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(完整版)二项分布和离散型随机变量的期望及方差
二项分布和离散型随机变量的期望及方差
一 二项分布
（1）定义：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为：。
此时称随机变量服从二项分布，记作。
（2）超几何分布和二项分布的区别:
①超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;
②超几何分布是“不放回"抽取，而二项分布是“有放回"抽取（独立重复）。
例1已知，则____.

例2 在次独立重复试验中,事件发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件在一次试验中发生的概率为____.

例3 位于坐标原点的一个质点按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次之后位于点的概率为____。

例4抛掷一枚均匀的硬币，正反每面出现的概率都是,反复这样抛掷，数列定义如下：，表示第次投掷出现正面向上；表示第次投掷出现反面向上；若，则事件“”发生的概率是____.

例5 箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球,则放回箱中重新取球，若取出白球,则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为____.

例6 某居民小区有两个相互独立的安全防御系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求的值。
（2)设系统在次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列.

例7一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗亭,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列;
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
(3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。

例8 某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，不出现平局，且比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率为，且每局比赛胜负互不影响。
(1）求比赛进行4局结束,且甲比乙多得2分的概率；
(2)设表示比赛结束时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望。

练习1 在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是____。

练习2甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率为外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立，则甲队以胜利的概率为____。

练习3 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于____.0.128

练习4在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是,每次命中与否互相独立，则油罐被引爆的概率为____。
练习5 将一枚均匀的硬币投掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为____。

练习6 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束。设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率;
（2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望。

练习7 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是:每位选手可以选择在区投篮2次或选择在区投篮3次，在区每进一球得2分，不进得0分；在区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出.已知某参数选手在区和区每次投篮进球的概率分别是和.
（1)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？
(2）求该选手在区投篮得分高于在区投篮得分的概率。

例8 一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批 产品通过检验;如果，再从这批产品中任取1件作检验，若全为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率都为，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立。
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为(单位:元），求的分布列及数学期望。