极点极线视角下一类“定点、定线及定值”问题的解法与命制.pdf
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1、数学教学通讯投稿邮箱:问题探索极点极线视角下一类“定点、定线及定值问题的解法与命制张宏江浙江省杭州市临平实验中学3 1 1 1 0 0舒华瑛浙江省杭州市余杭高级中学临平中学3 1 1 1 0 0【摘要】圆锥曲线中的定点、定线及定值问题都有着深刻的高等数学背景一一圆锥曲线的极点极线文章通过对圆锥曲线的极点极线的相关定义及性质的介绍与结论的推导,帮助师生从更高的观点理解圆锥曲线中一类定点、定线及定值问题的本质,快速找到解题方向,拓宽试题命制思路,提升高中数学的圆锥曲线的教学效率.【关键词极点极线;调和共轭;定点;定线;定值从近几年关于圆锥曲线的高考题来看,对定点、定线及定值问题的考查频次很高.究其
2、原因,笔者认为有以下两点:(1)教材中的圆锥曲线的定义就是定点、定线及定值问题:椭圆(或双曲线)的第一定义是到定点(焦点)的距离的和(或差的绝对值)为定值的点的轨迹;圆锥曲线的第二定义是到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离之比为定值的点的轨迹;二次曲线(圆、椭圆、双曲线)的统一定义是到两定点的连线的斜率之积为定值(需要补充若干个点)的点的轨迹.(2)普通高中数学课程标准(2 0 1 7 年版)提出:教师实施课程标准应理解与高中数学关系密切的高等数学的内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质.圆锥曲线中的定点、定线及定值问题都有着深刻的高等数学背景一一圆锥曲线的极点极线极点与极线
3、是高等几何中一个基本且重要的概念,虽然在中学教材中没有具体介绍,但以它为背景命制的高考题却经常出现极点极线的相关定义与性质定理定义1 极点极线:若圆锥曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=+F=0,则称22直线为P关于C的极线,P为关于C的极点.定义2 调和点列:若直线1 上四个点M,P,N,Q满足MP=PN,MQ=-QN,则M,N,P,Q是一组调和点列.根据极点极线的定义可得以下结论:结论1 极线即切线:若点P在圆锥曲线C上,则P关于C的极线即在P处的切线.证明设曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,P(xo,o),则Axg+By+Dxg+Eyo+F=0,所以A(x-xo)2+B(y
4、-yo)2+D(x+xo)+E(y+2Eoty2+F=0代入上式得A(x-x)2+B(y-o)2+D(x+x0)+E(y+xyo)+2F-2(D+Ety+F)=0,即A(-x)2+B(y-yo)2=0,22所以x=xo,y=y。所以P(xo,Jo)是直线 与曲线C的唯一交点,即直线l是曲线C的切线.结论2 极线即切点弦:过圆锥曲线C外一点P作直线PM,PV切C于M,N两点,则直线MN为P关于C的极线.证明设P(xo,yo),M(x1,yi),N(x2,y2),根据结论1 可知,PM:Ax,x+Byiy+D+F=0,PN:Axx+By2y+22+EotyAxo+Byiy+xy+yD+E22D+x
5、+Etyx,+x2+F=0,所以X2+XoAxo+Byyo+D-E2yi+yo+F-0,y2+oF-0,2作者简介:张宏江(1 9 8 0 一),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学工作.2023年8 月(下旬)2023年8 月(下旬)sin Z BQP _(sin ZNQPQB QG sin L BQGSANOC.SAROPNGBP=1,所以SAnOCSANOPBGNP是一组调和点列.由结论4 可知,点H在点P关于椭圆的极线上,所以直线HG是点P关于椭圆的极线。因为直线HG过点Q,所以P,Q调和共轭.同理P,R调和共轭,R,Q调和共轭.x;+x2+F=0,当M在l,上时,有2yi-入y2
6、i-入x2,1+入1-入Ji+y2x,+入x2+DE1+入1+入yi-y2xi-入x2i-入y22+D1-入QNQGsin ZNQG.QBQPsin LBQPQNQP.sinLNQPMHMP即M,A,H,PHAPAx2结论6 已知椭圆C:62端点为A(-a,0),B(a,0),点Q(m,0)是椭圆长轴上一定点,KAM动直线过点Q且交C于点M,N,则a-mkBNa+m证明连接AM,BN,直线AM,BN交于点P,根据配极原理,点P落在定直线x=上.设点P(mmtKAMa-mk所以,所以有KBNa+m1-入amyi+入y2+F=0,1+入由E+F=0.1-入x,+X22MHMPPAHA,=1(ab0
7、)的长轴的两个则kAMm结论7 已知椭圆C:=1(ab0)的长轴的两个62端点为A(-a,0),B(a,0),点Q(m,0)是椭圆长轴上一定点,动直线过点Q且交C于点M,N,则kBmkBN=-yi+y2F=2t+ab?(a+m)a(a-m)AMb(a-m)kANa(a+m)证明因为kMA*kmBa-mb2(a+m)RMa+m通过结论6 和结论7 可以看到四边形ANBM的四条边所在直线的斜率存在六个等量关系:对边的斜率的比值为定值,邻边的斜率之积为定值。当定点落在短轴上时结论仍然成立双曲线与抛物线的内接四边形的对边的斜率存在类似的等量关系.极点极线的应用1.极点极线视角下解决问题例1(2 0 2
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