第六章习题解答.doc

习 题 六
1.设有总体的10个独立观察值
19.1，20。0，21.2，18。8,19。6,20。5,22.0，21.6，19。4，20.3
求样本均值,样本方差和样本二阶中心矩。
解： =20。25,
2.设…，是来自于的样本，求的分布函数和密度函数.
解：

3.从总体中抽取容量为5的样本。求：
（1）样本均值大于13的概率;
(2）样本极小值小于10的概率;
(3）样本极大值大于15的概率.

解:（1)：

(2）：
（3)：

4。从总体中独立地进行两次抽样,容量分别为36和49，那么这两个样本均值之差的绝对值不超过10的概率是多少？
解：

5。设某电子元件的寿命（时数）服从参数为的指数分布，即有密度。今测试6个元件,并记录下它们各自失效的时间（单位：小时).试问：
(1)至800小时时没有一个元件失效的概率是多少?
(2)至3000小时时所有元件都失效的概率是多少？
解：（1)
（2）
6。设总体服从N（20，3)，问应取样本容量n为多大,才能以0.95的概率保证样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0。3？
解：设样本容量为n,则

7。设为的样本，求C使.
解:

8.已知.
证:，，其中，

9。设是来自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差；又设与独立同分布，试求统计量

的分布.
解：

，故有

10.设是来自的样本。
(1）求的分布；
（2）求常数，使

解:

故
11.设是来自总体的样本.求常数C,使统计量服从t-分布.
解：且它们相互独立，
故
12.设是来自指数分布
（〉0)
的样本，证明。
证：令 ,则相互独立，且，由开方分布的可加性
可知
13。设从正态总体中抽取一容量为16的样本，这里未知.为样本方差.求:
(1） （2)
解：（1）
(2)
故有
14。设总体是来自的样本.
(1)求的分布律；（2）求
解：（1）：

15．设是来自总体的样本.记

现添加一次试验，得样本。再记

则有下列递推公式：

证：

16。设总体的容量为50的样本频数分布为

1
4
6

10
15
25
解:
求的经验分布函数.
17。设总体的容量为100的样本观察值如下:
15
20
15
20
25
25
30
15
30
25
15
30
25
35
30
35
20
35
30
25
20
30
20
25
35
30
25
20
30
25
35
25
15
25
35
25
25
30
35
25
35
20
30
30
15
30
40
30
40
15
25
40
20
25
20
15
20
25
25
40
25
25
40
35
25
30
20
35
20
15
35
25
25
30
25
30
25
30
43
25
43
22
20
23
20
25
15
25
20
25
30
43
35
45
30
45
30
45
45
35
作总体的直方图.
解: 略.

1。使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位:mm）
232.50
232。48
232.15
232。52
232.53
232。30
232.48
232。05
232。45
232。60
232.47
232.30
用矩估计法估计测量的真值和方差（设仪器无系统误差）。
解 设为待测量的真值，则测量值与有以下关系式

故和的矩估计值为

2.设总体服从正态，今观察了20次 ，只记录是否为负值，若事件出现了14次，试按频率估计概率的原理,求的估计值。
解 令

查正态分布表得．　　
3.设总体具有密度函数

是其样本,求的矩估计.
解 ,由矩法令，解得．
4.设为其样本。求和的矩估计。
解　因 ，由例7-1，令
解得．
5。设总体的密度函数（或分布律)为为其样本，求下列情况下的极大似然估计。

　　　解　似然函数为

似然方程为

解得．
似然函数为

似然方程为

解得．
　　似然函数为

似然方程为

解得．
　似然函数为

似然方程为

解得．
　　似然函数为

似然方程为

解得．
6.设总体的密度为

其中未知，为其样本,求的矩估计和极大似然估计。今得样本观察值0。30,0.80，0.27，0。35，0.62,0.55,求的矩估计值和极大似然估计值.
解　，由矩法令,解得矩估计，矩估计值为．
似然函数为

似然方程为

解得极大似然估计,极大似然估计值．
7.设为抽自的样本，求的矩估计和极大似然估计。
解　,由矩法令，解得．
似然函数为

故和都有可能是的极大似然估计，一般取．

8.设总体具有分布律

1
2
3

其中未知.已取得了样本值。求的极大似然估计值。
　　解　似然函数为

似然方程为

解得．
9.设总体具有密度函数

其中未知，为其样本。求的极大似然估计.
　　解　似然函数为

似然方程为

解得．
10.设总体有密度函数

其中未知,为其样本。求的矩估计和极大似然估计.
解　,令，解得矩估计．

11。设总体为其样本.
求，使为的无偏估计;
求,使为的无偏估计。
12.设是参数的无偏估计,且有证明不是的无偏估计.
13.设从均值为,方差为的总体中,分别抽取容量为的两个独立样本.和分别是两样本的均值.试证,对于任意都是的无偏估计,并确定常数使达到最小。
14。设分别自总体和中抽取容量为的两个独立样本。其样本方差分别.试证，对于任何常数都是的无偏估计,并确定常数使达到最小.
15。设总体的密度函数为

，为其样本。
（1)求参数的极大似然估计;
(2）证明及都是的无偏估计量,问哪个较有效?
16.设总体的密度函数为

为其样本,试证及都是参数的无偏估计，问哪个较有效？
17.设总体服从指数分布，其密密函数为

为其样本。
求的极大似然估计；
求，使为的无偏估计；
求的置信水平为的双侧置信区间.
18。随机地从一批零件中抽取16个,测得长度（单位:cm)为
2。14
2.10
2.13
2.15
2.13
2。12
2。13
2.10
2。15
2.12
2.14
2。10
2.13
2.11
2。14
2.11
设零件长度的分布为正态,试求总体均值的90%的置信区间:
若；若未知.
19。对方差已知的正态总体来说,问需抽取容量为多大的样本,才能使总体均值的置信水平为的置信区间的长度不大于？
20。在一批铜丝中,随机抽取9根,测得其抗拉强度为：
578，
582,
574，
568,
596，
572，
570，
784,
578
设抗拉强度服从正态分布，求的置信水平为0.95的置信区间。
21.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准,设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹炮口速度之标准差的0。95置信区间.
22.随机地从批导线中抽取4根,并从批导线中抽取5根测得其电阻为
A批导线
0.143，
0。142
0。143，
0。137，

B批导线
0。140
0.142
0.136
0.138
0.140

设测试数据分别服从正态分布和，且它们相互独立,又未知，试求的0.95置信区间。
23.设两位化验员独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为.设分别为、所测定的测定值总体的方差,且总体均为正态分布.求方差比的置信水平为0.95的置信区间。
24.从一大批货物中随机抽100件进行检查，发现次品16件,求这批货物次品率的0。95置信区间.
25.在某一地区中,随机对100名成年居民作民意测验,有80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居民中,支持粮食调价的0.95与0.99的置信区间.
26.从一批某种型号的电子管中抽出10只，计算得样本平均寿命小时,标准差小时。求这批电子管的期望寿命的单侧置信下限以及标准差的单测置信上限,置信水平为0.95.(设电子管寿命服从正态分布.）

习题八
1.某电器元件平均电阻值一直保持2。64，今测得采用新工艺生产36个元件的平均阻值为2。61,假定在正常条件下,电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻的标准差。已知改变工艺前的标准偏差为0。06，问新工艺对产品的电阻值是否有显著性影响？
2.一种元件，要求其使用寿命不得低于1000(小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时).已知该种元件寿命服从标准差(小时）的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格.
3.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态,其中（kg/cm2),现在一批这种钢索的容量为9的一个样本测得断裂强度平均值为,与以往正常生产的相比，较大20(kg/cm2).设总体方差不变，问在能否认为这批钢索质量显著提高？
4.正常人的脉搏平均为62次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉搏为54 68 77 70 64 69 72 62 71 65（次/分)。设患者的脉搏次数服从正态分布,试在显著性水平下,检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异？
5。测定某种溶液中的水分，它的10个测定值给出，。设总体为正态分布,试在显著性水平下检验假设：

6.使用(电学法)与（混合法）两种方法来研究冰的潜热,样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成－0℃水的过种中的吸热量（卡/克)：
方法：79.98，80。04，80.02，80.03,80.03，80。04,80.04
79.97，80.05，80。03，80。02,80.00，80.02
方法:80。02，79.94，79.97,79。98，79。97,80。03,79.95,79。97
假定用每种方法测得的数据都服从正态分布,且它们的方差相等.检验：两种方法的总体均值相等?
7.今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件测其口径,数据记及，计算得

假定零件口径服从正态分布，给定,问是否可以认为这两台机床加工零件方差无显著性差异?
8。为校正试用的普通天平,把在该天平上称为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量，得如下结果:
99.3,98.7，100。5,101.2,98。3,99.7,99。5,102.1,100.5,99.2
假设在天平上称量的结果服从正态，问普通天平称量结果与标准天平称量结果有无显著差异？
9.加工某一机器零件，根据其精度要求,标准差不得超过0.9，现从该产品中抽取19个样本，得样本标准差，当时,可否认为标准差变大?（假定零件尽寸服从正态分布）.
10。某种罐头在正常情况下,按规格平均净重370g,标准差为11g，现在抽查10盒，测得重量为(单位:g）
370。74
372.80
386.43
398。14
369。21
381。67
367。90
371。93
386。22
393.08
试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求。假定罐头重量服从正态分布.(提示:检验).
11.测得两批电子器件的样本的电阻为（单位：):
：
0。140
0。138
0.143
0。142
0.144
0。137
：
0.135
0.140
0.142
0.136
0.138
0.140
设两批器件的电阻分别服从。试问，能否认为两总体服从相同的正态分布?
12。从城市的某区中抽取16名学生测其智商，平均值为107，样本标准差为10，而从该城市的另一区抽取的16名学生的智商平均值为112，标准差为8，试问在显著性水平下，这两组学生的智商有无差异?假定学生的智商服从正态分布.
13.某香烟厂生产两种香烟,独立地随机抽取容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，实验室分别作了六次测定，数据记录如下：
甲:
25
28
23
26
29
22
乙：
28
23
30
25
21
27
假定两种香烟的尼古丁含量服从方差相等的正态分布.在显著性水平下，这两种香烟的尼古丁含量有无显著性差异?
14。对一台设备进行寿命试验,记录10次无故障工作时间，并从小到大排列得
400，480,900,1350,1500,1660，1760，2100，2300，2400
已知设备的无故障工作时间服从指数分布。能否认为此设备的无故障工作时间的平均值低于1500小时。
15。根据验收标准，一批产品不合格率超过2％,则拒收,不超2％，则接收.现随机抽验了200件,发现6件不合格品,问这批产品应否接收？
16.在15题条件下，出现几件不合格品时，拒收这批产品?
17。一种特殊药品的生产厂家声称,这种药能在8小时内解除一种过敏的效率为90％,在有这种过敏的200人中，使用药品后,有160人,在8小时内解除了过敏，试问生产厂家的说法是否真实？
18。从选区A中抽取300名选民的选票,从选区B抽取200名选民的选票，在这两组选票中,分别有168票和96票支持某位候选人,试在显著性水平下，检验两个选区之间是否存在差异?
19。设总体为其样本.考虑如下检验问题:

试证下述三个检验的Ⅰ类风险同为
X01, X02
X03
通过计算它们的Ⅱ类风险,说明哪个检验最好？
20。一骰子掷了120次,得下列结果：
点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
问这个骰子是否均匀？
21。某电话站在一小时内接到电话用户的呼叫次数按每分钟记录如下表:
吸收次数
0
1
2
3
4
5
6
7
频数
8
16
17
10
6
2
1
0
试问这个分布能否看作泊松分布?
22.从一批滚珠中随机抽取了50个，测得它们的直径为：（单位:mm）

15.0
15。8
15。2
15。1
15。9
14。7
14.8
15。5
15.6
15。3
15。1
15.3
15。0
15。6
15.7
14。8
14.5
14。2
14.9
14.9
15.2
15。0
15.3
15。6
15。1
14.9
14.2
14。6
15。8
15。2
15.9
15。2
15。0
14。9
14。8
14。5
15.1
15.5
15.5
15。1
15.1
15.0
15。3
14.7
14。5
15.5
15.0
14。7
14。6
14.2
是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？（,用皮尔逊 检验和检验)
23.某医院欲比较异梨醇口服液（试验组）和氢氯噻嗪+地塞米松(对照组)降低颅内压的疗效。将200例颅内压增高症患者随机分为两组进行试验,试验结果见下表：
是否有效
组别
有效
无效

试验组
99
5
104
对照组
75
21
96

174
26
200
在显著性水平下，两组降低颅内压的疗效是否有显著差异?
24.调查339名50岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系,得下表:
是否吸烟
是否患病
吸烟
不吸烟

患慢性气管炎
43
13
56
未患慢性气管炎
162
121
283

205
134
339
患病率
21。0
9.7
16。5
试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同?
25.下表为某种药治疗感冒效果的列联表.
年龄
疗效
儿童
成年
老年

显著
58
38
32
128
一般
28
44
45
117
较差
23
18
14
55

109
100
91
300
试问疗效与年龄是否有关？
26.自动车床加工轴,从成品中抽取11根，并测得它们的直径（单位:mm）如下:
10.52，10.41,10.32,10.18,10.64，10。77，10.82，10。67，10。59,10。38，10。49
试检验这批零件的直径是否服从正态分布？(,用检验）.
27。用两种材料的灯丝制造灯泡,今分别随机抽取若干个进行寿命试验,其结果如下:
甲(小时)
1610
1650
1680
1700
1750
1720
1800
乙（小时）
1580
1600
1640
1640
1700

试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异?
28。设需要对某一正态总体的均值进行假设检验

已知，取.若要求当中的时犯第Ⅱ类错误的概率不超过,求所需的样本容量.
29。电池在货架上滞留的时间不能太长.下面给出某商店随机选取的8只电池的货架滞留时间（以天计)：
108 124 124 106 138 163 159 134
设数据来自正态总体，,未知。
（1）试在显著水平下,检验假设

（2)若要求在上述中时,犯第Ⅱ类错误的概率不超过,求所需的样本容量。
30。某人在甲、乙两台车床上加工某轴类零件。按设计要求，该零件轴颈的直径应为（mm)。现从两台车床加工的成品中随机地各取20个,混在一起,测量其实际尺寸与公称尺寸65的偏差为：
0。038
0。240
0.124
0.054
—0。061
—0。004
—0。006
0.007
—0。004
0。001
0.061
—0.043
—0。035
0。163
—0。008
-0.010
0。006
-0.008
0。024
0。007
0.028
0.108
0.155
—0.159
-0.032
0.003
—0。007
—0。018
—0.008
—0.011
-0。060
0.067
-0。025
—0。096
0.223
0.004
—0.007
—0。007
—0。010
0。014
根据经验,在每台车床上加工的轴颈直径的偏差服从均值为零的正态分布.这40个数据可以认为来自均值为零,方差不同的两个正态分布混合而成的分布，因此怀疑它的峰度,试在下，检验这批数据的正态性假设.

习题九
1.炼铝厂测得铝的硬度与抗张强度的数据如下：

68
53
70
84
60
72
51
83
70
64

288
298
349
343
290
354
283
324
340
286
（1) 求对的回归方程；
（2) 检验回归方程的显著性();
(3) 求在处的预测区间（置信水平0。95）。
2.随机抽取某地区个家庭的年收入与年储蓄(千元）资料：

年收入
8
11
9
6
6
年储蓄
0。6
1。2
1。0
0。3
0。7
(1） 求对的回归方程并作散点图;
（2） 求清费对收入的回归直线；
(3） 比较两回归直线的斜率的关系.
3.为了确定广告费用与销售额的关系，得统计资料如下
广告费
（万元）
40
25
20
30
40
40
25
20
50
20
50
50
销售额
（万元）
490
395
420
475
385
525
480
400
560
365
510
540
（1) 求销售额对广告费的回归方程;
（2） 检验回归方程的显著性(）；
(3) 求当广告费时，销售额的点预测与区间预测。
4。对同一个问题,两人分别在作线性回归。
甲：取样本值 得回归方程

乙:取样本值（）， 得回归方程

（1） 如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平）?
(2) 若相等,如何求一个共同的回归方程?
5.某种商品的需求量，消费者的平均收入以及商品价格的统计数据如下：

1000
600
1200
500
300
400
1300
1100
1300
300

5
7
6
6
8
7
5
4
3
9

100
75
80
70
50
65
90
100
110
60
求对的回归方程.
6.某矿脉中13个相邻样本点处，某种金属的含量与样本点对原点的距离有如下实测值

2
3
4
5
7
8
10

106。42
108。20
109.58
109.50
110.00
109。93
110。49

11
14
15
16
18
19

110。59
110.60
110.90
110.76
111.00
111.20

分别按
(1) ； （2) ㏑； (3) .
建立对的回归方程,并用复相关系数指出其中哪一种相关最大。
7。有一架天平,称重时有随机误差现对实重分别为的四个物体按下述办法称量次；第一次都放在天平的右盘上，砝码放在左盘使其平衡,记砝码读数为。第次放在天平的右盘上,其余放在左盘中,为使天平达到平衡要放上读数为的砝码，表示砝码在左盘,表示砝码在右盘。试求的最小二乘估计,并求出估计量的方差。如果对分别进行称量,需要多少次才能得到同样精度的无偏做计。
8.设有线性模型

(1) 求和的最小二乘估计;(2) 导出的检验统计量.
9.设

假定之间互不相关.求及的和. 试证当时，与互不相关。
10.考虑线性模型

已知数据,试求的最小二乘估计相互独立的充要条件。
11。下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数:
菌 型
存 活 日 数

2
4
3
2
4
7
7
2
5
4

5
6
8
5
10
7
12
6
6

7
11
6
6
7
9
5
10
6
3
10
设小白鼠的存活日数服从方差相等的正态分布.试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异?()
12.现有某种型号的电池三批，它们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评价其质量，各随机抽取5只电池进行寿命试验,数据如下表所示：
工 厂
寿 命 （小时)
甲
40
48
38
42
45
乙
26
34
30
28
32
丙
39
40
43
50
50
试在显著性水平下,检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求的95％置信区间。这里假定第种电池的寿命
13。一位教师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生。把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。一段时间后,这位教师给这15位学生进行统考,成绩如下：
方法
成 绩
甲
75
62
71
58
73
乙
81
85
68
92
90
丙
73
79
60
75
81
试问，在显著性水平,这三种教学方法的效果有无显著差异?这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布.
14.下表记录了三位工人分别在四台不同机器上三天的日产量。
工人
机器

15,15,17
19，19，16
16，18，21

17，17,17
15，15,15
19，22,22

15,17,16
18，17，16
18，18,18

18，20,22
15，16,17
17,17，17
假定数据来自方差相等的正态分布。问（1）工人之间的差异是否显著？（2）机器之间的差异是否显著？(3）交互作用是不是显著？（）
15.一火箭使用了四种燃，三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合做一次试验(假定不存在交互作用),得火箭射程如下(单位：海里）：
推进器
燃 料

58．2
56．2
65．3

49．1
54．1
51．6

60．1
70．9
39．2

75．8
58．2
48．7
假定数据来自方差相等的正态分布,问燃料之间，推进器之间有无显著差异()？