高考数学一轮复习课件 第六章 平面向量、复数.pdf

主题三几何与代数 第六章平面向量、复数（必修第二册）第1节平面向量的概念及线性运算课程标准要求1.向量概念通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两 个向量相等的含义；理解平面向量的几何表示和基本要素.2.向量运算借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意 义；旃过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量 共线的含义.移亍解平面向量的线性运算性质及其几何意义.必备知识课前回顾 关键能力课堂突破必备知识课前回顾知识梳理1.向量的有关概念向量:既有耍的量叫崂犀向量的大小叫做向量的回归教材家实四基的向量，其方向是任意的.单位向量:长蟋为0_的向量.平行向量:方向 的相等向量:长度且方向 相反向量:长度且方向亚旭湘量平行相等相等向量又叫.规定：0与任一向量共线向量相同相反2.向量的线性运算减法求两个向量 差的运算二角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数人与 向量a的积 的运算C al=：学衿0时，入a的方|可与a的方 向相同；当泉0时,入a的方向 与a的方伊界反；当入=0时,X(ua);(入+口。二中：X G+b)=入a+入b3.共线向量定理向量a(arO)与b共线,当且仅当有唯一一个实数入，使得_提醒:当axO时，定理中的实数人才唯一，否则不唯一.b二入a重要结论1.P为线段AB的中点,0为平面内任意一点=0Pq（04+03）.2.若G为4ABC的重心,则有 G4+G3+GL0;AGg（A3+4C）.3,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向 量，一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零向量.4.对于起点相同、终点共线的三个向量ok。,。（0与PR不共线），总有办二 uO P1+vO P2,u+v=l,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和 为L5.对于任意两个向量a,b,都有：(l)|a|-|b|ab|A.EF=CD B.43与DE共线C.3。与C D是相反向量 D.AE=|AC 解析:4E=4c故D错误.故选D.2.（必修第二册P22习题6.2T4改编）已知下列各式：T-43+3C+C 4;43+M3+30+0M;t T OA+OB+BO+CO;AB-ACBD-CD.其中结果为零向量的个数为（B）A.1 B.2 C.3 D.4解析：中 AB+BC+CA-Q-中 AB+MB+BO+OM-AB+AB;中 OA+OB+BO+CO=OA+CO=CA;中AB-AC+BD-CD=CB+BC=O.故正确.故选 B.3.如图所示，已知4c=33C,OA=af OB=b,OC=c,则下列等式成立的是（A）A.c=-b-a 2 2B.c=2b-aC.c=2a-bD.c-a-b 2 2-7 7 7 7 7 7 7-7 q-7-7 q 7-7解析：因为4c=33C,OA=af。3=b,所以。=04+4，=。4+三43=。4+三（。3。4）=2 2-0B-04=-b-a.故选 A.2 2 2 24.设a与b是两个不共线的向量，且向量a+油与-(b-2a洪线则入=解析:法一 依题意知向量a+入b与2a-b共线，设a+入b=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+入)b=0,所以1=,解得卜,x(fc+2=0,2 2法二 由题意a+入b与2a-b共线,a,b不共线,所以2人7 X(7)=0,入=|.答案:Y 25 已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是_.解析：当a与b方向相同时，|a+b|=7；当a与b方向相反时，|a+b|=3;当a与b不共线时,3|a+b|-,B.若A,B,C,D是不共线的四点,且43二。&则四边形ABC D为平行四边形C.a二b的充要条件是|a|二|b|且abD.已知入，U为实数，若入aib,则a与b共线解析:A错误,若两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不-一定有相同的起点和终点;B正确，因为AB=DC,所以|A31 二|DC|且43O C,又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABC D为平行四边形；C错误，当ab且方向相反 时，即使|a|二|b|,也不能得到a=b,所以“同二出|且22不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件;D错误，当入二|1二0时,a与b可以为任意向量，满足入a二|ib,但a与b不一定共线.故选B.3.给出下列命题:零向量的长度为零,方向是任意的;若a,b都是单位向量,则a=b_ 向量43与34相等.则所有正确命题的序号是（A）A.B.C.D.解析:根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等 但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量43与34互为相反 向量，故错误.故选A.题后悟通向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度等于1个单位长度.零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.考点二向量的线性运算角度一 向量的线性运算例1T(1)在4ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则品二()371T TK.-AB-AC B.-AB-AC 4 4 4 43 T 1 一C.-AB+-AC 4 41-3 TD.-AB+-AC 4 4IStFr：EB=AB-AE=AB-AD=AB-X-(AB+AC)=-AB-AC.故选 A.2 2 2 4 4 如图,在直角梯形ABC D中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,3L3EC,F为AE的中点,则就二（）1-2 TL-AB-AD3 32 T 1 一B.-AB+-AD3 312 2T 1 C.-AB+-AD D.-AB-AD 3 3 3 3 1 1 y T 解析：(2)根据平面向量的运算法则得3尸*34+23此BE=-BC9 BC=AC-AB.2 2 3T T-7 1T因为 AC=AD+DC,DC=AB9T 1Tl T 1T T 2Tl T所以3F=上43+已(40+243-43)=43+上40.故选B.2 3 2 3 3解题策略向量的线性运算问题要瞄准结论不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.角度二 根据向量线性运算求参数例12 在平行四边形ABC D中,E,F分别为边BC,C D的中点,若4J?=x4E+y4尸(x,y R),贝!I xy二.解析：(1)由题意得41=43+31=43+乙40,4尸二40+0尸=40+243,2 2因为43=x4E+y4B 所以43=(x+今 AB+(|+y)AD,f=1所以9x 解得 升y=o,4冗Ey=l所以x-y=2.答案乂1)2 已知D为4ABC的边BC的中点，点P满足P4+3P+C PR,AP=入PD,则实数人的值 为.,解析：（2）因为D为4ABC边BC的中点，所以P3+PU2PD,又PA+3P+C P=0,所以 PA=PBPC=2PD9 所以4P=-2PD,所以人二一2.答案:-2解题策略 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行 加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.针对训练1.在4ABC中,D是AB边上的中点,贝!C 3=()A.2C D+C 4 B.CD-2CAC.2CD CA D.CD+2CA 解析:在4ABC 中，D 是 AB 边上的中点，贝UC 3=C O+O 3=C D+4O=C O+G4C+C O)二 2CD-CA.故选 C.-2.在4ABC 中，点此 N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xA3+y4C,则 x=解析:MN=MC+C N=-4C+-C B=-4C+-(AB-AC)3 2 3 2=-4B-4C=x4B+y4C,2 6所以x=i y W Z O答案4-7考点三共线向量定理及其应用角度一 利用向量共线求参数例2T设向量e1,ez是平面内的一组基底，若向量a=-3ee?与b=e入e?共线，贝！)人=()A.-B.-C.-3 D.33 3解析:法一 因为a,b共线，a=#0,所以存在|1 R，使b=|i a,即一入e2=|i(-3e-e2)又eb e2不共线,所以J=3，所以入二二故选Bl-A=-g,3法二 由题意-3X(-入)-(-1)X1=0,所以入二-乙故选B.3解题策略使用共线向量基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.角度二三点共线问题1列22(1)设 ei 与 2 是两个不共线的向量，4B=3ei+2e2,C B=kei+e2,C D=3e-2ke2,若 A,B,D三点共线,则k的值为.(1)解析：因为A,B,D三点共线，所以必存在一个实数入，使得43二人BD.又43=3备+T T 2e2,C B=kei+e2,C D=3ei_2ke2,所以3D=C O-C 3=3ei-2ke2-(kei+e2)=(3-k)ei-(2k+1)e%所以3&+2e2=人(3-k)e-X(2k+1)e%又备与e?不共线，所以 一 解(2=-A(2fc+l),得k=T答案污4设ok oi不共线，求证:P,A,B三点共线的充要条件是：办二人后+口耳且入+u=l,入，u eR.(2)证明：充分性:因为人+u=1,所以办二人 04+1 0B=(1-)0A+|1 OB=OA H(0B-04)=04+R AB.所以0P-04二 所以4P=所以4P,43共线.因为两向量有公共点A,所以A,P,B三点共线.必要性：若P,A,B三点共线，则4P=u AB=R(。3-。4).T T T 所以0P-04=1 OB-R 0A.所以0P二(1-)0A+u 0B.令人二1-u,则0P=入04+|JI 0B,其中U+入=1.综上,P,A,B三点共线的充要条件是:0P=入。4+口。3且入+|1=1,入，U R.解题策略证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线针对训练1.已知向量a与b不共线，n二a+m b,易=n a+b(叫nWR),则6与品共线的条件是()A.m+n=O B.m-n=OC.mn+l=O D.mn-l=O(1=2n,(m=2,解析:法一 由43二a+m b,AC=n a+b(m,nR)共线，得 a+mb=入(n a+b),即所以 mn-1=0.法二 6与盛共线的充要条件是1 X1-mn=0,即mn-1=0.故选D.2.如图所示,在4ABC中，点。是BC的中点，过点0的直线分别交AB,AC所在直线于不 同的两点M,N,若AC=nAN,则m+n的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4解析:法一 连接A0.由于0为BC的中点,故A（4B+4C）,令 同理,N0=AB+(导 AC.MO=AO-AM=-(AB+AC)-AB=由于向量证,加共线,故存在实数人使得加二人NO,即（/）AB+AC入AB+入（泠 AC.由于4k 7不共线，故得954人且;二人 令,消去入，得（m-2）（n-2）=mn,化简即得m+n=2.故选B.法二 当MN与直线BC重合时,AB=AM9 4c=4N,此时m=1,n=1,所以m+n=2.故选B.3.设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入=解析:法一 因为向量a,b不平行,所以a+2b#=0,又向量入a+b与a+2b平行，则存在唯一的实数|1,使入a+b=|i(a+2b)成立，即入a+b=|i a+2|i b,则得二解得K=吗法二由题意,卜;,所以入q.答案备选例题例1已知四边形ABC D是平行四边形，点E在C B的延长线上,BC=3,AE=AB=1,ZC=30.若4E=xA3+y4D,贝！x=,y二.解析：因为AB=AE=1,NABE=NC=30,由余弦定理得BE二V5,因为BC=3,所以BC=V3BE,所以3E二一巴 3G 所以-巴 3。=43-廿4。，则 x=1,y=-.3 3 3 3答案：1-y例2设两个非零向量a与b不共线,若ka+b与a+kb共线，则匕.角星析：因为ka+b与a+kb共线，贝1存在实数入，使ka+b=人(a+kb),即(k入)a=(Xk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量，所以k-入二入k-1=0.消去入，得卜2-仁0,所以k二1.答案:1第2节平面向量基本定理及坐标表示课程标准要求L理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数秉运算.必备知识课前回顾 关键能力课堂突破必备知识课前回顾 回归教材家实四基知识梳理1.平面向量基本定理定理:如果外了?是同一平面内的两个向量樱缴于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1，入2，使2=_.4基底:的向量名叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.不共线2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a=(xi,yi),b=(x2,设,则的+乂2)1+丫2)1 的-2%丫2)a+b=,a-b=.(XxpXyJ+y2入a=_,|a|=_n_.向量坐标的求法一若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(xb yi),B(x2,y2),则鼠 的跖%):-AB=J(x2-x1)2+(y2-Ji)23.平面向量共线的坐标表示设2=的)方=仅2以2),其中2工0局0声力共线0乂，2诙2丫1=0重要结论L若a与b不共线，且入a+|i b=O则入=|1=0.2.已知P为线段AB的中点，若A(xb yi),B(x2,y2),则P点坐标为(中,生.3.已知4ABC 的重心为 G,若 A(xb yi),B(x2,y2),C(x3,y3),贝!J G.对点自测L(必修第二册P33练习T1改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l,T),则向量|a-|b二(D)A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析：因为 a=(1,1),b=(1,-1),所以步(p?,|b=(|,-|),所以%一|b二(|-|,3号=(-1，2).故选D.2.(必修第二册P33练习T5改编)若Pi(1,3),P2(4且P是线段PF2的一个三等分点，则点P的坐标为()DA.(2,2)B.(3,-l)C(2,2)或(3/1)D.(2,2)或(3,1)解析：由题意可知P2=(3,-3).7 1T若P1P=P1P2,则p点坐标为(2,2);若P1P=P1P2,则p点坐标为(3,1),故选D.3.已知向量a=3),b=(-1,2).若ma+nb(叫n R)与a-2b共线,则更二 n解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).a-2b=(2,3)-2 X(-1,2)=(4,-1).因为(ma+nb)/(a-2b),所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,所以 2m+n=0,所以吗士 n 2答案4.已知口 ABC D的顶点7-1,-2)网3/1)(5,6)厕顶点口的坐标为 解析:设 D(x,y),则由 AB=O C,得(4,1)=(5-x,6-y),即仁：;解需X答案：(1关键能力课堂突破类分考点落实四翼考点一平面向量的坐标运算1.已知0为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|北|二21A|,则向量。3的坐标是.解析：由点C是线段AB上一点，13C|=214CI,得24c.设点 B 的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),a 2-x=-2,即13-y=-4,=4,所以向量。3的坐标是(4,7).答案:(4,7)2.如图所示，以6*2为基底，则a=解析：以ei的起点为坐标原点，ei所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则eF(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),令 a=x a+y e2,即(-3,1)=x(1,0)+y(-1,1),则 方，=-3，所以卜=-2,b=i,(y=i,即 a=_2ei+e2.答案：出产？3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设43=a,BC=b,CA=c,且C M=3c,CN=-2b.(1)求 3a+b-3c;解:由已知得 a 二(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设43=a,BC=b,CA=c,且C M=3c,CN=-2b.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;解:(2)法一 因为 mb+nc=(-6m+n,-3m+8 n),所以尸皿+-5，解得=-1，-3 m+8n=-5,(n=-1.法二因为 a+b+c=O,所以 a=-b-c,又因为a=mb+nc,所以 mb+r)c=-b-c,m=-1,所以ji=-1.T T一3.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设43=a,BC=b,CA=c,且C M=3c,CN=-2b.(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.解：设。为坐标原点、,因为CM=OM-OC=3c9 所以0M=3c+0C=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).所以 M(0,20).又因为 CN=ON-OC=-2b9 所以O N=-2b+O C=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以 N(9,2),所以MN二(9,-18).题后悟通 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两 端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.考点二平面向量基本定理及其应用例1如图,在正方形ABC D中,M,N分别是BC,C D的中点,若40入AM+u 3N,贝！I入+口1 -1-解析:法一 由4MBN=-AB+ADf AC=入 AM+1 BN-2 2(X-)4B+(+n)4D所以解得,5 LAC=AB+AD9a=|,8 2所以入+U考法二 以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示,设正方形的边长为1,贝比京二(1,3，嬴=(-八二(1,1),T T T 1 2因为 AC=入 AM+|1 BN-(X-|1,-+|1),2 2(2=1,解得所以入+口彳.答案祗解题策略1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来 解决.2.在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几 何的一些性质定理.3.建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算.针对训练1.如果是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量 的一组基底的是（）A.e1与 ei+e2 B.e1-2e2-e1+2e2C.e1+e2-e1-e2 D.e1+3e2-6e2+2e1解析:法一 选项A中，设ei+e2=入3，则:二不无解；4=1 选项B中，设e2e2=人（，+2e2）,则 二 无解；一 2=ZZ,4=1选项C中，设ei+e2=人忌一），贝小y:无解；选项D中，a+3e2=；（6e2+2a）,所以两向量是共线向量.故选D.法二 只有D项的e1，e2的对应系数成比例.故选D.2.如图,A,B分别是射线O M,O N上的点，给出下列向量:04+203;匆4+/。3;|后+场;&+：港 若这些向量均以0为起点，则终点落在阴影区域内（包括 边界）的向量是（）A.B.C.D.解析：由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的一对有序实数 T u,v,使得0P=u04+v03成立,且 u+v=1.可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是满足0P=u04+v03,且u0,v0,u+v1.因为1+21,所以点P位于阴影区域内，故正确；同理正确；而错误.故选B.考点三共线向量的坐标表示及其应用角度一 利用向量共线求参数例26)已知向量a=(2,l),b=(x,-l),且a-b与b共线，则x的值为解析：因为a=(2,1),b=(x,T),所以a-b二(2-x,2),又因为a-b与b共线，所以(2-x)X(-1)-2x=0,所以x=-2.答案:-2已知向量回1,2）力=（2/2）4（1,入）,若。II（2a+b）厕入=解析：由题意得2a+b=（4,2）,因为c=（1,入），且c（2a+b）,所以4入-2=0,即2答案：;4解题策略如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a=区，Y 1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是乂1丫2-乂2丫1=0”.角度二利用向量共线求向量或点的坐标例2-2 在4ABC 中，已知点 0(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=OA,OD=OB,AD 与 BC 交于点 M,则点 4 2M的坐标为.解析：因为点0(0,0),A(0,5),B(4,3),所以点C(0,)，同理点D(2,|).设 M 的坐标为(x,y),则4M=(x,y-5),而40=(2,，T T 7因为A,M,D三点共线，所以4M与40共线，所以-2(y-5)=0,即7x+4y=20,而扇=(x,y-|),CB=(4-0,3-1)=(4,2，因为C,M,B三点共线，所以C M与C 3共线，所以Zx-4(y)=0,即7x-16y=-20,4 47-20,得卜号,7x-16y=-20,y=2,由所以点M的坐标为(王,2).答案：(拳2)解题策略引入参数表示出未知点的坐标,借助向量共线的坐标计算求解便可.针对训练1.已知向量a=(l,1),点A0),点B为直线y=2x上的一个动点,若6a,则点B的 坐标为.解析:设 B(x,2x),则 A3=(x-3,2x).因为43 a,所以 x-3=2x,即 x=-3.所以 B(-3,-6).答案:(-3,-6)2.平面内给定三个向量a=2),b=(T,2),c=(4,1).若d满足(d-c)(a+b),且 I d-c|=V5,求d的坐标.解:设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),又2+(2,4),|七。|二返，z(4(x-4)-2(y-1)=0,所以 o o(x-4)+(y-1)=5,x 3,(y 5解得：或 合(y=-1 y=3.所以d的坐标为(3,7)或3).备选例题例1在平行四边形ABC D中,A(1,2),B(-2,0),AC=-3),则点D的坐标为()A.(6,1)B.(-6,-1)C.(0,-3)D.(0,3)解析:AB=(-3,-2)=DC,所以=(5,T),贝4 D(6,1),故选 A.例2向量a,b,c在正方形网格中，如图所示,若c+u b(f R),贝修()A.1 B.2 C.3 D.4解析：以0为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1,可得 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).因为c二入a+|i b(入，u R),所以-1=+6,、-3=2+2，解得人=-2,口 所以工4.故选D.2 例3已知点A(4,B(4,4),C(2,6)厕AC与OB的交点P的坐标为解析:法一 设。为坐标原点，由0,P,B三点共线，可设办=X OB=(4入，4人)，贝U T T TAP=OP-OA=(4 入-4,4 入).5 LAC=OC-OA=(-2,6),由4P与4c共线，得(4 入-4)X6-4X X(-2)=0,解得人=7,所以O P=0B=(3,3),4 4所以点P的坐标为(3,3).法二 设点P(x,y),0(0,0),则O P=(x,y),因为OB=(4,4),且O P与。3共线,所以孑与4 4即 x=y.又4P=(x-4,y),AC=(-2,6),且4P与4c共线，所以(x-4)X 6-y X(-2)=0,解得 x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).答案:(3,3)第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课程标准要求L通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数 量积.2,通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5,能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.必备知识课前回顾 关键能力课堂突破必备知识课前回顾知识梳理回归教材夯实四基1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,0是平面上任意一点，作=a,O B=b,则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 河2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为9,则数量Ia”b|c ose 叫做a与b的数量积,记作a b,即a b-a b c os 9.规定:零向量与任一向量的 数量积为0,BP 0-a=0投影、投影向量 设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如卜变换:过43的起点A 和终点B,分别作C D所在直线的垂线,垂足分别为3Bi,得到4i3i，我们称 上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量投影向量 的表示a在b上的投影向量为富高a在b上的投影向量的模为与富 b b b3.平面向量数量积的运算律 交换律:a,b=ba;(2)数乘结合律乂入a)-b=(AGR)；分配律:a,(b+c)=T(a-b)a-(Xb)a-b+a-c4.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a=（Xi，y）b=（X2，y2）f=.结论几何表示坐标表示模|a=V ali数量积a b=|a|b|cos 0a b=xix2+yiy2夹角n a bCS Ia|b|Jcos 0=+y/22+黄.J的+於a _Lba b=0 xix2+yiV2=0abla b|=|a|b|丫2一丫1a b与|a|b|的关系la b|式的几何意义是在4ABC中，若AD是BC边上的中线,贝!4C=AD2-BD2.2,两个向量a,b的夹角为锐角oab0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角oab 5.如图，在4ABC中，M为BC的中点，若AB=1,AC=3,43与4c的夹角为60。，则I MA=.解析：因为M为BC的中点，所以AMW(A3+4C),所以 lAZiric ii+ibzj id/r+i/r+zn e/)4 4=-X(1+9+2X1X3XC O S 60)=,4 4所以|易|二四.2答案:孚关键能力课堂突破 类分考点落实四翼考点一平面向量数量积的基本运算1.已知在矩形ABC D中,AB=4,AD=2,若E,F分别为AB,BC的中点,则OE-DF=(B)A.8 B.10C.12 D.14 解析：法一(定义法)才艮据题意，得O E DF=(DA+AE)(DC+C F)=D4 DC+T T CF+AE OC+4E C F=0+2 X 1 Xc os 0+2X4Xc os 0+0=10.故选 B.法二(坐标法)以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2).因为E,F分别为AB,BC的中点,所以 E(2,0),F(4,1).因为 DE=(2,-2),(4,7),所以DE DF=2 X 4+(-2)X(-1)=10.故选 B.-2.在4ABC 中,AB=6,0 为4ABC 的外心,贝！）40 43等于（D）A.V6 B.6C.12 D.18解析:如图,过点0作0DAB于D,可知 AD=-AB=3,2则4。43=（40+00）AB=AD 43+0。43=3X6+0=18.故选 D.3.如图，在梯形 ABC D 中，ABC D,C D=2,NBAD二二 若43 AC=2AB 40,贝！4AC=-解析:法一 因为43 AC=2AB ADf所以成 AC-AB AD=AB AD9 所以43 DC=4B AD.因为 ABC D,C D=2,NBAD=：所以 2|43|二|43|4O|c os：化简得|4。|二2/,故 4 4AD 4C=4D (4D+Z)C)=|4b|2+4b DC=(2V2)2+2V2X2cos=12.4法二如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意,可设点 D(m,m),C(m+2,m),B 意,0),其中 m0,n0,则由43 AC=2AB AD9 -得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m),所以 n(m+2)=2nm,化简得 m=2,故AD AC-(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12.答案：124.在口ABC D中,|43|二8,|4。|=6”为口（：的中点,8时二2时。,贝!|4时可用二 T 1Tl-解析:法一(定义法)4M NM=(43+3 M)(JVC+CM)=(4B+-4D)(-4B-4D3 2 3=-4B2-4D2=-X 82-X 6-24.2 9 2 9法二(特例图形)若口ABC D为矩形，建立如图所示的平面直角坐标系，则 N(4,6),M(8,4).所以4M二(8,4),NM=(4,-2),所以AM NM=(8,4)(4,-2)=32-8=24.答案：24题后悟通解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题常有两种思路：一是定义法，二是坐标法.定 义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的 夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补;坐标法要建立合适的坐标系.考点二平面向量数量积的应用角度一平面向量的模例1T(1)已知平面向量a,b的夹角为J,且|a|=V3,|b|=2,在AABC中,AB=2a+2b,6 4c=2a-6b,D为BC的中点，则14D|等于()A.2 B.4 C.6 D.8解析：(1)因为4D(A3+4C)-(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,2 2所以|G12=4(a-b)2=4(a-2b a+b*2)=4X(3-2X2XV3Xc os-+4)=4,贝|G|=2.故6选A.答案：A 已知在直角梯形ABC D中,ADBC,NADC=90。，AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则 IPA+3PB|的最小值为.当 y=|b Bt,PA+3PBmin=5解析:(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),贝4 PA+3P3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).所以|PA+3PB|=125+(36-4y产(0Wy Wb).答案：5解题策略(1)公式法:利用|a|二后7及(ab)2=|a2a b+|b|；把向量模的运算转化为数量 积的运算.(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则 作出向量，再利用余弦定理等方法求解.角度二平面向量的夹角例1-2(1)已知非零向量a,b满足|a|=21 b|,且(a-b)，b,则a与b的夹角为()A.-B.-6 3C.D.3 6解析：(1)法一 因为(a-b)_ Lb,所以(a-b)b=a b-1b1*2=0,又因为|a|二2|b|,所以2|b|2 c os-|b|2=0,即 c os=-,又知E 0,n,所E4.故选 B2 3B-法二 也口 图,令。4=a,OB=b,贝13 4=04-03=a-b,因为(a-b)J_ b,所以 N 0BA=-,2又|a|=21 b|,所以 ZA0B=-,即=-.故选 B.3 3答案：B若向量对化3)方=(1,4),日2,1),已知22-3屿曲夹角为钝角厕实数1的取值范围是解析：因为2a-3b与c的夹角为钝角，所以(2a-3b)c 0,即(2k-3,-6)(2,1)0,所以4k-6-60,所以k -(2)已知向量43与4c的夹角为120。，且|43|=3,|4。|二2.若4P=入43+4C,且4P_ L BC,则实数入的值为.-解析：因为4PJL3C,所以4P BC=Q.T T T T T T又4P二入 AB+AC,BC-AC-AB,-所以(入43+4C)(AC-AB)=0,即(入 T)4C 43-X 4B2+4C2=0,所以(-1)14c li4B|c os 120-9 入+4=0,所以(入T)X3X2X(-)-9 X+4=0,2解得人二套.答案:春解题策略1.若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标，然后根据数 量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值，根据两个向量垂直的充要条件，列出相 应的关系式，进而求解参数.角度四投影向量例1-4（1）（多选题）设a,b是两个非零向量声在b上的投影向量为c,则下列命题正确的是（）A.a在上上的投影向量为cB.当 a II b 时,c=aC.当 a J_ bH$,c=OD.当a与b方向相同时,c=a;当2与1）方向相反时,c=-a解析：（1）利用投影的定义作图或利用a在b上的投影向量为好 均可以判断 b bA,B,C正确，D错误.故选ABC.答案:ABC-已知4ABC的外接圆圆心为0,且2A0=43+4C,ZABC=60,则向量4B在向量3 c上 的投影向量为（）A.-BC B.BC C.-BC D.-BC4 4 4 4解析：过A作ADBC于D（图略），由已知得NBAC=90。，NAC B=30。，所以BDBA,BABC,所以BDBC,所以法二二位:.故选C.2 2 4 4答案：C(3)已知向量a二(0,8),b=(0,-1),c=(-但T),a在b上的投影向量为叫a在c上的投 影向量为n,则m与n的夹角为.解析：(3)因为ab，所以m=a=(0,8),n=富 芹土与%(26,2),所以 c c 2 2c os=.m.n=_8,x2 5 C E 0,tt,所 以。1,n=-.m n 8xV12+4 2 3答案：三解题策略1.求a在b上的投影向量有两个方法,一是利用投影的定义作出投影向量，用几何方法求解,二是利用投影向量的计算公式:a在b上的投影向量为富 71T.b b2.当ab时，a在b上的投影向量仍然是a,当a，b时，a在b上的投影向量为0,a在 入b（入WR,且入40）上的投影向量与a在b上的投影向量相等，与人无关.针对训练1.已知向量 a,b 满足知向5,|b|=6,a b=-6,则 c os=().31 n 19A.-B.-35 3517 19味 口与解析：由题意，得 a (a+b)=a2+a b=25-6=1 9,|a+b|=Va2+2a b+b2-j 25 T2+36=7,所以c os嗡儒嗡嘿故选D.-2.已知向量|。4|二3。3|二2,。二111。4+11。艮若。4与。3的夹角为60,且。，43,则实数强的值为()n1 1A.-B.-C.6 D.46 4解析：因为向量|(%|=3,|。%|=2,oi:=mOi+noi,后与0%的夹角为60,所以OA OB=3X2Xc os 60=3,所以43。二(。3-。4)(mO 4+nOB)=(m-n)。4 OB-m|O4|2+n|OB|2=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,所以更二工.故选 A.n 63.设a,b为单位向量，且|a+b|=1,则|a-b|=解析：因为a,b为单位向量，且|a+b|=1,所以(a+b)2=1,所以1+1+2a b=1,所以 a b=-,所以|a-b 1*2-a2+b2-2a b-1+1-2 X(-)=3,所以|a-b|-V3.2 2答案:64.已知直线l:Ax+By+C=O的一个法向量为n=(A,B),P(x。,y。)是直线1外一点，动点Q 在1上,则向量QP在向量n上的投影向量的模等于.解析：设 Q(xi,yO,贝Axi+Byi+C=O,Ax+By0+C,所以诵在n上的投影向量的模为弊产f 尹.14%o+3y()+C|答案:Ja2+b2考点三 平面向量的综合应用角度一数量积的最值(范围)问题.例2T 已知4ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则易(PB+PC)的最 小值是()3 4A.-2 B.-C.-D.-1 2 3解析:法一(极化恒等式)结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D,AD的中点 为 E,连接 AD,PE,PD,则有P3+PC=2PD,贝P4(PB+PC)=2P4 PD=2(PE+EA)(PE-E4)=2