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高考数学一轮复习《学案与测评》课件:第8单元_数列.pdf
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1、知识体系第八单元数列I有穷数列I无穷数列表示方法列举法 列表法 解析法 图象法厂I通项公式法 一递推公式法性质单调性第一节数列的概念与简单表示法基础梳理1.数列的概念按照一定 排列的一列数称为数列,数歹l j中的每一个数叫做这个数列的数歹U中的每一项都和它的_1有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做),往后各项依次叫做这个数列的第2项第n项,.数 列的一般形式可以写成 其中是数列的第n 项,我们把上面的数歹U简记为 2,数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类:有穷数列项数 的数列;无穷数列项数二的数列.(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类:递增数列从第2项起,每一
2、项都 它的前一项的数列;递减数列从第2项起,每一项都1它的前一项的数列;常数列各项_.的数列;摆动数列-从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.3.数列与函数的关系从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函挹口=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列4.数列的通项公式如果数歹a n的_可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 O5.递推公式如果已知数歹a J的首项(或前n项),旧 JLJ关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做
3、数列的递推公式.6.数列的简单表示法:、:、典例分析题型一数列的概念及通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.4 6 8 103 15 35 63 99(、1 9 17 33(2)1,,3 35 63 99(3)1,0,-,0,0,-,0,;3 5 7(4)1,3,6,10,15,.分析 写出数列的通项公式,应注意观察数列中各项和项数n的联系和变 化情况,应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列与(-1)相关的数列、等差数列、等比数列,以及由它们组成的数列,从其中找出规律,并分 别写出通项公式.解(1)这是一个分数数列,分子为偶数列,而分母为1 X 3,3、5,5
4、、7,7 X 9,9*11,,是两个连续奇数的积,故所求数列通项公2 n n n式为an2n(2n-l)(2n+1)(2)数列的前5项可改写为:-3 5 9 17 33Ix 3?3x 5?5x 77x 9 9x 11由于数列的各项间正负互相间隔,应有调节符号作用的数列(-I)11,分 子构成规律为2n+1,分母也为两个连续奇数的积,故a n=(-1尸2n+1(2n-l)(2n+1)10-1010(3)原数列直接写不能看出通项公式,但改写之后,不,J分母依次为1,2,34,分子为-1Q,,呈周期性变化,可以用sin卜 表,n n-1 2n-1 sin%c o s-n示,当然也可以用c o s一味
5、示.故q=2 或2=2.(4)由观察可知=1,a,=l+2,a,=1+2+34=l+2+3+4,a,=1+2+3+4+5,1 4 D Jn(n+1)cin=1+2+3+.+ii=.此题亦可这样考虑:2a 2-a 2,a3-a2=3,-a?=4,anAi=n.以上(n-1)个式子左边相加为a n-%=2+3+4+n,又=15 n(n+1)ci=1+2+3+.+11-.2学后反思(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一 项的特点,可使用添项、还原、分割等办法,转化为一些常见数列的通项 公式来求.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴 含着“从特殊到一般”的
6、思想;由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要 注意代值检验,对于正负符号变化,可用或(-I)1 调整.(3)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项 数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列,奇、偶数列等)转换,从而使问题得到解决.举一反三1.已次口数歹a“的前4项分另U为1,0,1,0 的通项公式的个薮为()%=;1+(一1 门(n CN);*a=sin2(n N*);2%=,1+(I)+(n-1)(n-2)(n N*);2 l-Z*7X 1 COS YlTt/Z-KT a=-(n N*);2(l(n为正偶数),an=(0(n为正奇数).A.1 B.2 C.
7、3 D.4,则下列各式可以作为数列a j解析当n为正奇数时,1 r/.2 l-c o s1+(-1)=sm-=-=12L 2 2当n为正偶数时,1 r/、+i1 9 nji 1-c o s nji-1+(-1)=sin2=-=02L ,2 2所以可以作为数列a j的通项公式.当n=3时l+(-l)n+1+(n-l)(n-2)=3?2 l-所以不是数列a n的通项公式;显然不是数列bn的通项公式.答案C题型二递推公式【例2】根据下列条件,写出数列的通项公式.(l)a i=2,an+1=an+n;(2)a1=l,2n-1an=an.r分析(1)修递推关系写成n-1个等式累加.(2)将递推关系写成n
8、-1个等式累乘,或逐项迭代也可.解(1)当n=l,2,3,,n-l时,可得n-l个等式:an-an-i=n-1,an 4-an_2=n-29.9a2-a1=1,将其相力口,得 Hn-ax=1+2+3+.+(n-1),=a】+(l+n-l)(n-l)n(n-l)-=2 H-22(2)方法一:a方法二:由2 anan aaaan-2an2 J/n 4(n-l)n 2=a 得1+2+_.+(n 1)Y-1,an=2 Ja n-12 J/1 y-1卜22 J2)aix、(nl)+(n2)+2+1n(n-l)22)2)、n-laa n-2a2a3(n-1)n2学后反思(1)对于由形如的递推公式求通项公式
9、,只要 f(n)可求和,便可利用累加的方法求通项.(2)对于由形如巴包=n)的递推公式求通项公式,只要g(n)可求积,便可 an利用累乘的方法求通项.已知首项递推关系为+i=4%+b(n N+),求数列a j的通项公式的关键是将2+1=9%+6转化为+1+。=式%+。)的形式,其中a的值可由待定系数法确定,即 qan+b=an+l=qan a=一(q w 1)q ia(4)已知首项a,递推关系为%+i=广(n C N+),修递推关系两边取倒q+ba1 4,1 数,整理即可得=一+4将一视为通项,便转化为第种类型,从而得以解决.-%举一反三2.根据数列%的首项和基本关系式,求a 1=an-1+3
10、n-1(n 2)的通项公式.?n-l解析:an=3+3,Q=%一2+3”-2,1 0-3an-2=an-3+3,.勺1%=%+3以上n T个式子相加,得丁 _ 1an=t z1+31+32+.+3w-1=1+3+32+.+3w-1=-2题型三 利用数列的前n项和公式求通项【例3】已知下面数歹U a j的前n项和Sr,求a j的通项公式.(1)sn=2n2-3n(2)sn=3n+b.分析 当I1N2时,由a n=Sn-Sn求出 簿,再验证当1时=S是否成立.解(1)a 1=S=2-3=-1,当心2时,a=S-Sn l n n n-l=(2n2-3n)_2(n-l)2-3(n-l)=4n-5,由于
11、也适合此等式,Aan=4n-5.(2)a 1=S=3+b,当n N2时,an=Sn-S.=(3n+b)-(3n-1+b)=2x 3n-1.当b=-l时,a 1适合此等式;当b?-l时,a 1不适合此等式.当b=l时,an=2x 3n-1;,l 3+b,当bw1时3=12x 3n-1n=1,n 2.学后反思 数列的通项明与前n项和S的关系是S1,n=1,n 2,此公式经常使用,应引起足够的重视,已知a n求Sn时方法千差万别,但已知Sn求8口时方法却是高度统一当n N2时,求n出a也适合n=l时,可直接臂成 二S/S香则分段表示.举一反三3.(1)已知数列簿的前n项和Sn满足Io g 2(l+S
12、n)=n+1,求 a j的通项 公式;(2)已知a n O,%*=H,求3 的通项公式.解析:(1)由已知得Sn=2n+1-1,当n=1时,a 1=S当 n 2 时,an=Sn-Sn.1=2n+1-l-(2n-l)=2n,3,n=l,J j=户2 5 n 2.I2(2)由=区得说=管-,2 o当心2 时,a n=Sn-Sn=43+2)2 8*-8an=(an+an.1+4)(an-an.1)9(an+an-i)(an-an-l-4)=0an 09/.09/.an-a-4=即幻-综_1=4,数歹”211为等差数歹1,且公差d=4.a+2y,、又a 二 S1二-,.二 a 1=2,an=2+4(n
13、-1)=4n-2.题型四数列与函数【例4】(12分)已次口数歹U的通项公式为匕=丁 0.98是不是它的项?n(2)判断此数列的增减性.分析(1)令&产0.98,看能否求出正整数n;(2)判断a n+1-a”的正负.2n解 令=;二。-98,解得n=7,n+1.0.98是出:数列|的项C Q Q(n+1)2 口2 2)a a=-;(n+1)2+1 n2+1 2n+1-(n+l)2+l(n2+l).3,.6Z,810.an+1 Aa”,故此数列是递增数列.12,学后反思(1)看某数k是否为数列中的项,就是看关于n的方程a”=k是否 有正整数解.(2)判断数列的单调性就是比较An与a“+i的大小.举
14、一反三4.已次口数歹Upn 的前n项和Sn=2n2+24n(n C N*).(1)求a j的通项公式;(2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解析:(1)n=1 时,a】=S=23;当 n N2时,an=Sn-Sn 4=-n2+24n+(n-1)2-24(n-l-2n+25.经验证,a】=23符合-2|1+25,.11=-211+25.(2)方法一:V Sn=-n2+24n?.n=12时,S最大,且S12=144.方法二:Van=-2n+25,25当 a n=2n+250时,有n ,a120,&13 2.如果令n=l,则这个式子化为=,-S这里的S是没有意义的,故本题求得的只是数 列从
15、第二项起的通项公式,而不包括av事实上,ax=5=7并不适合2口=411+1.正解当n=l时,%=S=7;当n2时,a=S3=4n+l.7,n=l,故数列a j的通项公式为n=,4n+l,n 2.考点演练10.(2010银川模拟)已知数列a j满足a则数列a j的通项公式是-解析:由已知得&也=21,=1,且 Ha-=(+l)%(n C N+),%nn n-l 3 2-.-1=nn-l n-2 2 1答案:an=n11.求下列数列的通项公式:(1)%=0,%+1=an+(2一1)(n N*);(2)%=l,a=2a+1(n 2,n N).*解析:(1)将%+i=%+(2-1)移项得an+X-a
16、n=2-1,得出:a 2 Q1 19a3 a2=3,-a3=5,a-a 1=2-3,将这n T个等式相加得 n n-l一叫l+3+.+(2-3)(-1)2,.an=(-1)2(n N*).(2)由%=2%_+1 得%+1=2(%_+1)又%+1=2,.数列%+1是首项为2,公比为2的等比数列,;%+1=2,.,%=2-112.已知数歹1J%的通项公式为an=n-71-30.(1)求该数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,。=0,%0,。6或n -5(舍去),当口6(116斛)时,吟0;令2-n-30 0,解得-5 n 0,n CN*,.当 0116(116股)时,c1n 0.(
17、i A2 i由q=n2-n-3O=n-30-(11小),知*是递增数列,且n I 2;4%“2 ./V 4=。“7%9,故S及存在最小值S5=S6?不存在S”的最大值.”第二节等差数列及其前n项和基础梳理1.等差数列的定义如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列,这个 叫做等差数列的,通常用字母表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为q,公差为d,那么它的通项公式是,3.等差中项如果,那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n,m C N*);(2)若a j为等差数列,且k+/=m+n(k,/,m,n N*)恻.(3)若a j是等差
18、数列,公差为d,则曰2n也是等差数列,公差为一(4)若 a j,bn是等差数列,贝M pan+q bj也是(5)若a J是等差数列,则卜5ak+m5ak+2m5.(k,meN*)组成公差为二的 等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列便力的公差为d,其前n项和Sn=或S”=6.等差数列的前n项和公式与函数的关系d 2(d)Sn=n+a 1-n.2 I 2j数歹U a j是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn二f(n)是n的-_,即 S,7.在等差数列瓦中,a po.d c o,则s符在最Q值;若a iO,dO,则S於在 最一值.典例分析题型一等差数列的基本运算【例1】(2009安徽)已
19、知%为等差数列吗+4+/=105,%+%+4=99.以S”表示%的前n项和,则使得S”达到最大值的n是()A.21 B.20 C.19 D.18分析 用4、d表示出%+4+。5,。2+。4+。6,从而得到关于外,d的方程组,进而解出q,d的值,将S”表示为n的函数,再研究最值问题.解(4-%)+(%-%)+(4-%)=3。99105=3d,.d=-2又%+%+%=3%+6d=105,.,%=39(九 一1)d 2(d n 2 2 2.学后反思(1)数列a j是等差数列的判定方法有四种:-a”=d(n N*且n N2,d为常数)或 an+1-an=d(n e N*);a n+i+a”.二 2al
20、 i(n N*且n N2);a 口=kn+b(k,b为常数);511=人112+:61104为常数).(2)判断等差数列最常用的方法是定义法a n+i-a”=d(n N*)和等差 中项法 a i+a-=2an(n eN*JLn 2).举一反三2.已知非零实数a,b,c的倒数成等差数列,求证:土,土,巴”也成等差数列.a b c1 1 1 2 1 1解析:由一;,一成等差数列,得二一十 一当a+b+c WO时,两边同乘以 a bc Da c ia+b+C 得2(a+b+c)=a+b+C+b+c 化简得(;c)=_S+b a c b a c士二巴二山成等差数列;若a+b+c=O,则*山 各项均 a
21、 b c a b c为-1,也成等差数列.题型三等差数列性质的应用【例3】(1)(2008宁夏、海南)已知簿为等差数歹|1川+28=226=7,超5 的值;(2)等差数列a 0的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和.分析(1)由等差数列的性质23+a8=a6+25,即可求出5,或用a 1与d表 示出23,a g/6,根据已知条件列出关于a 1与d的方程组,隶出a 1与d的值,然后根据等差数列的通项公式求由$(2)由等差数列 a j的前n项和S”的性质:$皿和211171,53111-$2111也成等差数列,即由 2(100-30)=30+(S3m-10。)即可求出 S3m.解
22、(1)方法一:由等差数列通项公式有+2d+n.1+7d 22,47,a +5d=7 d=-8,a5-al+4d=47-32=15.方法二:由等差数列的性质有:23+28=6+=a=15.(2)方法一:;Sm=al+a2+a m,S2m-Sm=a m+l+a m+2+a S3m S 2m=a2m+l+2m+2+3m(S2m-Sm)-Sm=m2d=(S3m-S2m)-(s2m-Sm).sm9s2m-sm?s3m-s2m 成等差数列.从而有 2(S2m Sm)=Sm+(S3m.s2m),.S3n l=3(S,1n.sm)=210.方法二:将Sm=30,S2m=100代入s=皿岭二Dd,n om(m-
23、l)d得Jma 1+2=3(),2m(2m-l)d 2ma 1 H-=100,2.、e i曰 40 10 20由方程组仔1=丁/1=+-m m m 3m(3m-l)dS31n=3ma i+-=210.方法三:由等差数列 a j的前n项和公式知S。是关于n的二次函数,即Sn=An 2+Bn(A,B是常数)将S.=30,S2m=100代人,f 20 9 A-得 Am+Bm=30,m2?A(2m)2+B 2m=100 D 10D=,I mS3m=A(3m)2+B3m=210.,,-n(n-l)d学后反思(1)运用通项公式a n=a 1+(n-l)d和前n项和公式Sn=n a 1+-结合方程思想是解决
24、此类问题的通用方法.(2)运用等差数列的性质解决此类问题更简捷,等差数列常用的性质有:a n是等差数列,且m+n=p+q,贝+an=ap+aq(m,n,p,q 6 N*);12是等差数列,Sn是前n项和,则Sm,S2m-Sm鸟m-S2m,仍然成等差数列.举一反三3.(2009滨州模拟)等差数歹”已。,3的前n项和分另l是S,T”3n-3,a6且SJ=7则消二()2n+3 d63 6 27A.B.1 C.D.2 5 23解析:利用等差数列的性质,若m+n=p+q,则am+an=ap+a 4a,2a,所以b6 2b6l l(a i+a”)ai+an 2 sn 6b1+b11 U(bi+b”)Tn
25、5答案:c2题型四等差数列中的最值问题【例4】(12分)在等差数列a j中,已知a 1二20,前n项和为且S1=S5,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.分析(1)由a 1=20,及S=S5,可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列 前多少项为正,或利用S”是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方 法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.解方法一:V a1=2O,S1o=S15,10 x 20+10 x 9d=15 x 20+15x 14 5-d,二 d=-,2-32212 5 5 65 小-*an=20+(n-1)x-=-n+,.4I 3)3 3/.a1
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