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(完整word)讲离散型随机变量的均值与方差
第6讲　离散型随机变量的均值与方差

【2013年高考会这样考】
1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．
2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．
【复习指导】
均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．　

基础梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
（1）均值
称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D（X）＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．两点分布与二项分布的均值、方差
（1)若X服从两点分布，则E（X)＝p，D(X)＝p(1－p）．
(2）若X~B（n，p）,则E(X)＝np,D（X)＝np(1－p)．

两个防范
在记忆D（aX＋b)＝a2D（X)时要注意：D（aX＋b）≠aD(X）＋b，D（aX＋b）≠aD（X)．
三种分布
（1）若X服从两点分布，则E(X）＝p，D（X）＝p(1－p）;
(2)X～B(n，p)，则
E（X)＝np，D（X）＝np(1－p）;
（3）若X服从超几何分布,
则E（X）＝n.
六条性质
（1)E（C）＝C（C为常数)
（2)E（aX＋b）＝aE（X)＋b（a、b为常数）
(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2
（4)如果X1,X2相互独立，则E(X1·X2）＝E（X1）E(X2）
(5)D(X)＝E（X2）－(E（X)）2
（6）D（aX＋b）＝a2·D（X）
双基自测
1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a，0,1，2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为(　　）．

A。 B. C. D．2
解析　由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.
s2＝
＝2.
答案　D
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为（　　)．

A。 B．4 C．－1 D．1
解析　E(X)＝－＋＝－，

E（Y）＝E（2X＋3）＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案　A
3．(2010·湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ
7
8
9
10
P
x
0。1
0。3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8。9，则y的值为(　　）．
A．0.4 B．0。6 C．0。7 D．0.9
解析　x＋0.1＋0。3＋y＝1，即x＋y＝0。6。①
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8。9，化简得7x＋10y＝5.4。②
由①②联立解得x＝0.2,y＝0.4。
答案　A
4．设随机变量X～B(n，p)，且E（X）＝1。6,D(X）＝1。28，则（　　）．
A．n＝8,p＝0。2 B．n＝4，p＝0。4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析　∵X～B（n,p)，∴E（X）＝np＝1。6,
D(X）＝np（1－p）＝1.28,∴
答案　A
5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出:
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0。15
该随机变量ξ的均值是________．
解析　由分布列可知E（ξ）＝7×0。3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8。2.
答案　8。2

考向一　离散型随机变量的均值和方差
【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1和B1

A2和B2

A3和B3

现按表中对阵方式出场胜队得1分,负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
(1)求X，Y的分布列；（2)求E(X），E(Y）．
［审题视点］ 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率,列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．
解　（1）X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.
P(X＝3)＝××＝,
P(X＝2）＝××＋××＋××＝，
P（X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝0）＝××＝;
根据题意X＋Y＝3，所以
P（Y＝0）＝P（X＝3）＝,P（Y＝1）＝P（X＝2）＝,
P（Y＝2）＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0）＝.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P

Y的分布列为
Y
3
2
1
0
P

（2）E（X）＝3×＋2×＋1×＋0×＝；
因为X＋Y＝3,所以E（Y）＝3－E(X）＝。
(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列,然后利用公式计算．
(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解．
【训练1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ)．
解　(1）由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则
P(A）＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2）ξ可能取的值有0，2,4,6，8。
P(ξ＝0)＝×＝;
P（ξ＝2）＝×＋×＝；
P(ξ＝4）＝×＋×＋×＝；
P（ξ＝6）＝×＋×＝;
P(ξ＝8）＝×＝。
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ
0
2
4
6
8
P

所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
考向二　均值与方差性质的应用
【例2】►设随机变量X具有分布P（X＝k）＝,k＝1,2,3,4，5，求E(X＋2)2，D(2X－1),。
［审题视点] 利用期望与方差的性质求解．
解　∵E（X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3.
E（X2）＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11.
D(X）＝（1－3）2×＋（2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3）2×＋（5－3）2×＝（4＋1＋0＋1＋4）＝2。
∴E(X＋2)2＝E（X2＋4X＋4）
＝E（X2)＋4E(X）＋4＝11＋12＋4＝27。
D(2X－1）＝4D（X）＝8,＝＝.
若X是随机变量，则η＝f（X）一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时,熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．
【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2，3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
（1）求X的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aX＋b，E（η)＝1，D（η)＝11，试求a，b的值．
解　（1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1。5。
D（X）＝（0－1。5)2×＋(1－1.5）2×＋（2－1。5）2×＋(3－1。5)2×＋（4－1。5)2×＝2.75。
（2）由D(η）＝a2D(X),得a2×2。75＝11，即a＝±2。
又E(η)＝aE(X）＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1。5＋b，得b＝－2。
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或即为所求．
考向三　均值与方差的实际应用
【例3】►(2011·福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…,8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B。已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0。1
且X1的数学期望E（X1）＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3　5　3　3　8　5　5　6　3　4
6　3　4　7　5　3　4　8　5　3
8　3　4　3　4　4　7　5　6　7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望．
(3）在(1)、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由．
注：(1)产品的“性价比"＝；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性．
［审题视点］ （1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E（X1）＝6求a,b值．（2）先求X2的分布列,再求E(X2）,(3)利用提示信息判断．
解　（1）因为E(X1)＝6，所以5×0。4＋6a＋7b＋8×0.1＝6,即6a＋7b＝3。2.
又由X1的概率分布列得0。4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0。5。
由解得
(2）由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0。1
0。1
0。1
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0。3
0.2
0。2
0.1
0。1
0。1
所以
E(X2）＝3×0.3＋4×0。2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0。1＋8×0。1＝4.8。
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4。8。
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为＝1.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4。8，价格为4元/件,所以其性价比为＝1。2.
据此，乙厂的产品更具可购买性．
解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率，本题第（1）问中充分利用了分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.
【训练3】 某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10％，可能
不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，,；如果投资乙项目，一年后可能获利20％，也可能损失20％，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E（X)；
(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求α的取值范围．
解　（1)依题意，X的可能取值为1,0，－1，
X的分布列为
X
1
0
－1
P

E（X)＝－＝。
（2）设Y表示10万元投资乙项目的收益,则Y的分布列为:
Y
2
－2
P
α
β
E(Y）＝2α－2β＝4α－2,依题意要求4α－2≥，
∴≤α≤1。

规范解答23-—离散型随机变量的均值与方差的计算

【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．
【解决方案】 (1）掌握好期望与方差的性质．（2）记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算,运算时注意一些项的合并．

【示例】►（本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为,两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
（1）若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
(2）记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第（2)问，根据题意，随机变量ξ＝0,1，2,3，4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望．
［解答示范] 设Ak表示甲机命中目标k次,k＝0，1，2,Bl表示乙机命中目标l次,l＝0，1，2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P(Ak)＝Ck2－k,P（Bl）＝Cl2－l.
据此算得P（A0）＝，P(A1）＝，P（A2）＝.
P(B0)＝,P(B1)＝,P(B2）＝。（2分)
(1）所求概率为
1－P（A0B0＋A0B1＋A1B0）＝
1－＝1－＝.（4分)
（2）ξ的所有可能值为0,1,2，3,4，且
P（ξ＝0)＝P（A0B0）＝P(A0）·P（B0）＝×＝，
P(ξ＝1)＝P（A0B1）＋P(A1B0）＝×＋×＝，
P（ξ＝2）＝P(A0B2)＋P(A1B1）＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，（8分）
P（ξ＝3）＝P(A1B2）＋P（A2B1）＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝P（A2B2）＝×＝。（10分）
综上知,ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
4
P

从而ξ的期望为E(ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(12分)
概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2)问是单纯求随机变量ξ的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令ξ1,ξ2分别表示甲、乙两机命中的次数，则ξ1~B,ξ2～B，故有E（ξ1）＝2×＝，E（ξ2)＝2×＝1，而知E(ξ）＝E（ξ1)＋E（ξ2)＝。

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