泰勒公式的若干问题研究-毕业论文.doc

济南大学毕业论文毕业论文题 目 泰勒公式的若干问题研究 学 院 数学科学学院 专 业 信息与计算科学 班 级 计算0901 学 生 吕晗 学 号 20090921073 指导教师 徐美荣 二一三年 五 月二十五日- 24 -摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点分别满足的条件与。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性ABSTRACTIn this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition and 。Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior目 录摘要.IABSTRACT.II1 前言. . .11.1引言.11.2相关概念.12泰勒公式.52.1泰勒公式的几种形式.5 2.2泰勒公式的证明. 63 泰勒公式的应用.83.1泰勒公式在计算行列式中的应用.83.2泰勒公式在判别敛散性方面的应用.93.3泰勒公式在判断函数凸凹性中的应用. 114 泰勒公式的“中间点”的渐近性.12 4.1当区间长度趋于零时“中间点” 的渐近性.12 4.2当区间长度趋于无穷时“中间点” 的渐近性.125 泰勒公式与泰勒级数.195.1泰勒公式与泰勒级数的区别.195.2泰勒公式与泰勒级数的应用.20结论. .22参考文献.23致谢.241 前言1.1引言 泰勒公式在数学上占有非常重要的地位，近年来，关于泰勒公式的证明以及应用的研究已经引起国内外很多学者的关注和思考，对于泰勒公式的证明，“中间点”的渐近性及利用泰勒定理判断级数敛散性、判断函数凹凸性，泰勒公式与泰勒级数之间的关系等方面的研究，都取得了一定的进展。其中刘瑜3给出了泰勒公式在阶行列式计算中的应用问题；邱忠文5讨论了利用泰勒公式证明函数的凸凹性问题；续铁权8讨论了泰勒公式“中间点”当的渐近性态问题；鲍春梅12讨论了当区间长度趋于零与无穷时“中间点”的渐近性问题。鲍培文5给出了泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用问题。在一般的数学分析中，仅给出了泰勒公式的证明以及在计算极值问题方面的应用，但在实际的生产和生活中，我们经常会应用泰勒公式来解决一些实际问题，因此有必要对泰勒公式的若干问题进行深入研究。在一些文献中只是具体地研究了泰勒公式的应用问题或中间点的渐近性问题。本文将系统地研究泰勒公式的若干问题，从泰勒公式的证明到泰勒公式的中间点的渐近性，最后再讨论泰勒公式的应用以及泰勒公式与泰勒级数的区别与联系等。对于泰勒公式的应用太少，我们要研究的泰勒公式问题，不仅要熟练应用泰勒公式计算极值，还要研究泰勒公式在更多方面的作用，如当“中间点”趋于零与无穷时满足的条件,利用泰勒公式计算行列式，利用泰勒公式证明函数凹凸性，以及研究泰勒公式与泰勒级数之间的关系，更进一步了解泰勒公式的性质。在本文的研究中主要用到以下基本概念和相关定理。1.2相关概念及定理 定义1.11对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式，则称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数。定义1.21若函数在点存在直到阶导数，则有=，即，称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项。定义1.31若函数在点的某一邻域内具有直到阶导数，则在该邻域内的阶泰勒公式为，其中，称为拉格朗日余项，以上函数展开式称为泰勒级数。定理1.11拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数满足如下条件:在闭区间上连续；在开区间内可导；则在内至少存在一点,使得。定理1.21洛必达法则设函数与满足下列条件:，；在点的某去心邻域内与都存在且；存在或为无穷大；则。2泰勒公式泰勒公式集中体现了微积分逼近法的精髓，在微积分学及相关的领域的各个方面都有着重要的应用。本部分在现行教材对泰勒公式证明的基础上，研究泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法。2.1泰勒公式的几种形式在证明泰勒公式前，我们首先给出泰勒公式的几种不同形式。定义2.11带有Peano型余项的泰勒公式:函数在，上具有阶导数,则有 ，其中 。定义2.21 带有Lagrange型余项的泰勒公式:函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则对有 ，其中。在以上两个定义中，如果我们取特殊的，则得到相应的麦克劳林公式。定义2.31 麦克劳林公式(Maclaurin公式)。其中=()。以上，我们给出了泰勒公式的几种形式，下面我们从拉格朗日中值定理出发，给出不同于课本上的证明泰勒公式的方法。2.2泰勒公式的证明 下面我们首先讨论带有Lagrange型余项的泰勒公式的证明问题，主要是根据拉格朗日中值定理来讨论泰勒公式的证明。证明：由拉格朗日中值定理知,若在的某邻域内可导，则,其中介于与之间，即 。 若将代替式中的，则产生误差记为。则 。 现在问，的具体形式是什么?当时，由洛必达法则知与为当时的同阶无穷小。 ，待定。这样式变为 。 如何确定呢对式两边关于求导，得 。 若函数在邻域内有二阶导数，则由拉格朗日中值定理，有 。 介于与之间。由和式得 ，。 这样式变为 。 同样可知，与为时的同阶无穷小，则，并代入式，得。为了确定,对上式两边关于求二次导数，得 。 若在邻域内有三阶导数，则由拉格朗日中值定理有 。 介于与之间。由和式知。并代入式，得，仿此可推得，其中，介于与之间。从整体推导过程可知，函数在的某邻域内必须具有至阶导数才行。这样就自然地得到拉格朗日泰勒公式。 下面我们用一种不同的方法证明带有佩亚诺余项的泰勒公式。 证明:设，现在只需验证明函数在点存在直到阶导数，又知易知，=0,1,，因为而，因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数，于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 = = =0。这就证明了带有佩亚诺余项的泰勒公式，当时可同理证明带有麦克劳林公式的泰勒公式。3泰勒公式的应用 第2部分我们给出了泰勒公式的几个基本形式及泰勒公式的证明，在此基础上，我们利用泰勒公式来解决一些问题，这些问题利用其他的方法往往比较困难，而运用泰勒公式可以使问题变得简单。下面我们研究泰勒公式的应用问题，主要包括在计算行列式，利用泰勒公式证明敛散性，判断函数的凹凸性等方面的应用。3.1 泰勒公式在计算行列式中的应用 在代数学中，有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但应用泰勒公式法极为少见，下面让我们从泰勒公式入手，利用泰勒展开式计算行列式。首先看一个具体的例子。例 3.1 求阶行列式 。 (3.1)(注:此题可用代数知识的递推法以及数学归纳法求解，但非常繁琐，此题我们利用泰勒公式求解，达到简便的作用。其思路根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开)解：我们把行列式看成的函数，记=，则在的泰勒展开式为 。 (3.2)易知 。 (3.3)由(3.2)得，=1,2,n时全都成立。 (3.4)根据行列式求导的规则，有， ， (因为)。于是 在处的各阶导数(注意到公式3.4) 为， ，。把以上各导数代入(3.2)式中，有,若，有;若，有。以上我们就讨论了泰勒公式的在计算行列式方面的应用，特别是利用泰勒公式求解行列式这一方法在高等代数中没有介绍过，从而使行列式的求解又多了一种新方法，也为数学分析研究高等代数问题做了一个初步探索，以便为高等代数的教学起到促进作用。接下来我们讨论泰勒公式在判别级数及无穷积分敛散性方面的应用。3.2 泰勒公式在判别敛散性方面的应用在级数敛散性理论中，要判定一个正项级数是否收敛，通常找一个参考级数：级数()，根据级数的敛散性来判定级数的敛散性。在实际应用中较困难是如何选取恰当的(中的值)？例如(1) 若，此时收敛，但；(2) 若，此时收敛，但。 这里我们无法判定的敛散性。为了有效地选取中的值，可以应用泰勒公式研究通项()的阶，据此选取恰当的值使，并且保证，再由比较判定法(极限形式)就可判定的敛散性，下面举例说明之。 例 3.2 判定级数()的敛散性。解: ，因此，从而有，是关于()的2阶.即与同收敛。 通过这个例子我们得到了利用泰勒公式可以判断级数的敛散性，下面我们讨论利用泰勒公式来判断广义积分的敛散性问题。我们通过一个具体的例子来进行说明。例 3.3 研究广义积分的敛散性。解: ， 。因此，即是。 通过上面两个例子我们讨论了泰勒公式在敛散性方面的应用，接下来我们讨论泰勒公式在判断函数凹凸性方面的应用。3.3泰勒公式在判断函数凹凸性的应用例3.4 若二次可微，且，证明不等式 。 (3.5)且等号成立当且仅当，并且由此证明当()时，。 (3.6)证明: 令，则，由泰勒公式得:， (3.7)因为，因此有即(3.5)成立。显然(3.5)式中等号成立充分必要条件是:。再证(3.7)式成立。因为令，则，由(3.6)式得=。因此有所以，即(3.6)式成立。4 泰勒公式“中间点”的渐近性我们知道,一般的数学分析教材中对于带有拉格朗日余项的泰勒公式的“中间点”，只是肯定了“中间点”的存在性，但没有研究“中间点”的性质，本部分我们研究泰勒公式“中间点”的渐近性问题，主要分区间长度趋于零与区间长度趋于无穷进行讨论。4.1当区间长度趋于零时的“中间点”的渐近性首先我们讨论区间长度趋于零时的情况。有以下结果：定理4.15 设函数在闭区间有直到阶连续导数，且，则由Taylor公式所确定的“中间点”满足等式。证明: 令。则由拉格朗日公式得。代入中有，所以。通过比较得，即。 下面讨论当区间长度趋于无穷时的情况。4.2当区间长度趋于无穷时的“中间点”的渐近性 为了研究区间长度趋于无穷时中间点的渐近性，我们首先给出两个引理： 引理4.11 设，则1)当时，；2)当时，。 引理4.26 设在有阶连续导数且，则1)当时，；2)当时，；3)。其中为非零常数，为实数，。 证明:1)由条件存在.当时有，于是当时有=由此不等式知。假定 ，则取，存在，当时.有，于是当时，有。由此不等式知，由数学归纳法知1)成立。2)的证明与1)类似，省略。3)令则，由引理2，连续次应用洛必达法则，并注意到，便得 ，即为3）中的结论。基于以上引理我们得到以下中间点的渐近性结论。定理4.21 设在有阶连续导数，则对于任意，必存在，使。由次定理，得以下定理。定理4.314 在泰勒中值定理的假设条件下，再设，且，,则泰勒中值定理中的中间点，有渐近估计式，其中为非零常数，为实数，且。证明:首先证明当时，有，为此不妨设。若，则由引理4.1有，其中为当时的无穷小量。令则，由引理4.2，。由泰勒中值定理并连续次应用洛必达法则则有 。 (4.1)若存在.使.则由于在上连续，所以必存在，使从而.这是矛盾的，故当时，有。若，则由引理4.1，有，从而 。余下证明与类似，故当时，有。其次，作辅助函数，由引理4.2有 。 (4.2)由泰勒中值定理得。 (4.3)注意到时，有得， (4.4)由式知存在，故由式知存在且，由式与式立得式。若.则定理1不再成立。但我们有定理4.414 在定理4.1中的条件下，若，再设，且，则泰勒中值定理中的中间点.有渐近估计式。其中为非零常数，为实数，.证明:因为，故。令，则与应用泰勒中值定理可取到相同的中间点.事实上，对于应用泰勒中值定理.存在。使 。 (4.5)又。 (4.6)由(4.5)与(4.6)式可取。又，且，由定理有。以上我们讨论了带拉格朗日余项的泰勒公式“中间点”的渐近问题，得到了当区间长度趋于零与无穷时的满足的条件，下面我们讨论泰勒公式与泰勒级数的关系。5 泰勒公式与泰勒级数 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性,但是它们引入不同,因此还是有一定的差异性，由于泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的,过程比较复杂,泰勒级数属于函数项级数中的幂级数,与泰勒公式类似在近似计算、极限运算、级数与广义积分的敛散性判断等方面也有具体应用。接下来我们具体探讨泰勒公式与泰勒级数的区别与联系以及泰勒级数的应用问题。5.1泰勒级数与泰勒公式的区别 首先我们讨论泰勒公式与泰勒级数的区别。 如果在定义1.1中抹去余项，那么在附近可用定义1.1式右边的多项式来近似代替，如果函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为。的级数为函数在的泰勒级数。 泰勒公式中含有有限多项式，泰勒级数中含有无限多项式，泰勒公式不是泰勒级数，泰勒级数也不是泰勒多项式。当的各阶导数都存在时，的泰勒级数在收敛情况下一定等于；但不论的泰勒级数是否收敛，只要有阶导数，就有泰勒公式成立，可见泰勒级数收敛时，与泰勒公式结果一致，都是。当在含有的某个邻域内具有任意阶的导数，可将展成幂级数，其中的乘幂的系数分别为，称为幂级数系数.可见在处的泰勒级数也是展成的幂级数。特别，当是的次多项式，将展成的多项式，在初等数学中，只能采用待定系数法，在高等数学中，当学了泰勒公式后，我们可以先求出，再按泰勒公式展成的多项式形式。5.2泰勒级数与泰勒公式的应用对于一阶微分方程，若为关于，的多项式，则可设其通解为将及代入,比较同次幂的系数，就可得出待定系数，从而得到通解。例5.1 求方程，满足的特解。解：设因为，所以,所以，将，代入原方程得=+比较同次幂系数，得，从而，。对于形如的方程，当，可在内展为的幂级数时，那么在内，必有形如的解。我们接下来利用泰勒公式求解。例5.2 求在点处的各阶导数的值。解：利用泰勒公式对其展开，可求得的麦克劳林公式，。则的麦克劳林公式为，。由麦克劳林公式及其各项系数之间所具有的联系可知，。而在处的其他各阶导数为零。 泰勒公式与泰勒级数除了上面的应用以外在概率的计算方面也有应用，这里就不再赘述。总之，泰勒公式与泰勒级数的应用范围相当的广泛，巧妙合理的利用泰勒公式与泰勒级数，可以解决一些较难解决的高阶导问题，在其他方面的应用有待于我们进一步地研究和探讨。结 论随着数学的飞速发展，许多数学家们研究出了许多的定理与公式,以便我们在解决数学疑难问题时有多重的选择。本文我们总结了不同于课本上证明泰勒公式的方法，并通过三个方面了解了泰勒公式的应用。泰勒公式的应用非常广泛，不仅局限于本文介绍的求行列式，函数敛散性，函数凹凸性。泰勒公式在各个学科中也有广泛的应用，如果能很好的应用它来解题，会使更多的人能更好的学好数学，数学领域会发展的更好。四、参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社.20012刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(下册)M.北京:高等教育出版社，1992.3刘瑜,陈美燕,于超.泰勒公式在n阶行列式计算中的应用J.内江师范学院报,2008,S1(73):222-223 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TODOROV.Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg J，65(1995),147-15317 Dale Varberg.Edwin J .Purcell.Steven E. Rigdon. CalculusM .Beijing :China Machine Press ,2004 :467-476致 谢在长达三个多月的论文写作结束之际，在大学最后的毕业之际，首先，我要感谢在四年里面那些曾经帮助过我的老师们，感谢这样一支愿意从事基础科学研究的数学系教师队伍；还要感谢在数学领域辛勤踏实工作的人们，以及被我选中作为我毕业论文参考文献的文章作者和各位数学前辈，你们是我的榜样和楷模。在毕业论文的完成过程中,我的指导老师徐老师以治学严谨, 严格要求给了我深刻的印象,也同时给了我莫大的帮助还有耐心的指导.从选题、定题开始，到论文任务书和开题报告,再到最后论文的反复修改、润色，徐老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，耐心的为我解答论文写作过程中遇到的种种问题,帮助我开拓研究思路，正是徐老师的无私帮助与耐心讲解，我的毕业论文才能够得以顺利完成.感谢她利用紧张忙碌的教学任务之余,利用个人休息时间帮我指点论文以及搜集外文翻译资料。谢谢!四年大学，所收获的不仅仅是愈加丰厚的知识，更重要的是在阅读、实践中所培养的思维方式、表达能力和广阔视野。很庆幸这四年来我遇到了如此多的良师益友，无论在学习上、生活上，还是工作上，都给予了我无私的帮助和热心的照顾，让我在一个充满温馨的环境中度过四年的大学生活。感恩之情难以用言语量度，谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。最后要感谢的是我的父母，他们不仅培养了我对中国传统文化的浓厚的兴趣，让我在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，而且也为我能够顺利的完成毕业论文提供了巨大的支持与帮助。在未来的日子里，我会更加努力的学习和工作，不辜负父母对我的殷殷期望！“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。”这是我少年时最喜欢的诗句。就用这话作为这篇论文的一个结尾，也是一段生活的结束。希望自己能够继续少年时的梦想，永不放弃。