高考新教材数学一轮复习课件 第六章 平面向量与复数.pdf

第六章平面向与复数第一节平面向量的概念及线性运算课程标准(1)了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含 义；理解平面向量的几何表示和基本要素；掌握平面向量加、减运算及运 算规则，理解其几何意义；掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何 意义.理解两个平面向量共线的含义；(5)了解平面向量的线性运算性质及其几 何意义.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o-重点灌一点清重点一向量的有关概念1.向量：既有大小又有互回的量叫做向量，向量的大小叫做向量的包遇12.零向量：长度为业的向量，记作0.3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量.4.平行向量：方向相同或型区的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任 意向量平行.5.相等向量：长度相等且方向幽的向量.6.相反向量：长度相等且方向型叵的向量.注意单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的a a单位向量有两个，即向量一和一一.|a|a|逐点清1.（多选）（强修第二册5页习题3题改编）以下说法正确的是（）A.零向量与任一非零向量平行B.零向量的模与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量解析：对于A,根据零向量的性质，可知A是正确的；对于B,因为零向量的 模是0,单位向量的模是1,所以B是正确的；对于C,平行向量的方向相同或 相反，所以C是不正确的；对于D,由平行向量的性质可知，平行向量就是共 线向量，所以D是正确的，故选A、B、D.答案：ABD重点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和 的运算a+b./号人 三角胫达则平行施形法则交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求两个向量差 的运算:b 几何意义ab=a+(b)数乘求实编与向量 a的积的运算Ra|=R|a|,当20时，2a与a 的方向相同;当水0时，2a与a的方向相反;当2=0 时，2a=02Qa)=G)a；(2+4)a=2 a+a；2(a+b)=2a+2b注意向量加法的多边形法则多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a+5+c表示 从始点指向终点的向量.逐点清2.（必修第二册10页练习3题改编）已知口45CD的对角线AC和50相交于点。且下；=a,OB=b,则 OC=,BC=.（用a,b表示）-解析：如图，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC-OB=-OA-OB=ab.答案:b-a-a-b重点三向量共线定理向量a(a WO)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数3使b=2a.注意只有a WO才能保证实数2的存在性和唯一性.逐点清3.（兴修第二册16页练习3题改编）P是A5C所在平面内一点，若 79=2 PA+PB,其中贝!）P点一定在（）A.45C内部 B.4C边所在直线上C.45边所在直线上 D.5C边所在直线上解析：根据题意，=APA+PB CB-PB=APA CP=fPA9，点P在AC边所在直线上，故选B.答案：BO祀牯裕袭遂友记结论1.若P为线段43的中点，。为平面内任一点，则而=；（肉+/声）.2.已知肉=合加+而（3 为实数），若点4,B,。三点共线，贝!U+提速度如图，。在A3C的内部，。为A3的中点，且万7+罚+2/=0,则A3C的面积与AOC的面积的比值为.解析：为45的中点，则南=：（万T+下了），又亩+OB+2 OC=Q9：.OD=OC9，。为CD的中点.又丁。为A5的中点,答案：402考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点尸平面向量的有关概念基础自学过应1.（2022南通联考）下列命题中正确的是A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若a和b都是单位向量，贝!|a=bD.两个相等向量的模相等解析：则若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，A错误；模 相等的两个平行向量可能是相等向量也可能是相反向量，B错误；若a和b都是 单位向量，但是两向量方向不一致，则不满足=，C错误；两个相等向量的 模一定相等，D正确，故选D.答案：D2.设a,b为非零向量，则，b”是“a与b方向相同”的)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：因为a,b为非零向量，所以ab时，a与b方向相同或相反，因此“ab”是“a与b方向相同”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.（2022日照调研）若四边形A3CD满足AD=与BC且|AB=DC|,则四边形A3CD的形状是)A.等腰梯形B.矩形C.正方形 D.菱形解析：因为而=；左，所以而定,且|而尸:|隹|,所以四边形A5CD为以4。为上底边，5C为下底边的梯形.又了|=|肉因此四边形AHCD是等腰梯形.答案：A练后悟通平面向量有关概念的四个关注点相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与 函数图象的平移混淆；(4)非零向量a与各的关系：强是与a同方向的单位向量.考点日平面向量的线性运算定向精析突破考向1向量的线性运算僦D（2022青鸟质检）在A5C中，BD=BC 9 若7?=a,AC=b,则JAD=）A.|a+|bB.|a+|bC-3b2 D.第-3b解析法一：如图，过点。分别作AC,AB的平行线交AB9AC于点瓦F,则四边形AED歹为平行四边形，所以溜-1-2-1-+AF.因为 3。=大3。，所以 AF=AC,所 2 1 2 1以 4。=、AB+AC=.a+.b,故选 A.J J J J -1.A-2.A法二：AD=AB+BD=AB+BC=AB+(AC AB)=AB+故选A.答案A，解题技法向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平 行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则；(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个 平行四边形或三角形中求解；(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.考向2根据向量线性运算求参数E)(2022长春调研)在A3C中，延长3c至点M使得3C=2c M,连接AM,点N为AM上一点且京=；去。，若无贝！U+=()A 1 1Ae 3 Be 2C2 D.3 1 1 1 1 3 1解析由题意，知 AN=&AM=.(AB+3X35。=.AB+J J J J/J1(AC AB)=7 AB+|AC,又 AN=2 AB+AC,所以 2=一：,=,则 7+=1答案A既解题技法I与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量 运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得 相关参数的值.。训练1.(2022济南期中)在A3C中，4。为3c边上的中线，为4。的中点，则反了=()3 1 1 3 A.AB AC B.AB AC3 1 1 3C.AB+4 AC D.4 A3+4 AC解析：根据向量的运算法则，可得隹=；/+滴=；亩 N N N1 1 1 1 1 1 3+产。=2BA+.54+AC)=yA+4 BA+4 AC=4 BA+|l?,所以而=|U-：就，故选A.答案：A2.如图，在A3C中，AN=NC 9 P是5N上的一点，BP=3 PN,若 AP=4 AB+/n AC 9A.:则实数血的值为A/XB 匕-、CB.1)-3-3-3-解析：因为 BP=3 PN,所以 AP=A3+x BN=AB+(AN-AB)=AN+1-1-3-1-7AB,因为 AN=NC,所以 AN=彳 AC,所以 AP=石 AC+AS,又 AP=1 37 AB+/n AC,所以故选B.4 o答案：B考点片 向量共线定理的应用 师生共研过关期E)设两向量a与b不共线.(1)若N?=a+b,-BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证：A,B,。三点共线；(2)试确定实数上 使Aa+b和a+&共线.解(1)证明：=a+b,-BC=2a+8b,而=3(a-b).：.BD=BC=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=54B,及前共线.又它们有公共点b,二4,B,。三点共线.(2)4a+1)与+41)共线，,二存在实数使上a+b=2(a+Ab),即上a+b=2a+2册,优一2)a=(1k l)b.V a,b是不共线的两个向量，左一2=2儿一1=0,，P-1=O,.k=l.解题技法利用向量共线定理解题的策略(l)ab=a=2b(b20)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和 方程思想的运用；(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,。三点共线 台7手，就共线；(3)若a与b不共线且ia=b,贝!U=0；(4)O4=AOB+fTdc(2,为实数)，若A,B,。三点共线，贝!U+=L。训练1.（2022南昌质检）已知a,b是不共线的向量，3=2a+b,/d=a+/b（3R）,若A,B9 C三点共线，贝！U，的关系一定成立的是（）A.1/1=1C.2-fi=lB.afi=-1D.义+=2解析：YA,B,。三点共线，A3 AC,存在实数，使A3=，AC,即2a+U=t9 1b=a+mb,贝”,=消去参数右得加=1;反之，当加=1时，AB=-a+b=：(a+b)=：7i?,此时存在实数;使刀 故和?共线.U与就有公共点A,二4 B,C三点共线，故选A.答案：A2.（2022潍坊期中）如图，在A3C中，AE=3EC 9。是上的 木 点，若茄=x l了+|就，则实数X的值为./解析：V AE=3e?,：JaC=AE 9 9：AD=xAB+2-2 4-8-qAC,A AD=xAB+X-AE=xAB+AE,:B,D,E三点共线，J J J 7 J1 -1 x I 9 jl 9 x 9 f g 1 答案:n第二节平面向量基本定理及坐标表示课程标准(1)理解平面向量的基本定理及其意义；(2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算；(4)能用坐标表示平面向量共线的条件.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记a查互灌逐点清重点一平面向量基本定理1.定理：如果电，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数不，%，使a=2ie i+&e 2.2.基底：若电，e?不共线，我们把4，e?叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.注意Q）基底q,切必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为 基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底0,。2卜有=2161+222=1。1+22，则可以得到 I%=2逐点清L（多选）（共修第二册26页例1改编）设e 2是平面内两个不共线的向量，则以下a,b可作为该平面内一组基底的是（）A a e i+e 2,11.1B.a=2e i+e2 b=2e i+e2C.a=e i+e2,b=e1e2D a=6j-22，b=i-!-42解析:对A,a不能用b表示，故a,b不共线，所以符合；对B,b=：a,所以a,b共线，所以不符合；对C,a不能用b表示，故a,b不共线，所以符合；对D,a不能用b表示，故a,b不共线，所以符合，故选A、C、D.答案：ACD重点二 平面向量的坐标运算1.向量的加法、减法、数乘及向量的模设a=（%i，ji）,b=（%2，%），贝！|a+b=（%i+%2，a b=（x i-j i%），ia=（&u 勿i）,|a|=Ajx i+ji e2.向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；（2）班（打，力），5（小，2），则成=,AB=注意若。=（必，yi）,b=（x2 9%），贝!|a=1X1 J2*逐点清2.(多选)(兴修第二册30页练习1题改编)在平面上的点4(2,1),B(0,2),。(一2,1),0(0,0),下面结论正确的是()A.3一B.OA+OC=OB-C.AC=OB-2 OA D.OA+2 OB=OC解析:点4(2,1),8(0,2),。(一2,1),0(0,0),选项A中，AB=(一2,1),CA=(4,0),BC=(-2,-1),所以下了一Nw左，故错误；选项B中，OA=(2,1),OC=(-2,1)9 OB=(0,2),所以市+南=下区成立，故正确；选项 C中，a?=(-4,0),OB=(0,2),OA=(2,1)9 所以下?=/才一2次成立，故正确；选项D中，万？=(2,1),OB=(0,2),OC=(-2,1)9 所以万？+25咨WOC,故错误.故选B、C.答案：BC3.(必修第二册34页例10改编)已知向量a=(l,2),b=(-l,2),贝!|3a-b|=解析：向量a=(1,2),b=(l,2),3ab=3(l,2)一(l,2)=(4,4),A|3a-b|=A/42+42=4啦.答案：4啦重点三 平面向量共线的坐标表示设a=（x i，ji）,b=（%2，2），其中bWO,贝！|1）0网及一汹=0.注意的充要条件不能表示为?=?,因为如力有可能为0;当 X2 J2且仅当我X2W0时，与，=p等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应 必 yi坐标成比例.逐点清4.(必修第二册31页例7改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且1 则%的值是()A.-6 B.6C.9 D.12解析：因为ab,所以4X32x=0,所以x=6.答案：B祀牯裕袭度记结论1.若a与b不共线，且a+b=O,贝以=0.2.已知A5C的顶点A（x i，川），B（x2 9力），C（x3,力），则43。的重心G的坐标为21+必+也，1+，2+73、提速度已知市=(5,-2),OB=(-49-3),且/+N+诉=0,其中O为坐标 原点，贝!|P点坐标为()f l 5A.(9，1)B.守一,C.(1,-5)D.3,一3I 3)解析：因为何=(5,-2),OB=(-49-3),且 5了+N+=0,所以P是045的重心，又A(5,-2),B(-4,-3),0(0,0),所以P点坐标为(I 5、壬号.故选B.答案：B02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点平面向量基本定理的应用师生共研过关0E)(2022郑州质检)如图，在平行四边形A3CD中，E,尸分别为边A3,BC 的中点，连接C,DF,交于点G.CG=2 CD+/iCB(3/ER),则，=解析由题图可设 CG=x CE(0 x 2-解：（1）由题意知，A是5C的中点，且0D=：0B,由平行四边形法则，得03+OC=2 OA9 所以碇=2肉一员=2a-b,-2 5DC=OC OD=(2ab)b=2a,b.J J由题意知，EC/DC9故设”=x方才.-5因为 EC=OC-0E=(2a-b)-2a=(2-2)a-b,DC=2a-b.J(5)所以(22)ab=x 2a.因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理，32-2=2 xf x=j,得1-5 解得 3-4)又647X(2)=0,解得；1=彳，所以。尸=彳OB=(3,3),所以点P的坐标为(3,3)法二：设点P(x,j),则 OP=(x,y),因为 OB=(4,4),且 OP 与 03 共线,X V-K所以4=4，即x=y.又AP=(x4,j),AC=(2,6),且AP与AC共线，所以(x-4)X6-j X(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).答案(3,3)，解题技法两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a=（M，ji）,b=（x2,力），贝！l a b的充要条件是种2%功=0;（2）若a b（b W0）,贝!|a=2b.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为2a QR）,然后结合其他条件列出关于2的方程，求出2的值后代入然即可得到所求的向量.求点 的坐标时，可设要求点的坐标为（x,同，根据向量共线的条件列方程（组），求出X,y的值.训练1.(2022太原联考)已知向量e i=(l,l),2=(0,1),若8=01+加2与b=(2e i3e 2)共线，则实薮=.解析：由题意知&=1+262=(1,1+2),b=(2e i3e2)=(-2,1).由于ab,3所以1义1+2(1+刃=0,解得丸=一不3答案：一；2.(2022安徽调研)在直角坐标系%0y中，已知点4(0,1)和点5(3,4),若点C任NAO3的平分线上，且|碇|=3郁，则向量方子的坐标为.解析：因为点。在NAO5的平分线上，所以存在71(0,+8),使得员=(一一,2+:.QC=7(0,1)+2?=一13,又I OC|=310,所OA OB)以一杀2+02=(3.尸，解得丸=5.故向量在=(-3,9).3/P/答案：(-3,9)第三节 平面向量的数量积及应用，课程标准（1）理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量 积；（2）了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系；（4）能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的 条件，会表示两个平面向量的夹角；（5）会用向量方法解决简单的平面几何问 题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记O-逐点清重点一向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a,b,如图所示，。是平面上的任意一点，作ET=a,OB=b,则NAOB=9(097t)叫做向量 a与b的夹角，记作a,b).2.范围：夹角2的范围是，可当，=0时，两向量a,b共线且同向;当。=；时，两向量a,b相互垂直 记作a _Lb；当=兀时，两向量a,b共线但反向.注意只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角.逐点清1.（必修第二册20页练习1题改编）在45C中，BC=59 AC=8,C=60,贝!|就ZT的值为（）A.20 B.-20C.2（h/3 D.-2（h/3解析：由题意知就，CA）=120,故就7彳=|融|7彳卜c o s a b D.(a+b)-(a b)=|a|2|b|2解析：对于A选项，0a=0,错误；月对于B选项，因为ab=bc,如图，由数量积的几何意义可知|a|c o s 4=C0S，2，但 a rC,错误；b对于C选项，a*b=O=a b,正确；对于D选项，(a+b)*(ab)=a2b2=|a|2|b|2,正确.答案：CD3.（兴修第二册18页例10改绩）在中，ZABC=60,ZBAC=90,则向量京在向量证上的投影向量为1 J3A.BC B.七 BC1 J3C.BC D.一七 BC解析：取点。为BC的中点，根据题意作图，NR4C=90。,NASC=60。，市在证上的投影向量为1访=:万力()故选A.答案：A重点三 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=（%i，ji）,b=（%2，刈），a与b的夹角为仇几何表不坐标表示数量积a*b=|a|b|c o s 0a-b=x1x2+jiy2模|a|=W|a|=x；+夹角c o s 0 I iit I网cos 出;+并遍+月a _Lb的充要条件ab=0XiX2+jij2=0a b的充要条件a=ib（iGR）肛为一Ri=0年用与同也|的关系|ab|W|a|b|（当且仅当方时等号成立）|X1X2+y 1J2 W 4由+y：）（竟+j2）注意（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a bgab=0是对非零向量 而言的，若。=0,虽然有仍=0,但不能说a J-瓦逐点清4.(多选)设向量a=(2,0),b=(l,l),则)A.|a|=|b|B.(ab)bTlC.(a-b)b D.a与b的夹角为4解析：因为a=(2,0),b=(l,l),所以|a|=2,|b|=2,所以|a|W为,故A错误；因为a=(2,0),b=(l,l),所以ab=(L 1),所以(ab)与b不平行，故B错误；又(ab)b=l 1=0,所以(ab)_Lb.故C正确；又c o s =解g:技收=，且a,b e 0,而，所以a与b的夹角为%故D正确.故选C、D.答案：CDo,提速度记结论1.平面向量数量积运算的常用公式(l)(a+b)*(ab)=a2b2；(2)(a b)2=a22a-b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0,反之不成立(因为夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有abvO,反之不成立(因为夹角为九时不成立).提速度1.（2022临高模拟）已知平面向量a,b满足ab=0,|a|=l,|b|=2,则|2a-b|=()A.0 B.2啦C.4 D.8解析：因为ab=0,|a|=l,|b|=2,由结论 1 可得|2a-b|=yj 4a2-4a-b+b2=4-0+4=2a/2,故选B.答案：B2.（2022佛山质检）已知a,b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由结论2可得选B.答案：B02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点平面向量数量积的基本运算师生共研过关域D（1）（2020新高考I卷）已知P是边长为2的正六边形A3CDE1呐（不包括边界）的一点，则7了下的取值范围是)A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)(2021新高考n卷)已知向量a+b+c=0,|a|=l,|b|=|c|=2,ab+bc+ca=解析 AP-AB=AP 卜|AB l-c o s ZPAB=2 AP|cos ZPAB9 又|AP|c o s NRL8表示 方在弁 方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最 大，当P与F重合时投影最小.又就=2,X2Xc o s 30=6,AF AB=2X2Xc o s 120=-2,故当点P在正六边形A3CDEW内部运动时，APABE：(2,6),故选A.(2)由(a+b+c)2=a 2+b2+c 2+2(ab+bc+ca)=0,得2(ab+bc+ca)+9=90,故ab+bc+ca=-5.9答案(DA(2)-2，解题技法求非零向量a,b的数量积的策略(1)若两向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算；(2)根据图形之间的关系，找到两个长度和夹角已知(或可以求出)的不共线向 量作为基底，再把相关向量用基底表示出来，然后根据平面向量的数量积的定义 进行计算求解；(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a,b的坐标，通过 坐标运算求解.训练1.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1,贝!|(a+b)c=；a*b=解析：以网格正方形的一条水平线为X轴，竖直线为,轴建平面直角坐标系，则 有a=(2,l),b=(2,-1),c=(O,l),.(a+b)-c=(4,0)-(04)=4X0+0Xl=0,a-b=2X2+l X(-l)=3.答案：0 32.（2021天洋高考）在边长为1的等边三角形A5C中.。为线段5c上的动点，DEL A3且交AS与点AS交AC于点F,贝!|2隹+加曲值为；（DE+DF）nA的最小值为.（。解析：设x e 0,不，ABC为边长为1的等边三角形，DEA.AB,乙）：.ZBDE=3Q09 BD=2x9 DE=x,DC=l-2x,9：DF/AB9，。耳。为边长 为1一23 的等边三角形，DEDF9：.（2 BE+DF）2=4+4BE DF+=4x2+4x(1-2x)Xcos 0+(1-2x)2=1,A 1BE+DF=1,V(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+-E4)=D?+Df-eA=(/3x)2+(1-2x)X(1-x)=5x2-3x+1=5”痛2+案，工当尸官时，5春+苏)京的最小值为号.、IVy NU 1V NU答案:1120考点2)平面向量数量积的应用定向精析突破考向1求向量的模(2021全国甲卷)若向量a,b满足|a|=3,|ab|=5,a*b=l,则|b|=解析由|ab|=5得(ab=25,即a?2ab+l)2=25,结合|a|=3,a-b=1,得32-2Xl+|b=25,所以|b|=3g.答案3.解题技法求平面向量模的方法(1)若a=(x,j),利用公式团=出阡了；利用同=后；(3)借助数量积定义或性质转化为关于所求模的方程求解.考向2求向量的夹角b满足|a|=5,|b|=6,a*b=D.1935，则 c o s()解析由题意，得 a(a+b)=a 2+ab=256=19,|a+b 25-12+36=7,所以 c o s =)+上立飞,故选 D.答案DI解题技法I求平面向量的夹角的方法a,b定义法：c o s夕=-,，的取值范围为0,可；l a|b|(2)坐标法：若 a=(x i，ji),b=(X2,2)，贝!I c o s 夕=32+产解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.考向3平面向量的垂直问题胡(2021全国甲卷)已知向量 a=(3,l),b=(l,0),c=a+4b.a c,贝！I k=.解析c=(3,l)+(&0)=(3+左 1),ac=3(3+A)+l X 1=10+3上=0,10答案一不解题技法1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据已知条件（如共线、夹角等）计算出这两个向量的坐 标，然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系求解相关参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.c）训练L（2020全国I卷）设a,b为单位向量,且|a+b|=L则|a-b|=解析：法一：；a,b为单位向量，且|a+b|=l,，（a+b）2=l,b=一+|ab|2=a2+b22a*b=l+l2X =32法二：如图，设/；=a,OB=b9利用平行四边形法则得衣=a+b,V|a|=|b|=|a+b|=l,OAC为正三角形,|BA，l+l+2ab=|ab|=/3.、3=|ab|=2X,X|a|=/3.答案：小2.已知平面向量|a|=3,|b|=2,a-(ab)=8,则 c o s =.解析：因为 a(ab)=8,所以 a2a-b=|a|2|a|-|b|c o s =8,解得 c o s(a,b)=；.答案y3.（2020全国n卷）已知单位向量a,b的夹角为45,Aa b与a垂直,则k=解析：由题意，得ab=|a Hb|c o s 45。=,因为向量4ab与a垂直,所以(kab)a=Aa 2ab=A;一4=0,解得 k=2答案:2平面向量的应用定向精析突破考向1平面几何中的向量方法做区）（多选）（2022常州一模）已知P为AbC所在平面内一点，则下列结论正确的是（）A.若前+3不？+2不？=0,则点P在ABC的中位线上B.若右+?+?=0,则尸为ABC的重心C.若刀7?0,则AbC为锐角三角形-1-2-D.若AP=qA3+qAC,则ABC与A3P的面积比为3：2 J J解析对于A,设A3中点为。，3C中点为,+3 P3+2PC=0,+B=-2(PB+C),/.2 PD=-4PE9=2 EP 9 AP,D,E三点共线，又。为443。的中位线，点P在ASC的中位线上，A正确；对于B,设A3中点为D,由肉+PB+PC=0得:钳+PB=-PC=CP,-CP又 24+P3=2PZ),A CP=2 PD,二尸在中线 CD 上，且丽=2,二尸为AbC 的重心，B正确;对于C,A5AC0,A3与AC夹角为锐角，即A为锐角，但此时3,C 有可能是直角或钝角，故无法说明AHC为锐角三角形，C错误；对于D,V4P=1ab+|-aC,.P为线段3C上靠近C的三等分点，即淀2-=q BC 9 Sabc Saabp=BC:BP=3:2,D 正确.故选 A、B、D.答案ABD解题技法I用向量解决平面几何问题的两种方法及步骤向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化.向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化.考向2向量在物理中的应用举例颂）（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包 的情况（如图）.假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为Fi，F2,若啊|=啊|且Fi与F2的夹角为仇则以下结论正确的是（）A.|Fi|的最小值为:|G|C.当夕=/时，|FH=?|G|B.。的范围为0,可D.当，=石时，|Fi|=|G|解析由题意知，Fx+F2+G=0,可得Fi+F2=-G,两边同时平方得|G|2=|Fi|2+|F2|2+2|F1|F2|cos=2|F1|2+2|F1|2cos 0,所以同二刃矍两.当夕=0 时，|Fi|min=1|G|;当夕=肘，|Fi|=|G|；当夕=午时，|FH=|G|,当夕=九时，竖直方/J向没有分力与重力平衡，不成立，所以，0,元），故A、C、D正确.答案ACD，解题技法用向量方法解决物理问题的步骤。训练（2022南开模拟）点P是A3C所在平面上一点，满足|商一五|一|商+出一2针|=0,则ABC的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析：点P是AHC所在平面上一点，满足|不了一式|一|卷+不匹一2画|=0,贝！|隹一不？|=|转+不？一2讨可得|E了|=|成+/?|,AB-AC=AC+AB 9 等式|成-AC|=AC+AB|两边平方并化简得。AC=0,：.AB AC,因此，A5C是直角三角形.故选B.答案:B微专题(八)密核心索赤逻辑推理平面向量与三角形的“四心”逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保 证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.通过学习平面向量与三角形“四 心”的推论，提升学生的逻辑推理能力.三角形的“四心”设。为A3C所在平面上一点，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,贝!。为A3C的外心台而=OB=OC尸端不(2)0 为 4ABC 的重心0/7+OB VOC=0；(3)0 为 AABC 的垂心台下；OB=OB OC=OC OA；(4)0 为AbC 的内心台|前 YOA+AC OB+AB OC=0.一、平面向量与三角形的“重心”问题(ED已知A,B,。是平面上不共线的三点，0为坐标原点，动点P满足=1(1-A)OA+(1-A)OB+(1+2A)o?,则点尸的轨迹一定经过()A.A3C的内心 B.A3C的垂心C.A3C的重心 D.A3边的中点解析取4万的中点。，贝!12a=/2+万密，9：OP=1(1-KOA+(1-A)OB+(A+2 A)dc 9：.OP=12(1-Z)-OD+(1+2A)=-OD J J Jo c9而，P,C,。三点共线，点P的轨迹一定经过A5C J J的重心.答案C二、平面向量与三角形的“外心”问题1)(2022沈阳质检)在ASC中，。为其外心，OAOC=39且6OA+fiOB+dc=09则边AC的长是.解析设ABC外接圆的半径为&丁。为A5C的外心，法|=|万了 OC=R9 又小 OA+S OB+OC=Q9 则小 OA+OC=-yfiOB 9：.3OA2+-OC2+2a/3 OAOC=7OB29从而万T万才=$2,又方；万万=市，所以R2=2,又N-戏弓肉|f?|c o sNAOC=R2c o sNAOC=4,工 c o sN4OC=申,在AOC 中，由余弦定理得 4。2=。42+0c2-2OAo cc o sNAOC=oR2+R2-2 R2X=(l-3)R2=4-2 yj 3.所以 AC=31.答案a/3-1三、平面向量与三角形的“垂心”问题似(2022济南质检)已知。是平面上的一定点，A,B,。是平面上不共线的(1rl)三个动点，点P满足苏=oa+2一+|A定通过443。的A.重心 B.夕卜心C.垂心D.内心)、解析OP-OA=入AB+ACAB+ACBC-ABU AB|c o s B|AC|c o s C)U AB|c o s B|AC|c o s C)-、BCACU AB|c o s B|AC|c o s C)|BC|A3|c o s(九一3)+1BC U AC|c o s C|AB|c o s B|AC|c o s C y+，AP=1(-|-BC|+|-BC|)=O,所以就，方，动点尸在3c的高线上，动点P的轨迹一定 通过A3C的垂心，故选C答案C四、平面向量与三角形的“内心”问题 碰1）（2022海南模拟）在A3C 中，AB=59 AC=69 cos A=1,0 JAABC的内心，若苏=了加+/必，其中X,j051,则动点P的轨迹所覆盖图形的 面积为（）由 146A.15.rD.62解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OC为 邻边的平行四边形及其内部，其面积为KOC的面积的2倍.在ABC中，设内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理/=52+。22加0）$4得=7.设 A3C的内切圆的半径为r,则%c sin A=3（a+A+c）r,解得所以So c/J=|x a Xr=1x 7X=2.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2s皿=143答案B第四节复数，课程标准（1）通过方程的解，认识复数；（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；（3）掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01失口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记拿直雄逐点清重点一复数的有关概念1.复数的概念：形如。+历(a,bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a,b 分别是它的实部和虚部.当且仅当=0时,。+历为实数；当月0时，历为虚数；当4=0且方#0时，+历为纯虚数.2.复数相等：a+bi=c+数0级=。且怂=(,b,c,dR).3.共轲复数：a+M与c+di共输台=b=d 5,瓦。，JER).4.复数的模：向量应的模叫做复数z=a+历(a,bR)的模或绝对值，记作囱 或|。+卅|,即|z|=|。+加|=。+.注意一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0.逐点清1.(必修第二册80页练习3题改编)已知a+M(a,bSR)是有色的共朝复数，则a+b=()A.11 B.:C.I D.11i(1i)(li)解析：由#=芸&=一3从而知。+加=3由复数相等得。=0,b=l,1+1 1)从而a+b=l.答案：D2.（兴修第二册73页习题2题改编）设a,AWR,i是虚数单位，则“而=0”是“复数为纯虚数”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：复数一历为纯虚数，且一即。=0且。W0,“而=0”是“复数a+f为纯虚线”的必要不充分条件.故选C.答案：c重点二复数的几何意义又寸 i2 L _ _1.复数-复平面内的点Z(m b).2.复数2=+时一一对应 0-平面向量OZ.注意复数z=a+W(a,AR)的对应点的坐标为由。)，而不是(a,M).逐点清3.(兴修第二册73页习题6题改编)已知复数z满足(2i)Z=l2i,其中i为虚数 单位，则z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5y a .31-21(l-2i)(2+i)4 3.4 4.3.叱解析：由(2-1)=1-21得7=2i=(2T)(2+i)二1一1故？=M+更所以(4 3)z在复平面内对应的点为不三,故z在复平面内对应的点在第一象限.故选A.答案：A重点三复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设Zi=a+万i,2=c+di,a9 b,c,dR._J z、z?人（a+历）士（c+di）二二/Zi 人（。+历）（c+di）二Litt 鸣二（