具有相互干扰和恐惧效应的捕食模型的稳定性.pdf
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1、数理科学与信息科学研究具有相互干扰和恐惧效应的捕食模型的稳定性蒋唐唐,张睿(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州730070)摘要:研究一类具有相互干扰和恐惧效应的Lotka-Volterra食饵捕食模型,分析解的有界性和系统平衡点的存在性,并给出系统持续性的充分条件,通过Dulac判别法得出正平衡点是全局渐近稳定的,具有相互干扰和恐惧效应的食饵捕食模型能长期共存并保持生态平衡。关键词:捕食系统;相互干扰;恐惧效应;平衡点;稳定性中图分类号:O175.13文献标识码:A文章编号:1672-2914(2024)02-0016-04Stability of a Class of Predation
2、Models withMutual Interference and Fear EffectsJIANG Tangtang,ZHANG Rui(School of Mathematics and Physics,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,Gansn,China)Abstract:A class of Lotka-Volterra predator-prey models with mutual interference and fear effectsis studied,the boundness of the solution a
3、nd the existence of the equilibrium point of the system are an-alyzed,and sufficient conditions for the sustainability of the system are given.Through Dulac discrimi-nation,the positive equilibrium point is globally asymptotically stable,and the conclusion is drawn:Predator-predator models with mutu
4、al interference and fear effects can coexist for a long time and main-tain ecological balance.Key words:predatory system;mutual interference;fear effect;equilibrium point;stability收稿日期:2023-11-12作者简介:蒋唐唐(1997),女,兰州交通大学数理学院硕士研究生,研究方向为生物数学。通讯作者:张 睿,教授,研究方向为生物数学。E-mail:。捕食与被捕食是生物之间一种常见的相互作用关系。在自然界中,捕食者
5、的出现会让食饵产生恐惧效应,与此同时,当捕食者与捕食者相遇时,捕食者都有离开相遇地方的趋势,Hassel1在1971年发现捕食者在捕食食饵时有相互干扰的现象1。Freedman提出了描述这种相互干扰与捕食者种群之间关系的数学模型2。dxdt=xg(x)-ymp(x)dydt=y(-d+cbym-1-ey)(1)傅金波等研究了一类具有相互干扰和非线性饱和功能性反应且食饵种群非线性增长的捕食模型的动力学行为,获得了保证系统的边界平衡点和正平衡点全局渐近稳定的阀值条件3。张雷等研究了一类具有Holling型功能反应相互干扰的捕食系统,得到了系统正平衡点全局吸引的充分条件4。Wang 等将恐惧效应纳入
6、捕食者食饵模型,提出了如下二维常微分方程组的捕食者食饵模型5-6。dxdt=r0 x1+ky-dx-ax2-g(x)ydydt=y(-m+cg(x)(2)本文取g(x)为线性函数,在模型(1)和模型(2)的基础上建立一类具有相互干扰和恐惧效应的捕食-食饵模型。dxdt=x(r1+ky-d-ax-bym)dydt=y(bxym-1-c-ey)(3)2024年3月咸阳师范学院学报Mar.2024第39卷 第2期Journal of Xianyang Normal UniversityVol.39 No.2其中r表示无捕食者下食饵的自然出生率,d表示食饵的自然死亡率,a表示食饵由于种内部竞争造成的死
7、亡率,b表示捕食者的捕获率,c表示捕食者的自然死亡率,e表示捕食者由于种内竞争造成的死亡率,k表示恐惧水平,以上各参数均为正值。系统(3)具有生物学意义,只讨论初始条件x(0)0和y(0)0的系统(3),由系统(3)可知x()t=x(0)exp(0t(r1+ky(s)-d-ax(s)-bym(s)ds)y()t=y(0)exp(0t(bx(s)ym-1(s)-c-ey(s)ds)因此,易得对于任意的t0,其对应的解x(t)0,y(t)0。1解的有界性和持续性引理17如果a0,b0,p0,t0,x()0 0且(1)若dxdtx()t()a-bxp()t,则limt+infx()t ab1p。(2
8、)若dxdtx(t)(a-bxp(t),则limt+supx(t)ab1p。引理27如果a0,b0,0p0且(1)若dxdtx()t()-a+bxp-1()t,则limt+infx()t ab11-p。(2)若dxdtx()t()-a+bxp-1()t,则limt+supx()t ab11-p。定理1rd时,系统(3)的解是有界的。证明:由系统(3)中的第一式可知dxdt=rx1+ky-dx-ax2-bxymrx-dx-ax2-bxym(r-d)x-ax2=x(r-d-ax),当k=0,即恐惧不存在;b=0,捕获不存在时取等号。rd时,根据引理1可得limt+supx()t r-da=M1那么
9、T10,10,对于tT1,有x()t M1+1。同理dydt=bxym-cy-ey2bxym-cy。当e=0时,即捕食者种内竞争不造成捕食者死亡,取等号。由上述可知x()t M1+1。所以dydtbxym-cybM1ym-cy。根据引理2可得limt+supy()t bM1C11-m=M2那么T20,20,对于tT2有y()t M2+2。综上分析可知系统(3)的解都是有界的。文献8研究了一类具有无穷时滞的非线性积分微分捕食竞争模型,得到了系统持续生存的充分条件。文献9研究了系统在初始条件下是有界正的,这意味着系统是持续生存的。基于文献7-9,可得到系统(3)是持续的。定理2 当r1+ky-d-
10、bM20时,系统(3)是持续的。证明:由定理1可知,对于tT2,有y()t M2+2,r1+kyr1+kM2,bymbMm2,dxdt=xr1+ky-d-ax-bymx(r1+kM2-d-ax-bMm2)=x(r1+kM2-d-bMm2-ax)。令A=r1+kM2-d-bMm2,当A0成立时,由引理1可知limt+infx()t Aa=m10那么T30,30,对于tT3,有x()t m1+3。同理A0时,x()t m1+3,y()t M2+2。所以bxymbm1ym,ey2eM2y,dydt=bxym-cy-ey2bm1ym-cy-ey2bm1ym-cy-eM2y=y-(c+eM2)y+bm1
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