浅谈凸优化问题中的Bregman迭代算法.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途浅谈凸优化问题中的Bregman迭代算法 分类: 图像处理 信号处理 20130608 17:59 1117人阅读 评论(3) 收藏 举报 目录(?)+1. 简介2. Bregman距离3. Bregman迭代算法4. 线性Bregman迭代算法5. Split Bregman 算法 对于搞图像处理的人而言,不懂变分法,基本上,就没法读懂图像处理的一些经典文献.当然,这已经是10年之前的事情了。 现在,如果不懂得Bregman迭代算法,也就没法读懂最近几年以来发表的图像处理的前沿论文了。国内的参考文献,基本上都是直接引用Bregman迭代算法本身,而对于其原理基本上找
2、不到较为详细的论述.本文简要叙述当前流行的Bregman迭代算法的一些原理。 1. 简介 近年来,由于压缩感知的引入,L1正则化优化问题引起人们广泛的关注.压缩感知,允许通过少量的数据就可以重建图像信号。L1正则化问题是凸优化中的经典课题,用传统的方法难以求解。我们先从经典的图像复原问题引入: 在图像复原中,一种通用的模型可以描述如下: 我们目标是从观测到的图像f,寻找未知的真实图像u,u是n维向量空间中的元素,f是m维向量空间中的元素。f 在压缩感知的术语叫做测量信号。 是高斯白噪声其方差为sigma2。A是线性算子,例如反卷积问题中的卷积算子,压缩感知中则是子采样测量算子。 上述方程中,我
3、们仅仅知道f,其它变量都不知道的。而且这种问题通常情况都是病态的,通过引入正则项可以使之成为良态的.正则化方法假定对未知的参数u引入一个先验的假设,例如稀疏性,平滑性。正则化问题的常见方法Tikhonov方法,它通过求解下面的优化问题: 其中mu是一个大于零的标量,事先设定的常数,用于权衡观测图像f和正则项之间的平衡.双绝对值符号是L2范数。 下面,为了引入Bregman迭代算法,需要对两个重要的概念进行描述。2。 Bregman距离 注意这个定义,它是对泛函J在u点的subgradient的定义,p点是其对偶空间的中的某一点.subgradient可以翻译为次梯度,子梯度,弱梯度等。等式左边
4、最右边一项是内积运算。如果泛函J是简单的一元函数,则就是两个实数相乘。次梯度有什么好处呢?对于一般的导数定义,例如y=x在0点是不可导的,但是对于次梯度,它是存在的。 上面的这个定义就是Bregman距离的定义。对于凸函数两个点u,v之间的Bregman距离,等于其函数值之差,再减去其次梯度点p与自变量之差的内积.要注意的是这个距离不满足对称性,这和一般的泛函分析中距离定义是不一样的。 3。 Bregman迭代算法 Bregman迭代算法可以高效的求解下面的泛函的最小 上式中的第一项J,定义为从X到R的泛函,其定义域X是凸集也是闭集。第二项H,定义为从X到R的非负可微泛函,f是已知量,并且通常
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