正确；在力时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达 标排放量，故都已达标，正确；甲企业在0,相，区，句，5句这三段时间 中，在0,用的污水治理能力明显低于田，勿时的，故错误.答案：2.已知汽车行驶的路程s和时间，之间的函数图象如图所示，在时间段偏，打，也，切，也，上的平均速度分别为U I,V 2,V39则三者的大小关系为（由大到小排列）.解析:一 Sl）-So）、s（，2）Sl）、S（t3）S（t2）*力=，。=kA9 V2=t2f=39=t3f=而c，由图象得左04心3 D 2 D 1答案：r 3 r 2 i练后悟通1.用平均变化率、瞬时变化率求解或解读生产生活中发生的某些变化情况已成为考查数学应用的热点，特别是在物理中的应用更为突出.2.变化率的正、负反映该变化过程是增加还是减少，变化率绝对值的大小反映该变化过程的快慢.考点片 导数的运算.基础自学过关1.(多选)下列求导数的运算中正确的是()解析：A选项，=1,=(x-1)B.(31n x)f=D.(x2cos x)=2xsin x=x-2=相加即可，正确；B选项系数不变，只对lux求导，正确；C选项是除法的求导公式,(1x)/e2x故错误；D选项是乘法的求导公式，(x2cos x)=2xcos xx2sin x,故错误.故选A、B.答案：AB2.在等比数列斯中，1=2,8=4,函数/（%）=%（%。1）（%2）8），则f（0）=（）A.26 B.29C.215 D.212解析：（x）=x，（X1）（了一2）（X8）+x（X 1）（X2）（X 8）+X（X 1）（X。2）（X。8）=（X-1）（X2）（X8）+x（X 2）（X-。8）+X（X_1）（X 的）（X。7），f（0）=。1F2。8=（18）4=8,=2.答案：D3.已知函数/a)=E(2x_3)+oxer,(2)=1,贝必=-解析：/(幻=金刁3-3)+碇一+次L)=元二5+e 一两./，(2)=2+加一22碇-2=2碇-2=1,则 a=e2.答案：e2，练后悟通导数运算的原则和方法(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求 导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.若函数为根式形式，可先化为分数指数寨形式，再求导；复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.3考点导数的几何意义及应用考向1求切线方程定向精析突破ID（2020全国I卷）函数/）=d2d的图象在点（1，大1）处的切线方程为（）A.y=2xl B.j=2x+lC.y=2x3 D.j=2x+l解析法一：=/(0=/一213,(0=41一6f，/，=一2,又加)=1一2=-1,所求的切线方程为7+1=-2(1-1),即y=-2x+L故选B.9：f(x)=x4-2x39：.f(x)=4x3-6x2,f(l)=-2,切线的斜率为一2,排除C、D.又41)=1-2=1,切线过点(L-1),排除A.故选B.答案B3解题技法求曲线过点P的切线方程的方法（1）当点P（x（）,必）是切点时，切线方程为y,0=/（x（）-（x-Xo）.当点P（Xo,必）不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标p（不，/1）;第二步：写出过点P（X1，/1）的切线方程y-/Ui）=f（小）（“一不）；第三步：将点P的坐标（Xo,%）代入切线方程求出不；第四步：将石的值代入方程y（xi）（x占）可得过点P（xo，必）的切线方程.考向2由曲线的切线（斜率）求参数的范围也（2021新高考I卷）若过点（g,可以作曲线y=e的两条切线，贝（）（）A.B.ebC.OVaVe D.Qb0,则切线方程为yb=(xd),y()beo(%0。)9由J 得e%o(lxo+a)=b,则由题意知关于沏的方程e%o(lrJo=e。+)=。有两个不同的解.设/U)=e*(lx+a),则/(x)=e(lx+a)e=/(x d)9由/(x)=0得x=a,所以当xVa时，/(x)0,r)单调递增，当时,f(x)0,所以4r)0,当“f 8时，“v)f 0,当+8时，於)f 8,函数式x)=/(i因为#%)的图象与直线y=A有两个交点，所以0VAVe0故选D.法二(优解)：过点(，田可以作曲线y=e的两条切线，则点3,)在曲线y=e”的下方且在X轴的上方，得0VAVe0故选D.答案DI解题技法I1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参 数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.2.求解与导数的几何意义有关问题的注意点注意曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上.考向3公切线问题阳)设曲线y=lnx与y=(x+“)2有一条斜率为1的公切线，贝!|“=()3A.-1 B.4cl D 3j 4 4解析因为y=E x,所以，=：,又因为切线的斜率为1,所以y=;=1,解得x=l,y=0,所以切线方程为y=x1,因为y=(x+a)2,所以，=2x+2a=1,解得x=；代入切线方程得=一；一a,再将；一a,a代入y=(x+a)29解得。=一故选B.答案BI解题技法I解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解;(2)设公切线，在y=/(x)上的切点PG。汽煤)，在y=g上的切点尸2(M,、加”(、一、0 1)#2)虱皿)，贝11/(%1)g(%2)_。训练L（2022乐山调研）已知曲线/）=e2-2+姓一1存在两条斜率为3的切线，则实数的取值范围是（）A.(3,1(7)B.(3,+8)C.D.(0,3)-8.，2)解析：f（x）=2e2x-2ex+a,依题意知-（x）=3有两个实数解，即Ze?-2/+。=3有两个实数解，即4=-202*+2/+3有两个实数解，令=/,0,.a=2+2什3。0）有两个实数解，R=与（。=2/+2%+3（0）的图象有两个.7交点，9（。=一2+2，+3=2一刀2+0,max=(p2)=29又。（0）=773,故答案：A2.若函数Ax)=ln”+2“2的图象上存在与直线2xy=0平行的切线，则实数 的取值范围是.解析：直线2xy=0的斜率k=2,又曲线)上存在与直线21一尸0平行的切 线，(x)=1+4x=2在(0,+8)内有解，贝|a=4x+12,x0.又4x+2/叱=4,当且仅当x=；时取“=”.2=2.的取值范围是 2,+8).答案：2,+8)第二节导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性。课程标准】（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；（2）能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o查互淮逐点清重点函数的单调性与导数的关系一般地，函数Ax）的单调性与导函数了（X）的正负之间具有如下的关系：在某个区间（a,b）,如果r（X）0,那么函数3=火力在区间3,加上单调递增:在某个区间（a,b）,如果/（x）V0,那么函数y=/u）在区间（G,加上单调递减.特别地，若恒葡（*）=0,则Ax）在区间3,b）内是常数函数.注意讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚 持“定义域优先”原则.逐点清1.（多选）（选择性必修第二册86页例2改编）如图是函数y=AX）的导函数y=/（X）的图象，则下列判断正确的是()A.C.D.在区间（一2,1）上）单调递增 在区间（2,3）上/&）单调递减 在区间（4,5）上f（x）单调递增 在区间（3,5）上）单调递减(31(3解析：在区间(-2,1)上，当 2,一与 时，ff(x)o,故穴幻在一2,-f上单调递减，在一：，1上单调递增，A错误；在区 4)I/间(3,5)上,当xW(3,4)时，f(x)0,即“r)在(3,4)上单调 递减，在(4,5)上单调递增，D错误.在(4,5)上尸(幻0,/(幻单调递增.在(2,3)上/(x)vO,，犬幻单调递减，故B、C正确.答案：BC2.(易错题涵数/(%)=一lux的单调递减区间为)A.(0,1)B.(0,+8)C.(1,+)D.(8,0),(1,+)解析：函数的定义域是(0,+8),且/*(幻=1一=?，令/(x)v0,得Ovxvl,故/的单调递减区间为(0,1).答案：Ao祀浩裕提遂友记结论1.在某区间内r(x)0(f(x)0）在2,+8）上是增函数，贝！的取值范围是.2 2解析：由/=1-0,得xW-a或y=x+?的单调递增区间为（一8,-,+oo）.函数在2,+8）上单调递增,A2,+）a,+),又a0,/.0a2.答案：(0,202考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点1证明(判断)函数的单调性师生共研过关国ID(2021全国乙卷)已知函数/)=/一炉+1讨论/)的单调性;(2)求曲线y=/U)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.解(1)由题意知/U)的定义域为R，f(x)=3x2-2x+a9对于/(x)=0,A=(-2)2-4X3a=4(l-3a).当时，r(x)20,/(x)在R上单调递增；当aO,贝 lIxVXi 或%了2；令f(X)O,贝!|X1VXT2.所以ZU）在（一8,X。上单调递增，在（X1，%2）上单调递减，在（%2，+8）上单调 递增.综上，当“2；时，/（X）在R上单调递增；当“4时，/（X）在（一8,1一千个上 单调递增，在卜一丁*1+于可上单调递减,在卜+*+8上单调【J J J I J 7递增.(2)记曲线y=/(x)过坐标原点的切线为1,切点为P(x,xjxj+axo+l),因为(劭)=3意一2%o+a,所以切线，的方程为y(君一焉+劭+1)=(3后一 2xo+a)(x_Xo).由，过坐标原点，得2焉一总一1=0,解得劭=1,所以切线/的方程为,=(1+a)x.令/x2+ax+l=(Ha)x,则a?x2x+l=O,解得x=L所以曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(1,1+d)和(19 1a).)解题技法I讨论函数/(x)单调性的步骤(1)确定函数/(%)的定义域；求导数r，并求方程r a)=o的根；(3)利用r(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨 论/(X)的正负，由符号确定/(X)在该区间上的单调性.注意研究含参函数的单调性时，需注意依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论.。训练“2+nix+1（2022西安质检）已知函数A%）=-#一（忆，0）,其中e为自然对数的底数,讨论函数/（X）的单调性.r，x2+（m-2）x+lm解：由题得r a）=-x-（1 帆）（汇-1）ex（xI）2当m=0,即1一冽=1时，f（x）=jc0,即 1%vl时，令f（00得1一/或1,令f（x）0得 1mVxvL 7/U）在（一8,I-%）和（1,+8）上单调递减，在（1 一股,1）上单调递增.综上，当旭=0时，/U）在R上单调递减，当心0时，/U）在R上单调递减；/U）在（一8,1一旭）和（1,+8）上单调递减，在（1 一%1）上单调递增.考点片 求函数的单调区间 师生共研过关0E)(2022大庆月考)已知危,其中为实数.(1)若=1,求曲线/)在%=1处的切线方程；(2)求/)的单调区间.解(1)若。=1,贝!|/U)=$22x+ln x(x0),f(x)=x2+p/(0在工=1处的切线的斜率为匕i 13r 3)贝必=/(1)=12+=0,3/(1)=22=29 切点为 1，2 9(3)3所以於)在尸1处的切线方程为厂一：=0,即产2,a x(a+l)x+a(xl)(xa)(2(x)=x(a+1)+=-2(x0),当aWO时，由/(x)00 x0l,所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；当Ovavl时，由f(x)vO得a0得0(X)在(0,+8)上单调递增；当时，由/(x)vO得l0得Ovxvl或所以/(x)在(0,1)和(a,+8)上单调递增，在(I,G)上单调递减；综上所述，当“W0时，/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增;当Ovavl时，於)在(0,a)和(1,+8)上单调递增，在(a,1)上单调递减；当=1时，山)在(0,+8)上单调递增；当时，v)在(0,1)和3，+8)上单调递增，在(1,)上单调递减.7解题技法利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或/(x)0,解得xl或XV3；令f(x)v0,解得3xl.所以函数大幻的单调递增区间为(一8,3)和(1,+oo).大幻的单调递减区间为(-34).考点 函数单调性的简单应用 定向精析突破考向1比较大小或解不等式E)(l)(2021全国乙卷)设a=21nL 01,b=lnl.02,。=亚市一1,贝！|()A.abc B.bcaC.bac D.cab(2)定义在R上的函数Ax)的导函数为f(x).若对任意实数x,(x),且f(x)+2 021为奇函数，则不等式/)+2 021e”v0的解集是()A.(一8,0)C.(0,+8)B.(一8,in 2 021)D.(2 021,+8)解析(1)一c=ln 1.02/L04+l,f(x)=ln(x+1)l+2x+1,贝！|万一c=/(0.02),f色=喜一村恐当Q0时，*+1=岳物 2、l+2x,故当x20时，ff(x)=0,所以/U)在0,+8)上单调/l+2x*(x+l)递减，所以八0.02)/(0)=0,即万Vc；a-c=2ln 1.01-04+1,设ga)=2In(x i-2 4+1)A/1+4x+1,贝！lac=g(O 01),gf(x)=2yl+4x=当。xV2时，Wx+ld(x+l)2=x+l,故当0g(0)=0,故cVa,从而有b ca9故选B.(2)设g(x)=孽，则/(x)=f(?5a),因为ZU)(x),所以g(x)0,g(x)为定义在R上的减函数，因为ZU)+2 021为奇函数，所以共0)+2 021=0,f(0)=-2 021,g(0)=呼=一2 021,f(x)+2 021ex0,艮总一2 021,g(x)0,故选C.答案(DB(2)C7解题技法1.比较函数值大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性 质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较.2.利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构 造的函数的单调性比较大小或解不等式.3.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中 若存在Ax）与八x）的不等关系时，常构造含为0与另一函数的积（商）的函数，与题设 形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.考向2求参数的取值范围已知函数/U)=ln x-2x(W0)在1,4上单调递减，则的取值范围 是.解析因为危)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，r(0=：一姓一2/0 1 2 1 2恒成立，即;恒成立.设G(x)=?xe1,4,所以a2G(x)max，而G(x)=l 21，因为x1,4,所以:1,所以G(x)max=一备此时x=4),所以心一而，又因为aWO,所以a的取值范围是一,OU(O,+).7 1答案一诵 0ju(0,+)。变式1.(变条件)若例4条件变为“函数f(x)在1,4上存在单调递减区间”，贝布的取值范 围为.解析：因为/(X)在1,4上存在单调递减区间，所以/(x)VO在1,4上有解，所以 1 2，1 2、当X1,4时，。?一；有解，而当工1,4时，了一；min=-1(此时X=l)，所 以一1,又因为20,所以的取值范围是(一1,O)U(O,+oo).答案：(-l.O)U(O,+oo)2.(变条件)若例4条件变为“函数)在1,4上不单调”，贝布的取值范围为解析：因为共幻在口,4上不单调，所以/(幻=0在(1,4)上有解，即。=|=了一-1在(1,4)上有解，令机(幻=33 x(l,4),则一 1Vm(x)V2.所以、，人 J.O(7、实数的取值范围是一1,一看.答案:(T，_记，解题技法I根据函数单调性求参数的一般思路(1)由函数在区间G,切上单调递增(减)可知/7(x)20(f(x)WO)在区间G,b 上恒成立，列出不等式；(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使/(x)在整个区间恒等于0.若/(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有/1(x)=0,则参数 可取这个值.注意当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知 函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题.)训练L(2022淄博月考)若函数/)=乙一In x在区间(2,+8)上单调递增，贝麟的取值 范围是()1)A.(00,2 B.y+C.2,+8)D.1-8,1解析：由于(工)=九一 f(x)=kxn X在区间(2,+8)上单调递增，等价于 f(%)=左一0在(2,+8)上恒成立，由于心:，而所以心.即左的 取值范围是:，+8).答案：B2.已知函数/(x)=-3%+41nx在(右H2)上不单调，则实数，的取值范围是解析：由题意，人%)=一3x+41n X的定义域为(0,+),ff(x)=x3+4 3x4-_=-,当/(x)=0时，有f+3x4=0,得x=4或x=l,；/(x)在tl 可得0,1).17个 U,答案：。1)第二课时导数与函数的极值、最值）课程标准;借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；（2）会用 导数求函数的极大值、极小值；（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o-童五雄逐点清重点一函数的极值1.函数的极小值：函数y=/U)在点x=a的函数值/(a)比它在点x=a附近其他 点的函数值都小,/(0=0;而且在点x=a附近的左侧(x)0，右侧”(x)0,则a叫做函数y=/(x)的极小值点，/U)叫做函数v=Hx)的极小值.2.函数的极大值：函数y=/U)在点x=b的函数值/(b)比它在点x=b附近其他 点的函数值都大3)=0;而且在点X=b附近的左侧/W 0,右侧F(X)0,所以/U)在g,e?上递增，由结论3可知，下的最大值为以e?)=Je2ln e2=2e2.答案：2e202考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点厂 利用导数研究函数的极值问题 定向精析突破考向1根据函数图象判断函数极值阳)(2022郑州模拟)设函数/)在R上可导，其导函数为 f(x),且函数(X)的图象如图所示，则下列结论中一 定成立的是()A.函数)有极大值穴2)和极小值/B.函数/)有极大值八一2)和极小值穴1)C.函痴幻有极大值穴2)和极小值共2)D.函数/)有极大值八2)和极小值*2)解析由题图可知，当XV2时，f(x)0；当一2vxvl时，ff(x)0；当 10X2时，ff(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数/(x)在1=一2处取得 极大值，在x=2处取得极小值.答案Dn解题技法；由图象判断函数y=/U）的极值，要抓住两点：（1）由（X）的图象与“轴的交点，可得函数y=/（x）的可能极值点；（2）由导函数y=f（x）的图象可以看出丁=r（X）的值的正负，从而可得函数y=/G）的单调性.两者结合可得极值点.考向2求函数的极值期口已知函数/）=；上+mf2x+，,其中R.若函数共幻的图象在点 J/O（1,犬1）处的切线与直线2x+y-l=0平行.求的值；求函数/（X）的极值.解（1）由已知，可得r 00=，+依-2.V函数/（X）的图象在点（1,AD）处的切线与直线2x+yl=0平行，（1）=-1=2,解得=1.经验证，a=-1符合题意.由 一今22%+|,ff(x)=x2X2=(x+l)(x2).令f(x)=0,得X=1 或X=2.当工变化时，r(%)与*%)的变化情况如下表：工当”=一1时，八)取得极大值，且八1)=2；X(8,1)1(-1,2)2(2,+8)f(x)+00+极大值极小值当x=2时，兀r)取得极小值，且式2)=一）解题技法运用导数求函数/医）极值的一般步骤（1）确定函数/（X）的定义域；（2）求导数r（X）；（3）解方程/（x）=0,求出 函数定义域内的所有根；（4）列表检验f（X）在f（x）=0的根劭左右两侧值的符号；求出极值.考向3已知极值(点)求参数的值或范围已知函数/)=/+1.若在(l+3)上存在极大值，贝！1/的取值范围是.解析f(x)=3x2lax=x(3x2a)9 令/(x)=0,得与=0,x2=.当。J=0时，f(x)0,/)单调递增，/)无极值，不合题意.当心0时，於)在工=*处取得极小值，在x=0处取得极大值，贝(la-kOva+3,又0,所以Ovavl.当 0时，/在尸 个处取得极大值，在%=0处取得极小值，贝!言va+3,又J Jl可得lnx0,即，0,得至(!/=，一/=J3?+：&：，解得y：又当户:时，r(*)=：=On；：；,x4二-。薪筌 WO在(1,+8)上恒成立，则/(x)在(1,+8)上单调递减，无极值点，故舍去，所以。的取值范围是答案：B一8,.故选B.2.设穴x）=2d+a/+笈+i的导数为洪a/若函数y=/（X）的图象关于直线工=一/对称，且r（i）=0.求实数G，5的值；（2）求函数/（X）的极值.解：因为公）=21+内：2+陵+1,故了 3）=6*2+2%+/，从而f（x）=（269+券+。篙 即y=/，的图象关于直线”=一加称，从而由条件可知一?=一1,解得。=3,又由于/（1）=0,即6+2a+A=0,解得Q 12.O/(2)由(1)知/U)=2x3+3f-I2x+1,/(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f(x)=0,得x=l或x=2,当右(一8,一2)时,f(X)O,Ax)在(一8,2)上是增函数，当“(-2,1)时,f(x)0,/)在(1,+8)上是增函数，从而人)在%=2处取到极大值八-2)=21,在x=l处取到极小值*1)=一6.考点户 利用导数研究函数的最值问题 师生共研过关域&已知函数Ax)=L+AIn x,忌,求函数Ax)在:,小值.解1函数的定义域为(0,+8),-x-(l-x)k kx-1 f a)=若kWO,则在：，e上恒有/(x)vo,所以/U)在e上单调递减.e上的最大值和最1 kxA x-k若Ovk,则/，（）=丁=。,D e*V由左|，得:ae,贝!|x；vO在e上恒成立,1nk-r-所以、（）在:，e上恒成立，V _c _所以/U）在，e上单调递减.综上，当左W时，/x）在:，e上单调递减，所以/（X）min=/）=；+左 一 1,/（X）max=/1=解题技法导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤求函数/的导数r；求/（X）在给定区间上的单调性和极值；求/U）在给定区间上的端点值；（4）将f（x）的各极值与/（X）的端点值进行比较，确定/U）的最大值与最小值.。训练已知函数/(x)=ax+lnx,其中为常数.(1)当=-1时，求/)的最大值；若/)在区间(0,e上的最大值为一3,求的值.解：(1)易知外幻的定义域为(0,+8),当。=一1时，f(x)=-x+inx9f(x)=-l+=,令r(x)=0,得x=L当Ovxvl时,ff(x)0；当xl时,f(x)0得+：0,结合x(0,e,解得Ovxv令f(x)vO得a+：vO,结 C eV Cw eV合工(0,e,解得一LWe.a从而/&)在0,一：上单调递增，在一)，e上单调递减，危0=/一1=1+ln.令一l+ln：=3,得In；=2,BPa=e2.V e20,函数/)=一犷/.(1)求函数在点(0,犬0)处的切线方程；(2)证明/(x)存在唯一极值点；(3)若存在“，使得/(x)Wa+A对于任意的xR成立，求实数。的取值范围.解(1)因为/(0)=0,f(x)=-(x+l)ex,所以/(0)=a-l,所以函数在(0,/(O)处的切线方程为(al)xj=0.(2)若证明/(x)仅有一个极值点，即证(x)=a(x+l)e=O,只有一个解，即证a=(%+1)，只有一个解,令g(x)=(%+l)et只需证g(x)=Cr+l)e”的图象与直线y=a(a0)仅有一个交点,gf(x)=(x+2)ex,当了=2时，gf(x)=0,当xV2时，gf(x)一2时，g1(x)0,g(x)单调递增，当”=一2时，g(-2)=-e-20,所以ga)=(x+l)e”的图象与直线y=a(a0)仅有一个交点，工命题 论证.(3)由题意可得，存在(0,+),使得ax一口飞+对于任意的恒成立,即存在(0,+),使得一AWxe+a(lX)对于任意的xR恒成立.令A(x)=xe*+a(lX),即存在+),一力-2时单调递增，当 X+8 时，h1(X)一+8,当x 8时，h，(x)2),使得函数入(工0)=(即+1)时0a=0,即(%o+l)e+=a,当xVxo时A(x)单调递减，当xx()时/i(x)单调递增，当 X=Xo 时,Mx)min=MXo)=Oeo+(1 Xo)=(1/+即)0“0,h(x0)=(Xox0+2)eo=(x0+2)(x0l)eo,当一2VxoVl时，h1(x0)0,则加劭)单调递增，当劭1时，h1(x0)0,则 加劭)单调递减.当刖=1时，/i(Xo)max=(l)=e,因为存在+),b&Mxo)，即一力W/i(xo)max，即一方We,所以。的取值范围为e,+).解题技法I恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式A%)vA在区间%,也上恒成立，可先在区间加1,汨上求出函 数/(X)的最大值/)max，只要入U)max，则不等式八了)入恒成立；(2)要使不等式/)人在区间小 叫上恒成立，可先在区间小 汨上求出函 数/(%)的最小值/(X)min，只要/3min入，则不等式危0入恒成立.训练1.已知函数/)=/+/+%+。在工=：与x=i时都取得极值.(1)求G,5的值与函数/(X)的单调区间；(2)若对1,2,不等式/Ke?恒成立，求c的取值范围.解：(l)/(x)=x3+ax2+f tx+c,ff(x)=3x2+lax+b,2所以/(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),(x)=0,解得=一或x=LJ(2、4 4 1由=._.a+A=O,ff(l)=3+2a+A=0得a=_j,b=-2.3J J J/当X变化时，ff(x),/U)的变化情况如下表:X(21，3J_2 3(2 J1(1，+)/(X)+00+fix)极大值极小值所以函数/(X)的单调递增区间是-8,一|和(1，+8),单调递减区间是卜|,1.1 2(2 22(2)/(x)=x3222x+c,x1,2,由知，当=一时，/=力+。为极大值,而/(2)=2+c,则式2)=2+c为最大值.要使八工)f(2)9 即 c22+c.解得 c0),又/G)在(O,+8)上单调递增，恒有y(x)20,1 一(即1+x 恒成立，x+工min，而x+；22，=2,当且仅当x=l时取“=，.a0),*vAxi，%2是方程fax+l=O的两个实根,由根与系数的关系得对+2=，不%2=1，f(X2)fM=In+jcxix?)a(x2Xi)Xi/设，=瓷2#）,令则（局事+,=露Mt）在#，+8）上单调递减，.,/?）（#）=:1-,1（故2）/U1）的最大值为5 1痴-#),微专题（四）滋思想方法构造法解/（X）与/（X）共存问题高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数/（X）及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数 的单调性，应用单调性解决问题，该类试题具有一定的难度，下面总结了几种常见 类型及解题方法.一、只含f(x)0E)已知定义在R上的函数Ax),其导函数为/(X),/(x)2,/(2)=4,则不 等式研x l)2f2x的解集为.解析设F(x)=/U)2x,则？(=/(1)-2,因为/(x)2,所以/(x)=/(幻一20恒成立，所以函数F(x)在R上单调递增，又穴2)=4,所以 2)=42X2=0.不等式犷*l)2x22x可转化为*x1)2(x1)0,即xF(x1)0,所以x0,x0,x3或F(x1)0=F(2)F(x1)2 x12,x2%22x的解集为(一8,o)U(3,+).答案(一8,0)U(3,+oo)点评对于不等式f(X)+g(00(或V0)，构造函数网)=/)+g(x);对于不等式r(X)g(x)0(或V。)，构造函数？(x)=/U)g(x);对于不等式r+；泌(或vA)(k#0),构造函数X)=f(x)乙或万(3)=f(x)kx(4)对于不等式广(x)g(x)+/(x)g,(x)0(0(x)一/(x)成立.若f(ln 2)=1,则满足不等式/)4的X的取值范围是()A.(1,+8)B.(0,1)C.(In 2,+)D.(0,In 2)解析1由题意，对任意xR,都有f(x)-/U)成立，即f(x)+/(x)0.令 g(x)=exf(x)9 贝！|g(X)=/(x)e”+/(x)e=ef(x)+/U)0,所以函数g(x)在R 上 单调递增.不等式/方 BPe7(x)l,即g(x)L因为以In 2)=/所以g(h 2)=elny(ln 2)=2x1=l,