几何直观素养的内涵、表现形式和教学建议.pdf
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1、上半月(初中版)2023年第10期(总第295期)课题研究究几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯,是数学发现的工具之一.义务教育数学课程标准(2022年版)(以下简称标准(2022年版)把几何直观作为数学核心素养的主要表现之一,特别是作为“数学眼光”的主要表现.学生通过观察对象,直观感知现实世界中图形的组成元素与特征,直观理解将要学习的数学知识;通过尺规作图等直观手段分析图形的性质,逐步养成从数学的视角观察图形的意识与习惯;探索运用图表描述、图表分析等方法发现和提出问题,寻求分析问题和解决问题的方法.几何直观和抽象能力、推理能力及空间观念等密切相关,本文通过对几何直观素养内涵的解
2、读,梳理什么是几何直观、几何直观的意义和几何直观的表现形式,并给出几何直观素养的行为指标,以及几何直观的教学策略和建议.一、几何直观的内涵解读几何研究的对象是图形,几何学的直观性和简洁性也是几何学之所以完美的核心所在.几何直观不仅能为学生学习几何知识、进行几何探究与推理提供便利,而且能为学生理解与洞察其他更为抽象的数学内容与结构搭建桥梁.几何直观是启发问题解决思路的基本策略.几何直观的工具是图表,图表的直观性和解释性对发现问题和分析问题都独具价值,有助于实现从直观感知到概念形成的过程.因此,可以认为“几何直观是借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系
3、)进行直接感知、整体把握的能力.几何直观与小学阶段的空间观念、高中阶段的直观想象有内在关联,体现素养发展的阶段性特征.1.什么是几何直观标准(2022年版)对几何直观行为特征的描述为:“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯.能够感知各种几何图形及其组成元素,依据图形的特征进行分类;根据语言描述画出相应的图几何直观素养的内涵、表现形式和教学建议王红权(浙江省杭州市基础教育研究室)摘要:几何直观素养是数学核心素养的主要表现之一,指向“数学眼光”的发展.几何直观和抽象能力、推理能力及空间观念等密切相关,几何直观从基于操作经验的感悟逐步过渡到基于概念的推理,形成初步的直觉想象.文章对几何
4、直观的内涵及其表现形式进行解读,并给出了化抽象为具体、触摸几何结构、解释代数公式、几何代数互映、借助现代技术等教学建议关键词:几何直观;内涵;表现形式;教学建议基金项目:2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究(初中)专项课题数学核心素养的行为表现及其教学案例研究(22ZS011401ZA)作者简介:王红权(1970),男,高级教师,浙江省特级教师,主要从事中学数学教育研究.编者按:为了帮助广大教师深入领会义务教育数学课程标准(2022年版)(以下简称标准)精神,依据标准的要求开展教学活动,中国教育学会中学数学教学专业委员会于2022年下半年设立了“义务教育数学课程标准研究(初中)专项课
5、题”.为了及时反映研究成果,本刊设置“课题研究”专栏,不定期刊登课题研究中产生的论文.本期刊登的课题研究文章是对几何直观素养的内涵及其表现形式的解读,并结合具体案例给出了教学建议,相信对广大教师在教学中更好地培养学生的几何直观素养会有所启发.4上半月(初中版)2023年第10期(总第295期)课题研究形,分析图形的性质;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型;利用图表分析实际情境与数学问题,探索解决问题的思路.几何直观有助于把握问题的本质,明晰思维的路径.”(1)几何直观在“三会”中的功能.“数学眼光”在高中阶段对应数学抽象、直观想象,在初中阶段对应抽象能力、空间观念和几何直观,在小学阶段对
6、应符号意识、数感、量感(新增)、空间观念、几何直观.几何直观就是将复杂或者抽象的问题用图表等方法直观化,用图表的直观来描述、解释问题,借助图表的解释功能分析、解决问题.例112+14+18+116+132+=1.如图1,例1的结果显然是可以看出来的.借助图形直观可以把复杂的计算转化为简明、形象的图形,为探索问题的解决提供思路,有利于结果的预测,有助于对数学(无限)的理解.132116181412图1同样地,通过几何直观可以实现对研究对象的整体把握,有助于揭示不同对象之间的关联,如例2.例2已知a 0,b 0,求证:aba+b2.在图 2 中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上一点,AC=a
7、,BC=b.过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接AD,BD.可以证明ACD DCB,因而CD=ab.由于CD小于或等于圆的半径,所以可以用不等式表示为aba+b2.图2EBACDab图2中,弦DE的长度不大于直径是对不等式aba+b2的直观化,具有很好的解释功能.教学实践时要注重发挥几何直观与空间想象的整体效应,使得几何直观素养超越几何的限制,成为更具普遍意义的数学核心素养.(2)与小学阶段的几何直观及高中阶段的直观想象的关联.核心素养具有整体性、一致性和阶段性.小学阶段和初中阶段都称几何直观,到了高中阶段则称为直观想象,体现了核心素养的阶段性特征.小学阶段侧重空间观念的发展,借助社会生
8、活等现实世界中的情境、科学实验现象和日常生活的经验得以发展,是具体真实的直接反映;初中阶段的几何直观则需要借助课程的系统学习,是后天习得的结果,此时学生的直观思维已经具备一定的抽象特征;到了高中阶段,空间观念、几何直观将进一步发展为直观想象,此时的“直观”已不再局限于几何图表,还包括符号形式的直观,空间想象也将逐渐减少对空间观念的依赖,更多地建立在逻辑的基础上,需要学生具备一定的推理能力.义务教育数学课程标准(2011年版)(以下简称标准(2011年版)中,几何直观作为十个核心概念之一提出,是一种特殊的直观.第7版现代汉语词典对“直观”的解释是“用感观直接接受的或直接观察的”.康德同样认为人类
9、的直观方式只能是感性的.也就是说,“直观”是主体直接作用于对象的认识方式,不需要媒介;概念则是间接作用于对象,需要借助直观作为媒介.康德认为人类对于对象的认识“始于直观,形成概念,逻辑使之严密”.由此可知,初中阶段的几何直观已经过渡到基于概念的推理,形成初步的几何直觉,是人们认识几何对象(或者其他具有几何属性的对象)的钥匙.(3)几何直观与形式直观.形式直观是一种比图形直观更为广泛的直观思维途径.形式直观无需依赖几何图形,是借助视觉形象产生的对于事物之间逻辑关系的一种直接的、形象的推断和理解,常常表现为人们对复杂“程序”的理所当然的理解.例31+2+3+n=12n()n+1.解法1:n2-()
10、n-12=2n-1,5上半月(初中版)2023年第10期(总第295期)课题研究究()n-12-()n-22=2n-3,22-12=2 2-1.把上述n-1个式子相加,得n2-12=2()2+3+n-()n-1.整理,得1+2+3+n=12n()n+1.解法2:如图3,12n()n+1=12n2+12n,即n n个单位正方形面积的一半加上n个单位正方形面积的一半(阴影部分).丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
11、丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁图3代数公式是形式直观在代数学中的表现形式,解法1依赖于平方差公式及字母计算,是一种对发现公式本身无助的验证算法.解法2的合理性建立在这种程序划分的形式直观之上,这种途径不但能够证明公式,而且也是一种发现公式的途径.例43()12+22+32+n
12、2=()1+2+3+n()2n+1.在如图4所示的数阵中,每一行的和都恰好是该行数的平方,如第2行中(n-1)个n-1就是n-1的平方.因此,这个数阵图中所有数的和就是12+22+32+n2.nn-121nn-12nn-1n图4把图4中的数阵旋转为图5中的数阵和,这时三个数阵图中的数都一样,只是排列方式不一样.容易发现三个数阵中相同位置的三个数和都是2n+1(图5中的数阵).因此,这三个数阵图的所有数的和是()1+2+3+n()2n+1.nn-121nn-12nn-1nnnnnn-1n-1n-122112n-1n23nn-1nn2n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12
13、n+12n+1+=图5又因为每个数阵都是连续自然数的平方和,所以可得等式3()12+22+32+n2=()1+2+3+n()2n+1.把这个等式整理后就可以得到连续自然数平方和公式:12+22+32+n2=16n()n+1()2n+1.显然,这种形式直观一旦关联内容结构,便可以直接产生对事物内在规律的直观解释,甚至可以发现其中的数学规律.(4)几何直观与空间观念、直观几何.几何直观与空间观念、直观几何都与“图形与几何”领域的内容密切相关,且不局限于该领域.空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识,是发展空间想象力的经验基础;空间观念的本质是空间想象力,几何直观是一种感性认识
14、,两者互为基础.直观几何是用直观的方式呈现几何,几何直观是指如何直观地理解几何.(5)几何直观与以往大纲、课程标准的关联.标准(2011年版)将全日制义务教育数学课程标准(实验稿)中的6个核心概念增加到了10个,“几何直观”是增加的核心概念之一,其内涵表述为:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”显然,标准(2022年版)极大地丰富了几何直观素养的内涵,跳出了几何圈,适用范围从“图形”扩大到了“图表”,细化了几何直观在研究几何图形时
15、的 6上半月(初中版)2023年第10期(总第295期)课题研究具体操作:感知图形及其要素图形分类;根据语言描述画图、分析性质;建立数形联系直观模型;利用图表探索研究思路.2.几何直观的意义彭加勒认为,逻辑是证明的工具,直觉是发明的工具.依据标准(2022年版),几何直观有助于把握问题的本质,明晰思维的路径.事实上,几何直观是在非逻辑语言上进行的.因此,思考问题时就能跳出数学的符号系统,依靠数学对象自身的结构“不言而喻”地进行,而且借助几何直观可以把看不见的抽象思维直观显现出来,有助于学生进一步思考和探索.(1)几何直观在数学发展中的意义.在数学发展的历史长河中,几何直观对数学发展有着重要的意
16、义.例如,广义的平方差公式可以表示为4mn=()m+n2-()m-n2;勾股定理的代数表达为x2+y2=z2.从公式的几何直观出发,容易发现()m+n2=()m-n2+4mn,若令 m=x2,n=y2(x,y N*),则()x2+y22=()x2-y22+()2xy2,这样就证明了命题:勾股数有无穷多组,或者说方程x2+y2=z2有无数组正整数解.由此自然联想:若n 3,方程xn+yn=zn有没有正整数解?这便是费马大定理.从这个意义上说,几何直观是发现与创造的动力.无理数的发现也是一个典型的发现数学的例子.例5无理数的发现.边长为1的正方形的对角线如何度量?如图6,得2=1+r1;1=2r1
17、+r2;rk-1=2rk+rk+1;图6r1r1r2r1r1BCAD11r2几何直观告诉我们这样的过程永无休止!也就是说,上述正方形对角线的长不可以被边长“公度”,因此其不会是一个有理数!(2)几何直观在几何概念、推理学习中的意义.在概念教学中,借助几何直观的直观表征可以帮助学生直观地理解数学,能够降低概念学习的难度,甚至直观发现研究对象的性质.例如,学习“两点之间线段最短”时,通过展示图7,可以让学生非常直观地明白在连接A,B两点的所有道路中,直线段AB最短.又如,学习函数的概念时,可以通过图8揭示两个变量间“唯一确定”的对应关系.x1x2x3xny1y3ynB图7A图8几何学习之所以被认为
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