立足课堂教学 聚焦“四能”培育——以“复数的几何意义”的教学设计为例.pdf
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1、2024年第2期总第91期【特设专栏:新青年数学教师工作室】立足课堂教学聚焦“四能”培育以“复数的几何意义”的教学设计为例杨元韡(江苏省常州高级中学,江苏常州213003)【摘要】文章以“复数的几何意义”的教学设计为例,探讨了如何立足课堂教学培育学生的“四能”,并给出了几点思考:把握学情,找准学生发现与提出问题的最近发展区;创设情境,营造学生发现与提出问题的适切场域;设计关联,提供学生发现与提出问题的时空机会;评价跟进,激发学生发现与提出问题的积极动机。【关键词】四能;发现问题;提出问题;复数的几何意义【作者简介】杨元韡,高级教师,江苏省常州高级中学数学教研组副组长,常州市中小学学科带头人,江
2、苏省卓越教师创新培育计划(2021年高中数学)培养对象,研究方向为数学教育。【基金项目】江苏省中小学教学研究课题“核心素养视角下高中数学建模的教学实践研究”(2021JY14-L56);常州市教育科学“十四五”规划课题“新高考背景下的高中数学课堂情境教学实践研究”(CJK-L2022294)一、引言普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)(以下简称“新课标”)提出了高中数学的课程目标:学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”);提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(“四能”)。1其中,“四基”是数学学习的
3、载体,“四能”是发展数学核心素养的抓手。发现与提出问题的能力、分析与解决问题的能力,本质上是运算能力、推理能力、直观想象能力等多种数学基本能力的综合体现。一线教师往往更关注学生如何分析问题与解决问题,因此问题大多数由教师提出,很少让学生自己去发现、提出,导致“四能”的培育出现了一定程度的不平衡现象。问题的发现在数学教学中应该占有重要的位置。创新始于问题,发现往往是科学探究的基础。基于此,一些数学家认为在数学中发现结论比证明结论更重要。发现、提出、分析、解决问题的过程是科学探究需经历的全过程,显然,在教学中让学生经历这样的过程是很有价值的。2数学教育应让学生经历数学探究的过程,给他们提供探究、猜
4、想和提出问题的机会。3新课标提出“四能”,也提倡在教学过程中设计更多问题,并为学生提出问题创造情境。依据新课标,新修订的各版本教材相对于原先的教材而言,增强了趣味性、情境性、实践性以及与信息技术的结合性。如人教A版普通高中数学教科书的“拓广探索”栏目4和苏教版普通高中数学教科书的“探究拓展”栏目5等,提供了具有情境性或探究性的素材,让学生发现并提出问题。教师在用好、用足这些素材的同时,还要深入研究教材,挖掘更多的素材,努力实践“用教材教”。因此,如何立足课堂教学,全面培育“四能”,尤其是培育发现问题和提出问题的能力,是一个值得探讨的问题。本文以“复数的几何意义”的教学设计为例,谈谈对此的思考。
5、802024年第2期总第91期二、教学设计片段与说明教学设计片段1:观察与发现实数集中引入新数i后,进一步扩充成复数集,教师给出复数加法、减法、乘法、除法运算法则。设z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,dR。则z1+z2=(a+c)+(b+d)ib=d=0z1+z2=a+c;z1-z2=(a-c)+(b-d)ib=d=0z1-z2=a-c;z1 z2=(ac-bd)+(bc+ad)ib=d=0z1 z2=ac;设 z20,则z1z2=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2ib=d=0z1z2=acc2=ac。【问题1-1】在复数范围内进行四则运算,若令两个复数的虚部都为0时,大
6、家有什么发现?【预设】学生提出自己的发现:复数集上的四则运算法则限制在实数集上,与实数集上的四则运算法则是一回事。【设计意图】研究复数集上的四则运算需要考虑特殊的情形,即实数集上的四则运算,两个集合上的四则运算不能相互矛盾,要能够相容。体会到特殊化的过程,才能体会到复数集上的运算法则的合理性。这个特殊化的过程体现了一致性,后面研究复数的相关性质,总是要“回头看看”特殊情形实数的相关性质。【问题1-2】实数m的几何意义是什么?实数m的绝对值(即|m)的几何意义是什么?对于两个实数m,n,|m-n的几何意义是什么?【预设】学生能够回答:实数m的几何意义是数轴上的对应的点,|m的几何意义是数轴上的对
7、应点与原点的距离,对于两个实数m,n,|m-n的几何意义是数轴上对应的两点之间的距离。【问题1-3】如果我们研究复数的几何意义,你能不能提出你的猜想?【预设】学生提出:复数的几何意义可能也是点,复数的“绝对值”可能是表示复数的点与原点的距离,两个复数的差的“绝对值”的几何意义可能也是两点之间的距离。【设计意图】让学生感受新知识与旧知识之间的紧密联系,形成正向的迁移,即研究复数的相关性质可以从研究实数的相关性质入手。学生在感受复数集上的四则运算法则与实数集上的四则运算法则之间的关系的基础上,提出自己的发现,教师加以点评。以此为先例,教师以实数的相关问题切入,让学生自主提出与之“平行”的复数相关问
8、题。教学设计片段2:复数的几何意义的探索【问题2-1】实数的几何意义是数轴上的点,复数包括实数与虚数,复数的几何意义是什么样的点?我们只需要研究什么问题?【预设】学生提出:虚数的几何意义是什么?【问题2-2】你觉得虚数单位i用什么样的点表示?1+i用什么样的点表示?更一般地,a+bi(a,bR)用什么样的点表示?【预设】学生发现:数轴上的点“不够用”,提出引入坐标平面,用坐标平面上的相关的点表示。【问题 2-3】复数 z=a+bi(a,bR)与点(a,b)一一对应,这个对应合理吗?我们还要考虑什么问题?【预设】引导学生提出:复数z=a+bi(a,bR)与点(a,b)一一对应,特别地,当b=0时
9、,实数a与点(a,0)对应,也与原先的实数与数轴上的点一一对应一致。【问题2-4】还有哪些数学对象也与点对应,也用坐标表示?如果有,它们之间是不是一一对应的?【预设】学生联想到平面向量,从而建立三者之间的关系,进一步完善复数的几何意义。【设计意图】通过感受数轴上的点与实数是一一对应的,发现数轴上的点“不足以”表示复数。复数本质上是二元数,即复数z=a+bi(a,bR)由实部和虚部两者同时确定。通过考虑复数的“二元性”与实数的“一元性”的差别,学生联想到可以把数轴“扩充”成坐标平面来破解“数轴上的点不够用”的困境,同时将复数与坐标平面内的点(a,b)对应。此时,实数a对应复平面内的点(a,0),
10、该点在实轴上,保持“数轴上的点与实数一一对应”这一属性始终没有变化。这个教学片段中,在感受复数与实数差异(“二元性”与“一元性”差异)的基础上,学生能自然地联想并发现平面上的点也具有“二元性”,提出解决问题的方案便成为水到渠成的事812024年第2期总第91期情;在教师的引导下,学生能联想到平面向量也具有“二元性”,从而发现复数、复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系,得出复数的多重几何意义。通过教师的引导,学生能得出以下结论:(1)需要建立坐标平面才能表示复数(教师顺势给出相关概念);(2)建立复数几何意义的关系图(如图1所示)。图1教学设计片段3:复数的模的几何意义的探索【问题3-1】结
11、合实数的绝对值以及图1所示关系图,如何规定复数z的“绝对值”?【预设】用两点间距离或对应的平面向量的模来定义,期望学生能够体会其合理性,即表达出复数的模的几何意义,理解其与实数的绝对值本质上是一致的。【问题3-2】实数集内有|z2=z2,你能提出怎样的问题?【预设】学生提出:|z2=z2在复数集内还成立吗?为什么?如果成立,请证明;如果不成立请举出反例。教师组织学生思考与讨论,得出“不一定成立”的结论。【问题3-3】能不能修改|z2=z2,使之在复数范围内也成立?【预设】让学生经历发现的过程:等式左边为实数,而右边未必是实数。一个复数与其共轭复数的积为实数,可以将右边改为z z,再尝试去验证|
12、z2=z z。【问题3-4】实数集内有|z1z2=|z1|z2,据此你还可以提出怎样的问题?【预设】学生提出:复数集内是否有同样的结论|z1z2=|z1|z2?如果成立,请证明;如果不成立,请举出反例。教师组织学生验证其成立。【问题 3-5】若复数 z 满足 z(2+i)=3+4i,则|z=。【预设】直接计算,或利用|z1z2=|z1|z2计算。【问题3-6】结合前面的一些问题,你还能猜想出复数的模可能满足的其他性质吗?【预设】学生得出|z1z2=|z1|z2(z20),|z1-|z2|z1z2|z1+|z2等。【设计意图】学生感受实数的四则运算法则、几何意义分别与复数的四则运算法则、几何意义
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